最后更新: 2026-02-08 08:07 查看: 132 次纠错评论(0) 课件开VIP

复积分的几何意义

## 复积分需要是解析函数吗？
答案是不一定。在复数微分里，需要解析函数，但是在复数积分里，并不一定需要解析函数。

在通常的微积分里， $\int_a^b$ 这个记号的含义是很清楚的．然而，如果我们想把它推广到 $C$ ，立即就会看到这里需要一种新思想，问题在于如何由 $a$ 走到 $b$ ？在 $R$ 中只有一个途径，但是现在 $a$ 和 $b$ 都是平面上的点，所以必须指定一条道路（称为回路）以便＂沿此回路积分＂。这样就很自然地会问：积分之值是否依赖于回路的选择。

一般说来，积分之值会依赖于路径的选择。例如，我们马上就会遇到一个复映射的积分，如果在一个回路上计算它的值，就会得出这个回路所围区域的面积——面积之值对回路极其依赖。应该从一开始就说清楚，微分只是对于一类严格局限的解析函数集合才有意义，积分却不是这样．事实上，我们上面讲的例子就涉及非解析函数的积分．

本节的主要目的（超越了仅仅是建立积分学）就是去发现积分之值不依赖于回路选择的条件。这种结果之一是实分析中微积分基本定理的类比，出于对实分析这一学科的尊重，在复分析中这个类比也沿用了这个名称。然而，在复领域中，这却用语不当**因为在复分析中存在一个更深刻而且在实数世界中没有对应的基本结果，称为柯西定理**

正如我们曾说过的那样，对非解析函数做积分不仅是可能的，有时还是有用的．然而，不应该感到吃惊的是，如果集中于解析映射的积分，就会产生新现象．柯西定理是这些新现象的本质. 这个定理本质上就是说,只要被积的映射在这两条回路之间的区域中处处都是解析的,这两个由a到b的积分就是一致的,即其值相同.这门学科的几乎所有的基本结果（包括有些已经讲过的）都是从这个聚宝盆里出来的.

### 实积分
让我们回顾一下实变函数积分的几何意义。如题主所说，对于实一元函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的积分 $\int_a^b f(x) d x$ ，其几何意义就是函数曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴在 $[a, b]$ 区间所围成的面积。这种几何意义让我们更直观地理解了实积分实际上在测量和计算什么。

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 在实数积分里，我们把区间无线分割，然后把各个小矩形面积累加求和，这种方法也被称为黎曼积分或者黎曼和。
 
 ### 复积分
 在实积分情况下, 我们由一个很明确的几何目标（求面积）开始,然后发明了积分作为达到目的的手段. 在复情况下,我们则把这个过程颠倒过来,也就是说,首先盲目地推广实积分（通过黎曼和）,只是到后来才会问问自己究竟创造出什么了. 
 
 我们首先将找出一种方法把积分画成单个复数. 然后将从一种完全不同的观点看出,一个积分的实部和虚部分别有生动的几何（和物理）意义. 
 
 
 考虑图 8－7，为了将复映射 $f(z)$ 从 $a$ 到 $b$ 积分，我们需指定一条连接两点的曲线并沿着它做积分。这条曲线（记为 $K$ ）现在就起积分区间的作用，和上面一样，我们将它分为小段 $\Delta_i$ ，这里为方便起见，设它们均有相同长度． 现在这些小段的方向并不一致。为了构造黎曼和，我们在 $K$ 的每一小段中取 $z_i$ 点然后做乘积 $f\left(z_i\right) \Delta_i$ 的和。最后，让小段的数目增加而使 $\Delta_i$ 越来越紧贴着 $K$ ，这时黎曼和将趋向一极限值（只要映射是连续的），这个极限值就是复积分的定义，记作

$$
\int_K f(z) d z .
$$

我们把这个黎曼和记作 $R_M$

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 图8-7
 
 
 为了进而理解 $R_M$ 的几何意义，请看图 8－8．图上画出了 $K$ 在映射 $z \mapsto w=$ $f(z)$ 下的象，特别是标出了图 8－7 中的各点 $z_i$ 之象 $w_i . R_M$ 中相应的项是 $\widetilde{\Delta}_i \equiv$ $w_i \Delta_i$ ，我们把它看作 $w_i$＂作用于＂$\Delta_i$ 所得的向量，即将 $\Delta_i$ 之长放大 $\left|w_i\right|$ 倍并旋转一个角 $\arg \left(w_i\right)$ ．
 
 在得到每一个 $\widetilde{\Delta}_i$ 后，我们再把它们首尾相接地联起来，如图 8－9 所示．$R_M$ 之值，亦即积分的近似值，就是连接起点到终点的复数．  注意，因为所得是连接二点的复数（向量），所以原点取在哪里并无关系．
 
 ![图片](/uploads/2025-06/adb458.jpg){width=400px}
 图8-8
 
 图 8－9 本来是用于传递一般思想的，事实上它却成了对应于图 8－7 和图 8－8 的特定 $R_M$ 的忠实的估计，你会逐渐相信这一点的。做到这一点的最容易的办法可能是集中注意 $\widetilde{\Delta}_i$ 的长度而把角度分开考虑。当 $w$ 画出图8－8中的象曲线时，$\Delta_i$ 的长度会逐渐消逝，这就使图 8－9 中相应的 $\widetilde{\Delta}_i$ 也收缩。类似地，$w$ 的辐角的增加则使 $\widetilde{\Delta}_i$ 发生越来越大的旋转。
 
