最后更新: 2025-06-22 09:28 查看: 137 次纠错评论(0) 课件开VIP

第4节联络和协变导数

## 向量与联络 
当我们在我们的位置建立起自己的坐标系后，我们就可以做很多测量，测量的结果可能是一个标量，比如温度、质量，这些量不管你用什么坐标系，它都是一样的。当然，有时候我们会测量向量，比如速度、加速度、力等，这些量都是客观实体，但因为测量结果是用坐标的分量表示的，所以如果换一个坐标，它的分量就完全不一样了。

假如所有的位置都使用同样的坐标，那自然就没有什么争议了，然而我们前面已经反复强调，不同位置的人可能出于各种原因，使用了不同的坐标系，因此，当我们写出一个向量 $A^\mu$ 时，严格来讲应该还要注明是在 $x$ 位置测量的：$A^\mu( x )$ ，只有不引起歧义的情况下，我们才能省略它。

到这里，我们已经能够进行 些计算，比如 $A^\mu$ 是在 $x$ 处测量的，而 $x$ 处的模长计算公式为 $d s^2=g_{\mu \nu} d x^\mu d x^\nu$ ，因此，$A^\mu$ 的模长为 $\sqrt{g_{\mu \nu} A^\mu A^\nu}$ ，它是一个客观实体。

![图片](/uploads/2025-06/505eb7.jpg)
 
 如图，可以在球面上每一点建立不同的局部坐标系，至少这些坐标系的竖直方向的轴指向是不一样的。
 
 有些时候我们要比较不同位置的两个向量，这就涉及到了作差。特别的是，由于不同位置的坐标系不同，我们如果直接对两个不同位置的向量分量进行相减，是没有意义的。这就好比中国的 5 元人民币和美国的 5 元美金，我们不能得出＂ 5 元美金 -5 元人民币 $=(5-5)=0$＂的结论。不过这种情况只是单位选取不一致产生的，选取相同的单位就设事了，但是向量的测量结果不仅跟单位有关，而且跟坐标系有关。比如，一架飞机从中国飞到美国，经过中国某位置时，测得的速度为 $(300,300,300)$ ，到了美国某位置时，测得的速度也是 $(300,300,300)$ ，单位都用＂千米／小时＂，但是在中国时是中国人测的，在美国时是美国人测的，大家都知道，美国和中国分别位于地球的两端，它们所建立的局部坐标系肯定是不一样的，这样我们也不能说，飞机在两地的速度差为
$(300-300,300-300,300-300)=(0,0,0)$ 了，因为，还跟方向有关呢！
说白了，产生这个问题的原因就是不同位置使用了不同的坐标系——坐标的单位长度不一样，坐标轴的指向不一样，等等。因此，我们需要将一个位置的向量坐标，变换到另外一个位置的坐标中去，才能对分量进行比较。这里，我们只考虑两个距离为无穷小的位置 $x$ 和 $x +d x$ 的变换，即怎么将位于 $x +d x$ 处测量的向量 $A ^\mu( x +d x )( x +d x$ 处有自己的坐标系），用 $x$ 处的坐标系表示出来。很显然 ，这涉及到一个变换矩阵，因此关键是确定这个变换矩阵。

怎么找到这个矩阵呢？设想一下我们可以在 $x$ 处放一个试探向量，然后把这个向量放到 $x +d x$ 处，看看它变成了什么。只要有足够多的试探向量，我们就可以确定这个变换矩阵了。因此，我们需要一组最自然的试探向量来给我们提供参考，而我们已经知道了测地线这个客观实体，事实上测地线就提供了一个最自然的参照物，没有比它更加自然了。我们可以把测地线的方程改写为

$$
d\left(\frac{d x^\mu}{d s}\right)=-\Gamma_{\alpha \beta}^\mu \frac{d x^\alpha}{d s} d x^\beta
$$

这个公式的意思是，如果在当前位置 $x$ 有个单位向量 $\frac{d x^\mu}{d s}$ ，那么它沿着测地线方向往前走了 $d x$ 后，单位向量 $\frac{d x^\mu}{d s}$ 的变化量为 $d\left(\frac{d x^\mu}{d s}\right)$ ，它也等于 $-\Gamma_{\alpha \beta}^\mu \frac{d x^\alpha}{d s} d x^\beta$ ，即

$$
\frac{d x^\mu}{d s} \quad \rightarrow \quad \frac{d x^\mu}{d s}-\Gamma_{\alpha \beta}^\mu \frac{d x^\alpha}{d s} d x^\beta
$$

