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周期轨线，Poincaré－Bendixon 定理

## 4.4 周期轨线，Poincaré－Bendixon 定理

前面已经介绍过平衡解分歧，经过分歧点平衡点的个数和平衡点的类型可能会发生改变．下面介绍 Hopf 分歧，经过 Hopf 分歧点平衡解的稳定性会发生变化，小振幅周期轨道从平衡解的位置分歧出来，其他解的渐近行为也可能从收敛到平衡解
转化到振荡行为．建立周期轨线存在性的另一方法是 Poincaré－Bendixson 理论，把这一理论一些有用的部分集中在以下的定理中：

**定理4.2** 考虑平面系统（4．30）．假设 $(f, g)$ 连续可微．
（1）若 $\Sigma_0=\left\{(x(t), y(t)) \in R ^2 \mid t \in R \right\}$ 是（4．30）的一个周期轨线，则 $\Sigma_0$ 的内部包含一个平衡点；
（2）若 $O \subset R ^2$ 是一个开子集，$O$ 中不包含任何平衡点，在 $O$ 的边界 $\partial O$ 上的每个点，向量场 $(f, g)$ 指向 $O$ 内部，则 $O$ 中必含一个周期轨线；
（3）若 $\Sigma_1=\left\{(x(t), y(t)) \in R ^2 \mid t \geqslant 0\right\}$ 是（4．30）的一个有界轨线，则当 $t \rightarrow+\infty$时，$\Sigma_1$ 必然收敛到以下其中之一：（1）一个平衡点；（2）一个周期轨线；（3）一个由异宿、同宿轨线连接成的集合；
（4）（Dulac 准则）若 $O \subset R ^2$ 是一个单连通开子集，$B: O \rightarrow R$ 是一个连续可微函数，使得 $\frac{\partial(B f)}{\partial x}+\frac{\partial(B g)}{\partial y}$ 不变号且不恒为零，则没有任何周期轨线完全在 $O$内部．

`例4.4` 求方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=y \\
y^{\prime}=-a x-b y+\alpha x^2+\beta y^2
\end{array}\right. ...(4.33)
$$

的平衡解，并利用 Dulac 准则判断方程组在全平面上无周期解．

解 设

$$
\begin{aligned}
& f(x, y)=y \\
& g(x, y)=-a x-b y+\alpha x^2+\beta y^2
\end{aligned}
$$

平衡解满足方程

$$
\left\{\begin{array}{l}
y=0 \\
-a x-b y+\alpha x^2+\beta y^2=0
\end{array}\right.
$$

解得此方程组有两个平衡解 $(0,0),\left(\frac{a}{\alpha}, 0\right)$ ．利用 Dulac 准则，考虑

$$
B(x, y)=e^{m x+n y}
$$

其中，$m, n$ 待定．经计算

$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial(B(x, y) \cdot f(x, y))}{\partial x}+\frac{\partial(B(x, y) \cdot g(x, y))}{\partial y} \\
= & e^{m x+n y}\left[m y+n\left(-a x-b y+\alpha x^2+\beta y^2\right)+(-b+2 \beta y)\right]
\end{aligned}
$$

取 $n=0, m=-2 \beta$ ，即 $B(x, y)= e ^{-2 \beta x}$ ，则有

$$
\frac{\partial(B f)}{\partial x}+\frac{\partial(B g)}{\partial y}=-b e^{-2 \beta x}
$$

在全平面上不变号 $(b \neq 0)$ ，由 Dulac 准则知，此方程组在全平面上无周期轨线．

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