  ![图片](/uploads/2025-06/e0638c.jpg)
图8-9

## **一个可视化技巧**
 
 
选取 $\Delta_i$ 具有相等长度虽然不是严格必要的，但它的好处大概是很清楚的：$\widetilde{\Delta}_i$的长度一定正比于 $\left|w_i\right|$ ，所以用肉眼来追踪 $\left|\widetilde{\Delta}_i\right|$ 的演化也非难事．但是，想要可视化地追踪 $\widetilde{\Delta}_i$ 辐角的演化就不那么容易了。

当在图 8－7 中沿 $\Delta_i$ 运动时，我们要转一连串急弯．图 8－7 中画出了一个典型的弯道，其转角为 $\phi_i$ ．那么黎曼和 $R_M$ 在相应的弯道处的转角 $\widetilde{\phi}_i$ 是什么？举例来说，如果 $w_{i+1}$ 与 $w_i$ 指向相同方向，则 $\Delta_{i+1}$ 与 $\Delta_i$ 各受复数 $w_{i+1}$ 与 $w_i$ 所施加的旋转是同样的，因此黎曼和中由 $\widetilde{\Delta}_i$ 到 $\widetilde{\Delta}_{i+1}$ 的旋转角 $\widetilde{\phi}_i$ 与图 8－7 中由 $\Delta_i$ 到 $\Delta_{i+1}$
的旋转角 $\phi_i$ 是一样的．更一般地，如果由 $w_i$ 到 $w_{i+1}$ 的转角是 $\tau_i$ ，则

$$
\widetilde{\phi}_i=\phi_i+\tau_i .
$$

这个简单的观察就减少了把 $R_M$ 可视化的困难。现在再没有必要去看每个 $w_i$的辐角（它们可能很大而且难以目测），然后再试着去想象旋转以后的 $\widetilde{\Delta}$ 的方向。事实上，我们只需这样做一次，找到 $\widetilde{\Delta}_1$ ，使 $R_M$ 在一开始就有一个正确的初始方向．然后下一个 $\widetilde{\Delta}$ 只要对前一个 $\widetilde{\Delta}$ 转一个 $\widetilde{\phi}$ 就行了．利用（8．4），这些 $\widetilde{\phi}_i$ 很容易目测。

我们就图 8－7 与图 8－8 所给的具体例子，把这个做法慢慢地详细讲一讲．在图8－9 中我们先把 $\Delta_i$（其辐角为 $\beta$ ）再转一个角 $\alpha$（即 $w_i$ 的辐角），得出 $\widetilde{\Delta}_1$ 的辐角为 $\alpha+\beta$（见图8－9）．以后只需用（8．4）就可以做出 $R_M$ 的其余各项。为了做出下一个 $\widetilde{\Delta}$ ，例如 $\widetilde{\Delta}_2$ ，只需知道 $\widetilde{\Delta}_2$ 是由 $\widetilde{\Delta}_1$ 转过一个角 $\widetilde{\phi}_1=\phi_1+\tau_1$ 而来。在图8－7 上 $\phi_1$ 是负角，图8－8 上的 $\tau_1$ 是一个小的正角，可以消去 $\phi_1$ 的一部分而在 $R_M$ 中生成一个转角较小的弯道。在做出 $\widetilde{\Delta}_2$ 以后又要对它做上面的事。例如 $\phi_3$为正，对它还要增加一个 $\tau_3$ ，它比 $\tau_1$ 和 $\tau_2$ 大约要大两倍左右，这样就得到了 $\widetilde{\phi}_3$ 。你现在来做 $R_M$ 余下的各项，应该比以前更细致了．

##  一个有用的不等式
从图 8－9 就可以看得很清楚，如果能把 $R_M$ 中的那些弯道拉直，它就会变得更长，进一步说，拉直了后 $R_M$ 之长就是 $\left|\widetilde{\Delta}_i\right|$ 之和，这样

而等号当且仅当所有 $\widetilde{\phi}_i=0$ 时成立。 ${ }^{(1)}$ 若令 $M$ 为图 8－8 中的象曲线离原点的最大距离，就有

$$
\left|R_M\right| \leqslant M \sum\left|\Delta_i\right| .
$$

但右方的和正是 $K$ 的折线逼近的长度，所以不会超过 $K$ 的真实长度．取极限后 $R_M$ 变成了积分，得到

$$
\left|\int_K f(z) d z\right| \leqslant M \cdot(K \text { 之长度 }) .
$$

例如，设 $f(z)=(1 / \bar{z})^2, K$ 为圆周 $|z|=r$ ，则（8．5）蕴涵了 $\left|\int_K f(z) d z\right| \leqslant(2 \pi / r)$ ．这特别意味着 $\lim _{r \rightarrow \infty} \int_K f(z) d z=0$ 。这是（8．5）的一个典型的（虽然有些简单化）用处：一个很常见的事是希望证明当 $K$ 在某一族曲线（例如半径渐增的一族圆周）中演化时，$K$ 上的积分最终会消失．（8．5）表明，只要证明 $K$ 上的 $f(z)$ 的最大模衰减得比 $K$ 之长度的增加更快就行了．

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