那么，从 $x$ 到 $x +d x$ 的坐标变换矩阵（雅可比矩阵）就为

$$
\frac{\partial\left(\frac{d x^\mu}{d s}-\Gamma_{\alpha \beta}^\mu \frac{d x^\alpha}{d s} d x^\beta\right)}{\partial \frac{d x^\nu}{d s}}=\delta_\nu^\mu-\Gamma_{\nu \beta}^\mu d x^\beta
$$

这样，如果反过来，从 $x +d x$ 到 $x$ 的坐标变换矩阵就为

$$
\delta_\nu^\mu+\Gamma_{\nu \beta}^\mu d x^\beta
$$

这样子看，系数 $\Gamma_{\alpha \beta}^\mu$ 把 $x$ 和 $x+d x$ 两处的坐标联系了起来，因此称之为＂联络系数＂是非常恰当的。
知道了坐标变换方式，我们就容易得到，如果将 $A ^\mu( x +d x )$ 放到 $x$ 位置测量，那么结果将是

$$
\left(\delta_\nu^\mu+\Gamma_{\nu \beta}^\mu d x^\beta\right) A^\nu( x +d x )=A^\mu( x +d x )+\Gamma_{\nu \beta}^\mu A^\nu( x +d x ) d x^\beta ...(32)
$$

## 协变导数 
我们之前提到过，向量有作差的需求，并且在联络的部分已经研究了相距无穷小的两个位置的坐标变换，得到式（32）的结果：如果将 $A^\mu( x +d x )$ 放到 $x$ 位置测量，那么结果将是

$$
A^\mu( x +d x )+\Gamma_{\nu \beta}^\mu A^\nu( x +d x ) d x^\beta
$$

这样一来，我们就可以直接作差了，因为两个向量已经是在同一位置测量了。

$$
A^\mu( x +d x )+\Gamma_{\nu \beta}^\mu A^\nu( x +d x ) d x^\beta-A^\mu( x )
$$

我们可以研究极限情形：

$$
\lim _{d x \rightarrow 0} \frac{A^\mu( x +d x )+\Gamma_{\nu \beta}^\mu A^\nu( x +d x ) d x^\beta-A^\mu( x )}{d x^\beta}
$$

不难得出，结果将是

$$
\frac{\partial A^\mu}{\partial x^\beta}+\Gamma_{\nu \beta}^\mu A^\nu
$$

这称为向量 $A^\mu$ 的协变导数，记为

$$
A_{; \beta}^\mu=\frac{\partial A^\mu}{\partial x^\beta}+\Gamma_{\nu \beta}^\mu A^\nu
$$

而很自然地，将下述结果称为协变微分：

$$
D A^\mu=d A^\mu+\Gamma_{\nu \beta}^\mu A^\nu d x^\beta
$$

如果除以线元 $d s$ ，那么得到微分

$$
\frac{D A^\mu}{D s}=\frac{d A^\mu}{d s}+\Gamma_{\nu \beta}^\mu A^\nu \frac{d x^\beta}{d s}
$$

可见结果是跟曲线 $x^\beta$ 的选取有关的，我们一般选取为测地线，上式称之为测地导数（沿着测地线求导 ）。

回顾整个过程，我们导出协变导数的出发点是：直接将两个位置的向量分量相减是没有意义的，如果有必要，则需要把一个位置的向量变换到另外一个位置上去。如果研究极限情况，就得到了协变导数。协变导数是空间中有几何意义的导数定义，因此它也是一个客观实体。

在一般的张量分析或者黎曼几何教程中，导出协变导数的方式有很多。有的教材采取了这样的思路：因为我们知道直角坐标系下梯度的具体形式，所以从直角坐标系出发，通过变换规律得到其它坐标系下的导数形式。看上去很合理，但事实上隐含了平直空间的假设——也就是说，虽然使用了曲线坐标系，但是能够通过某种变换变回直角坐标系，否则这种做法不成立。这意味着空间是平直的；而弯曲的空间具有相同的结果，某种意义上只是个巧合。如果用同样的思路去导出黎曼曲率，会发现结果恒等于 $O -$ —因为本来就是平直空间。

还有其他的一些导出方式，总的来说，我认为多数方式怎么看都＂不够几何＂，更多的是代数的演算。笔者这里使用了尽量几何化的思路。

本文转载 科学空间 ， [原文地址](https://spaces.ac.cn/archives/3998)

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：第3节测地线

下一篇：第5节黎曼曲率

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)

第4节 联络和协变导数

《高等数学》难点解析

《线性代数》难点解析

《概率论与数理统计》难点解析

第4节联络和协变导数