最后更新: 2025-06-22 09:25 查看: 36 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

第3节测地线

黎曼度量应该是不难理解的，在微分几何的教材中，我们就已经学习过曲面的＂第一基本形式＂了，事实上两者是同样的东西，只不过看待问题的角度不同，微分几何是把曲面看成是二维空间中的二维子集，而黎曼几何则是从二维曲面本身内蕴地研究几何问题。

几何关心什么问题呢？事实上，几何关心的是与变换无关的＂客观实体＂（或者说是在变换之下不变的东西），这也是几何的定义。根据Klein提出的《埃尔朗根纲领》，几何就是研究在某种变换（群）下的不变性质的学科。如果把变换局限为刚性变换（平移、旋转、反射），那么就是欧式几何；如果变换为一般的线性变换，那就是仿射几何。而黎曼几何关心的是与一切坐标都无关的客观实体。比如说，我有一个向量，方向和大小都确定了，在直角坐标系是 $(1,1)$ ，在极坐标系是 $(\sqrt{2}, \pi / 4)$ ，虽然两个坐标系下的分量不同，但它们都是指代同一个向量。也就是说向量本身是客观存在的实体，跟所使用的坐标无关。从代数层面看，就是只要能够通过某种坐标变换相互得到的，我们就认为它们是同一个东西。

因此，在学习黎曼几何时，往＂客观实体＂方向思考，总是有益的。

![图片](/uploads/2025-06/a91fe0.jpg)
 平面上的测地线
 
有了度规，可以很自然地引入“测地线”这一实体。狭义来看，它就是两点间的最短线——是平直空间的直线段概念的推广（实际的测地线不一定是最短的，但我们先不纠结细节，而且这不妨碍我们理解它，因为测地线至少是局部最短的）。不难想到，只要两点确定了，那么不管使用什么坐标，两点间的最短线就已经确定了，因此这显然是一个客观实体。有一个简单的类比，就是不管怎么坐标变换，一个函数f(x) 的图像极值点总是确定的——不管你变还是不变，它就在那儿，不偏不倚。

![图片](/uploads/2025-06/d6ef49.jpg)
 球面上的测地线
 
 
  ![图片](/uploads/2025-06/99391c.jpg)
  等温面上的测地线
  
  从数学看，两点 $x ^1$ 和 $x ^2$ 之间的距离，自然就是

$$
s=\int_{ x ^1}^{ x ^2} d s=\int_{ x ^1}^{ x ^2} \sqrt{g_{\mu \nu} d x^\mu d x^\nu}
$$

因此，测地线就是从过 $x ^1$ 和 $x ^2$ 这两点的所有函数中，找出使得上述积分取值最小的那个函数，这属于变分的问题。很遗憾的是，很多数学系的学生都没有学习过变分法，但我依旧使用这个方案，因为这是一种相当自然的思路，后面我们也会看到，它也提供了一个简化的计算联络的方案。

其实变分的思路很简单，跟求微分差不多，不同的是多了一步分部积分法。我们函数求极值是对函数求导，然后让导函数等于 o ，而这种泛函极值，就是对泛函求变分，然后让变分等于 o 。

$\delta s$

$$
\begin{aligned}
& =\int_{ x ^1}^{ x ^2} \delta \sqrt{g_{\mu \nu} d x^\mu d x^\nu} \\
& =\int_{ x ^1}^{ x ^2} \frac{\delta\left(g_{\mu \nu} d x^\mu d x^\nu\right)}{2 d s} \\
& =\int_{ x ^1}^{ x ^2}\left(\frac{1}{2} \frac{\partial g_{\mu \nu}}{\partial x^\alpha} \frac{d x^\mu}{d s} d x^\nu \delta x^\alpha+g_{\mu \nu} \frac{d x^\mu}{d s} d \delta x^\nu\right) \\
& =\int_{ x ^1}^{ x ^2} \frac{1}{2} \frac{\partial g_{\mu \nu}}{\partial x^\alpha} \frac{d x^\mu}{d s} d x^\nu \delta x^\alpha+\

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