最后更新: 2026-02-12 17:37 查看: 53 次纠错评论(0) 课件开VIP

平衡解分歧，Hopf 分歧

## 4.5.1 平衡解分歧
首先考虑平衡解分歧．

`例4.5`考虑方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=x(5-x-y) \\
y^{\prime}=y(a-2 x-y)
\end{array}\right. ...(4.34)
$$

其中，$a$ 为参数．求零水平线、平衡点、分析分歧现象．
解 由 $x$ 零水平线

$$
x=0, \quad 5-x-y=0
$$

$y$ 零水平线

$$
y=0, \quad a-2 x-y=0
$$

得到 4 个可能的平衡点 $(0,0),(0, a),(5,0),(a-5,10-a)$ ．只考虑 $x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 的情况，故当 $5<a<10$ 时，第 4 个平衡解存在，称之为共存解；当 $a=5$ 时，第四个平衡解与 $(0, a)$ 重合；当 $a=10$ 时，第四个平衡解与 $(5,0)$ 重合．方程组（4．34）的 Jacobi 矩阵为

$$
J(x, y)=\left(\begin{array}{cc}
5-2 x-y & -x \\
-2 y & a-2 x-2 y
\end{array}\right)
$$

（1）在平衡点 $(0, a)$ 处，
$$
J(0, a)=\left(\begin{array}{cc}
5-a & 0 \\
-2 a & -a
\end{array}\right)
$$

Jacobi 矩阵的迹 $T=5-2 a$ ，行列式 $D=a(a-5)$ ，由定理 4.1 知，当 $a>5$ 时，平衡点 $(0, a)$ 为稳定的；当 $a<5$ 时，平衡点 $(0, a)$ 为不稳定的．
（2）在平衡点 $(5,0)$ 处，

$$
J(5,0)=\left(\begin{array}{cc}
-5 & -5 \\
0 & a-10
\end{array}\right)
$$

Jacobi 矩阵的迹 $T=a-15$ ，行列式 $D=5(10-a)$ ，由定理 4.1 知，当 $a<10$ 时，平衡点 $(5,0)$ 为稳定的；当 $a>10$ 时，平衡点 $(5,0)$ 为不稳定的．
（3）在平衡点 $(a-5,10-a)$ 处，

$$
J (a-5,10-a)=\left(\begin{array}{cc}
5-a & 5-a \\
-20+2 a & a-10
\end{array}\right)
$$

Jacobi 矩阵的迹 $T=-5$ ，行列式 $D=(5-a)(10-a)$ ，由 $5<a<10$ 及定理 4.1 知，平衡点 $(a-5,10-a)$ 为不稳定的，此时分歧图如 4.4 所示．

![图片](/uploads/2025-06/2e8eca.jpg)
图 4.4 （4．34）以 $a$ 为参数的分歧图解

## 4.5.2 Hopf 分歧
另一可能的分歧点发生在 Jacobi 矩阵的迹 $T=0$ 的点，若 $T=0$ ，而 $D>0$ ，则 $J$ 具有一对纯虚特征值．此时有以下定理：

定理 4.3 （Hopf 分歧定理）对于含参数 $\lambda \in R$ 的平面系统

$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=f(\lambda, x, y), \\
y^{\prime}=g(\lambda, x, y),
\end{array}\right. ...(4.35)
$$

假设 $f, g$ 为连续可微函数，若（4．35）有一族平衡解 $\left\{(\lambda, x(\lambda), y(\lambda))\left|\left|\lambda-\lambda_0\right|<\varepsilon\right\}\right.$ ，使得 $x(\lambda), y(\lambda)$ 连续可微，$x(0)=x_0, y(0)=y_0$ ，并且 Jacobi 矩阵 $J (\lambda)= D _{(x, y)}(f, g)$的特征值为 $\mu(\lambda) \pm i \omega(\lambda)$ ，满足
（1）$\mu\left(\lambda_0\right)=0, \omega\left(\lambda_0\right)>0$ ；
（2）$\mu^{\prime}\left(\lambda_0\right) \neq 0$ ，
则（4．35）在 $\left(\lambda_0, x_0, y_0\right)$ 、附近有一组周期解 $\{(\lambda(s), x(s, t), y(s, t)) \mid 0<s<\delta\}$ ，其周期为 $T(s)$ 且 $\lim _{s \rightarrow 0^{+}} \lambda(s)=\lambda_0, \lim _{s \rightarrow 0^{+}} T(s)=\frac{2 \pi}{\omega\left(\lambda_0\right)}, \lim _{s \rightarrow 0^{+}}\left(\max _{t \in R }\left(\left|x(s, t)-x_0\right|+\mid y(s, t)-\right.\right.$ $\left.\left.y_0 \mid\right)\right)=0($ 图 4．5 $)$.

![图片](/uploads/2025-06/bd263a.jpg)
 
`例4.6` 求 Brusselator 模型

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=a+x^2 y-(b+1) x, \\
\frac{d y}{d t}=b x-x^2 y,
\end{array} a>0, b>0\right. ...(4.36)
$$

的 Hopf 分歧点．
解 由

$$
\left\{\begin{array}{l}
a-(b+1) x+x^2 y=0 \\
b x-x^2 y=0
\end{array}\right.
$$

解得 $(a, b / a)$ 是方程（4．36）唯一的常数平衡解．
方程（4．36）在平衡解 $(a, b / a)$ 处的 Jacobi 矩阵为

$$
J=\left(\begin{array}{cc}
b-1 & a^2 \\
-b & -a^2
\end{array}\right)
$$

则 Jacobi 矩阵 $J$ 的迹为 $T=b-\left(1+a^2\right)$ ，行列式为 $D=a^2>0$ ．下面固定 $a$ ，以 $b$为参数：
（1）当 $T<0$ ，即 $b<a^2+1$ 时，平衡解 $(a, b / a)$ 是稳定的；
（2）当 $T>0$ ，即 $b>a^2+1$ 时，平衡解 $(a, b / a)$ 是不稳定的；
（3）当 $T=0$ ，即 $b=a^2+1$ 时，$\mu^{\prime}(b)=\frac{1}{2} T^{\prime}(b)=\frac{1}{2} \neq 0$ ，由定理 4.3 知（4．36）在 $(a, b / a)$ 处发生了 Hopf 分歧，产生周期解．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：周期轨线，Poincaré－Bendixon 定理

下一篇：生态学模型分析

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)