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附录: Lorenz 方程组

## 附录 Lorenz 方程组
已经看到一阶二维自治微分方程组解的行为比单个方程的解更加有趣，更加复杂．对于一个未知函数的自治微分方程，解依赖于相线，解的渐近行为完全由平衡点的位置和性质决定。对于两个未知函数的方程组的解，它依赖于二维相平面。一个平面比一条线有更多的＂房间＂，因此，解在相平面上能做＂更多有趣的事情＂．这包括形成更多形式的环（周期解）、逐步逼近和远离平衡点．

然而，对于相平面上的图形的类型仍然有几种限制．唯一性定理说明相图中的轨线不能交叉．因此，如果存在一个周期解在相平面上形成一个环，则初值在这个环中的轨线一定所有时间都位于这个环内．进一步，如果两个或三个轨线能够分离相平面，由唯一性定理，解和它们的初值点一定位于同一个区域。

如果未知函数为三个，则情况将变得更加复杂．三个因变量的自治方程组的轨线是三维相空间的曲线．仍然可以应用唯一性定理，因此，轨线也不能相交，但三维空间的这个限制不同于二维空间．这些曲线可以扭结和以非常复杂的方式连接．

首先认识到三维方程组可能的复杂性的是 Poincaré．在1890年，由于研究牛顿三体问题，Poincaré 意识到三个变量的方程组的行为如此复杂，以至于都不能试图画出它们．现在应用计算机能轻松地画出复杂曲线的数值逼近．现在的问题是弄清楚图像的意义，这是目前动力系统研究的活跃领域，现在距离完全弄清楚三个变量的方程组的精确行为还有很远的距离。

本节研究一个被称为 Lorenz 方程组的一阶三维方程组．这个方程组是1963年由 Lorenz 努力模拟天气情况得来的。它之所以重要是因为向量场是由非常简单的方程形成的，然而轨线是非常复杂的。
1．Lorenz 方程组
类似地球上的天气情况这样的物理系统的行为明显是非常复杂的．为了预测天气，许多数学模型得以发展．从气象站和卫星读取的数据被用作初值条件，解的数值模拟常常用来得到预测。

天气预报长时间（超过 5 d ）预测成功的是非常有限。这可能是因为模型在天气发展的某些方面的描述不够准确，也可能是方程是准确的，但是方程的某些性质使得预测困难．因此，理论上研究模型与数值上同样重要．

天气情况如此复杂，因此，从理论上首先研究简单化的模型是非常必要的．经过简化后，气象学家 Ed Lorenz 得到了如下方程组：

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=\sigma(y-x) \\
\frac{d y}{d t}=\rho x-y-x z \\
\frac{d z}{d t}=-\beta z+x y
\end{array}\right.
$$

其中，$x, y, z$ 是因变量，$\sigma, \rho, \beta$ 是参数．这个方程组比实际用的天气模型简单得多，以至于不能告诉我们关于明天天气情况的任何信息．然而，通过研究这个方程组，Lorenz 帮助科学家及工程学家开始了一个被称为浑沌理论的科学革命．
2．向量场
Lorenz 选择研究带有参数 $\sigma=10, \beta=\frac{8}{3}, \rho=28$ ，即

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=10(y-x) \\
\frac{d y}{d t}=28 x-y-x z \\
\frac{d z}{d t}=-\frac{8}{3} z+x y
\end{array}\right.
$$

方程组右边定义了一个三维空间的向量场

$$
F (x, y, z)=\left(10(y-x), 28 x-y-x z,-\frac{8}{3} z+x y\right)
$$

其在每一点 $(x, y, z)$ 表示三个分量的向量．和二维方程组一样，平衡点是向量场消失的点 $(x, y, z)$ ，即满足 $F (x, y, z)=0$ ．通过直接计算得平衡点为 $(0,0,0),(6 \sqrt{2}, 6 \sqrt{2}$ ， $27),(-6 \sqrt{2},-6 \sqrt{2}, 27)$ ．

解的初值条件由三个坐标 $x, y, z$ 的值组成，结果将它作为系统相空间的一个点．除了平衡点及初值在 $z$ 轴上的解，很难找到解的公式．因此，转向数值方法．

三维方程组的欧拉方法与二维的一样，逼近解由短时间步长的向量场构造．Lorenz 通过数值逼近解开始研究这个方程组，我们也跟随他的足迹研究．

3．数值逼近解
下面开始观察初值为 $(0,1,0)$ 的数值逼近解．很清楚地看到一些有趣的事情发生了，解看起来没有任何特别的形式．例如，在 $x$ 轴以不可预测的方式从正值跳到负值、、
 ![图片](/uploads/2025-06/acbca3.jpg)
 
 尽管看起来这种自由的形式有些让人紧张，但是如果比较初值 $(0,1,0)$ 的解和初值 $(0,1.001,0)$ 的解的行为，则会发现更为有趣的事．第二个解开始时离第一个解非常近，并且伴有 $x, y, z$ 不可预测的振动．然而最终可以看到它们以非常不同的方式振动．初值条件的非常微小的变化能引起解的行为非常大的变化．

事实上，这种奇怪行为几乎发生在每一条轨线．函数 $x(t), y(t), z(t)$ 以不可预测和唯一的方式振动，但是三维空间的轨线生成的解图形对每个解来说几乎是相同的．

轨线看起来像是在 $z$ 轴上方围绕着平衡点以螺旋式上升的环．当半径变得太大的，解接近 $(0,0,0)$ 并且再重新注入两个平衡解中的一个．

4．混沌
Lorenz 方程组的定性分析是很难进行的，然而从思想上说，它对于许多不同的科学分支有重要的影响．Lorenz 方程组有两个重要的性质．首先是初值小的变化引起相应解的巨大变化。如果像 Lorenz 方程组一样简单的方程组有这条性质，则完全有理由相信它也是一个很复杂的系统．任何初值小的误差都能导致解的预测的巨大误差，这可能也是类似天气这样的物理系统如此难以预测的原因．

Lorenz 方程组的第二个性质是尽管个别解是非常不同的，但在三维相空间轨线的图像（图 4．12）看起来是相当得类似，许多解看起来充满三维空间的相同区域．因此，Lorenz 方程组的解依然有许多可以研究的复杂结构．
 ![图片](/uploads/2025-06/02c552.jpg)

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