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复变函数与积分变换
第三篇 复变函数的积分
一个重要积分:反演积分 w= ∫1/z
最后
更新:
2025-10-19 15:45
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一个重要积分:反演积分 w= ∫1/z
> 下面我们将使用复变函数积分的定义推导出 $w= \int \frac{1}{z}$ 的积分值为 $2\pi i$ 复分析中一个最重要的积分可能就是复反演映射 $\int \frac{1}{z}= 2 \pi i$ 的积分. 这句话所包含的真理只会逐渐地显现,这就是我们在这个特例上不惜花费大量精力的理由,因为本文涉及到后面介绍的 [共形映射](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=898) 所以,初学者也可以跳过,直接记住结论即可 ## 复反演映射积分 ### $z$平面运动 我们的需求很简单,计算 $\frac{1}{z}$的积分值,其中积分路径为以原点为圆心,半径$A=1$的圆。 先记 $K$ 是以原点为中心、以 $A=1$ 为半径的一段圆弧的情况(见图 8-11a)。我们把这条路径分成许多长度相等的小段(最终是无穷小段)。显然所有转角 $\phi_i$ 都是相等的,用 $\phi$ 记此公共值。由初中简单的几何知识,不难得到每一段在原点处所张的角也是 $\phi$ ,所以 $|\Delta|=A \phi$ . > 你可以想象你沿着半径为A的圆匀速运动,假设你每秒走$\phi$ 弧度,则你对应的圆弧周长为 $A \phi$ {width=300px} 8-11a ### $w$平面运动 当 $z$ 绕此圆周旋转时,其象 $w= \frac{1}{z}$ 将绕一个半径为 $\frac{1}{A}$ 的圆周反向旋转(图8-11b),所以 $w$ 把每一个 $\Delta$ 都缩为长度为 $\phi$ 的 $\widetilde{\Delta}$ . > 其实对于像的运动,使用指数表示可能更容易理解。记$z=re^{i\theta}$ 所以 $w=\frac{1}{z}= \frac{1}{r} e^{-i\theta}$ ,所以,当$z$逆时针旋转时,$w=\frac{1}{z}$ 将顺时针旋转,且其速度为原速度的倒数。 {width=300px} 8-11b 我们取四个特
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