最后更新: 2025-06-22 09:28 查看: 95 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

第4节联络和协变导数

## 向量与联络 
当我们在我们的位置建立起自己的坐标系后，我们就可以做很多测量，测量的结果可能是一个标量，比如温度、质量，这些量不管你用什么坐标系，它都是一样的。当然，有时候我们会测量向量，比如速度、加速度、力等，这些量都是客观实体，但因为测量结果是用坐标的分量表示的，所以如果换一个坐标，它的分量就完全不一样了。

假如所有的位置都使用同样的坐标，那自然就没有什么争议了，然而我们前面已经反复强调，不同位置的人可能出于各种原因，使用了不同的坐标系，因此，当我们写出一个向量 $A^\mu$ 时，严格来讲应该还要注明是在 $x$ 位置测量的：$A^\mu( x )$ ，只有不引起歧义的情况下，我们才能省略它。

到这里，我们已经能够进行 些计算，比如 $A^\mu$ 是在 $x$ 处测量的，而 $x$ 处的模长计算公式为 $d s^2=g_{\mu \nu} d x^\mu d x^\nu$ ，因此，$A^\mu$ 的模长为 $\sqrt{g_{\mu \nu} A^\mu A^\nu}$ ，它是一个客观实体。

![图片](/uploads/2025-06/505eb7.jpg)
 
 如图，可以在球面上每一点建立不同的局部坐标系，至少这些坐标系的竖直方向的轴指向是不一样的。
 
 有些时候我们要比较不同位置的两个向量，这就涉及到了作差。特别的是，由于不同位置的坐标系不同，我们如果直接对两个不同位置的向量分量进行相减，是没有意义的。这就好比中国的 5 元人民币和美国的 5 元美金，我们不能得出＂ 5 元美金 -5 元人民币 $=(5-5)=0$＂的结论。不过这种情况只是单位选取不一致产生的，选取相同的单位就设事了，但是向量的测量结果不仅跟单位有关，而且跟坐标系有关。比如，一架飞机从中国飞到美国，经过中国某位置时，测得的速度为 $(300,300,300)$ ，到了美国某位置时，测得的速度也是 $(300,300,300)$ ，单位都用＂千米／小时＂，但是在中国时是中国人测的，在美国时是美国人测的，大家都知道，美国和中国分别位于地球的两端，它们所建立的局部坐标系肯定是不一样的，这样我们也不能说，飞机在两地的速度差为
$(300-300,300-300,300-300)=(0,0,0)$ 了，因为，还跟方向有关呢！
说白了，产生这个问题的原因就是不同位置使用了不同的坐标系——坐标的单位长度不一样，坐标轴的指向不一样，等等。因此，我们需要将一个位置的向量坐标，变换到另外一个位置的坐标中去，才能对分量进行比较。这里，我们只考虑两个距离为无穷小的位置 $x$ 和 $x +d x$ 的变换，即怎么将位于 $x +d x$ 处测量的向量 $A ^\mu( x +d x )( x +d x$

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