最后更新: 2025-06-22 09:25 查看: 67 次纠错评论(0) 课件开VIP

第3节测地线

黎曼度量应该是不难理解的，在微分几何的教材中，我们就已经学习过曲面的＂第一基本形式＂了，事实上两者是同样的东西，只不过看待问题的角度不同，微分几何是把曲面看成是二维空间中的二维子集，而黎曼几何则是从二维曲面本身内蕴地研究几何问题。

几何关心什么问题呢？事实上，几何关心的是与变换无关的＂客观实体＂（或者说是在变换之下不变的东西），这也是几何的定义。根据Klein提出的《埃尔朗根纲领》，几何就是研究在某种变换（群）下的不变性质的学科。如果把变换局限为刚性变换（平移、旋转、反射），那么就是欧式几何；如果变换为一般的线性变换，那就是仿射几何。而黎曼几何关心的是与一切坐标都无关的客观实体。比如说，我有一个向量，方向和大小都确定了，在直角坐标系是 $(1,1)$ ，在极坐标系是 $(\sqrt{2}, \pi / 4)$ ，虽然两个坐标系下的分量不同，但它们都是指代同一个向量。也就是说向量本身是客观存在的实体，跟所使用的坐标无关。从代数层面看，就是只要能够通过某种坐标变换相互得到的，我们就认为它们是同一个东西。

因此，在学习黎曼几何时，往＂客观实体＂方向思考，总是有益的。

![图片](/uploads/2025-06/a91fe0.jpg)
 平面上的测地线
 
有了度规，可以很自然地引入“测地线”这一实体。狭义来看，它就是两点间的最短线——是平直空间的直线段概念的推广（实际的测地线不一定是最短的，但我们先不纠结细节，而且这不妨碍我们理解它，因为测地线至少是局部最短的）。不难想到，只要两点确定了，那么不管使用什么坐标，两点间的最短线就已经确定了，因此这显然是一个客观实体。有一个简单的类比，就是不管怎么坐标变换，一个函数f(x) 的图像极值点总是确定的——不管你变还是不变，它就在那儿，不偏不倚。

![图片](/uploads/2025-06/d6ef49.jpg)
 球面上的测地线
 
 
  ![图片](/uploads/2025-06/99391c.jpg)
  等温面上的测地线
  
  从数学看，两点 $x ^1$ 和 $x ^2$ 之间的距离，自然就是

$$
s=\int_{ x ^1}^{ x ^2} d s=\int_{ x ^1}^{ x ^2} \sqrt{g_{\mu \nu} d x^\mu d x^\nu}
$$

因此，测地线就是从过 $x ^1$ 和 $x ^2$ 这两点的所有函数中，找出使得上述积分取值最小的那个函数，这属于变分的问题。很遗憾的是，很多数学系的学生都没有学习过变分法，但我依旧使用这个方案，因为这是一种相当自然的思路，后面我们也会看到，它也提供了一个简化的计算联络的方案。

其实变分的思路很简单，跟求微分差不多，不同的是多了一步分部积分法。我们函数求极值是对函数求导，然后让导函数等于 o ，而这种泛函极值，就是对泛函求变分，然后让变分等于 o 。

$\delta s$

$$
\begin{aligned}
& =\int_{ x ^1}^{ x ^2} \delta \sqrt{g_{\mu \nu} d x^\mu d x^\nu} \\
& =\int_{ x ^1}^{ x ^2} \frac{\delta\left(g_{\mu \nu} d x^\mu d x^\nu\right)}{2 d s} \\
& =\int_{ x ^1}^{ x ^2}\left(\frac{1}{2} \frac{\partial g_{\mu \nu}}{\partial x^\alpha} \frac{d x^\mu}{d s} d x^\nu \delta x^\alpha+g_{\mu \nu} \frac{d x^\mu}{d s} d \delta x^\nu\right) \\
& =\int_{ x ^1}^{ x ^2} \frac{1}{2} \frac{\partial g_{\mu \nu}}{\partial x^\alpha} \frac{d x^\mu}{d s} d x^\nu \delta x^\alpha+\left.g_{\mu \nu} \frac{d x^\mu}{d s} \delta x^\nu\right|_{ x ^1} ^{ x ^2}-\int_{ x ^1}^{ x ^2} d\left(g_{\mu \nu} \frac{d x^\mu}{d s}\right) \delta x^\nu \\
& =\int_{ x ^1}^{ x ^2} \frac{1}{2} \frac{\partial g_{\mu \nu}}{\partial x^\alpha} \frac{d x^\mu}{d s} d x^\nu \delta x^\alpha-\int_{ x ^1}^{ x ^2} d\left(g_{\mu \nu} \frac{d x^\mu}{d s}\right) \delta x^\nu \\
& =\int_{ x ^1}^{ x ^2}\left[\frac{1}{2} \frac{\partial g_{\mu \nu}}{\partial x^\alpha} \frac{d x^\mu}{d s} d x^\nu \delta x^\alpha-\frac{\partial g_{\mu \nu}}{\partial x^\alpha} \frac{d x^\mu}{d s} d x^\alpha \delta x^\nu-g_{\mu \nu} d\left(\frac{d x^\mu}{d s}\right) \delta x^\nu\right] \\
& =\int_{ x ^1}^{ x ^2}\left[\frac{1}{2} \frac{\partial g_{\mu \nu}}{\partial x^\alpha} \frac{d x^\mu}{d s} d x^\nu-\frac{\partial g_{\mu \alpha}}{\partial x^\nu} \frac{d x^\mu}{d s} d x^\nu-g_{\mu \alpha} d\left(\frac{d x^\mu}{d s}\right)\right] \delta x^\alpha
\end{aligned}
$$

其中分部积分出来的那一项消失了，是因为我们已经说了＂从过 $x ^1$ 和 $x ^2$ 这两点的所有函数中，找出使得上述积分取值最小的那个函数＂，这样子在边界处有 $\delta x^\nu\left( x ^1\right)=\delta x^\nu\left( x ^2\right)=0$ 。最后因为 $\delta x^\alpha$ 是任意的，因此要使得 $\delta s=0$ ，必然有

$$
\frac{1}{2} \frac{\partial g_{\mu \nu}}{\partial x^\alpha} \frac{d x^\mu}{d s} d x^\nu-\frac{\partial g_{\mu \alpha}}{\partial x^\nu} \frac{d x^\mu}{d s} d x^\nu-g_{\mu \alpha} d\left(\frac{d x^\mu}{d s}\right)=0
$$

稍加整理得

$$
\frac{d^2 x^\mu}{d s^2}+\Gamma_{\alpha \beta}^\mu \frac{d x^\alpha}{d s} \frac{d x^\beta}{d s}=0
$$

其中

$$
\Gamma_{\alpha \beta}^\mu=\frac{1}{2} g^{\mu \nu}\left(\frac{\partial g_{\alpha \nu}}{\partial x^\beta}+\frac{\partial g_{\nu \beta}}{\partial x^\alpha}-\frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^\nu}\right) ...(20)
$$

称为（第二类）克里斯托费尔（Christoffel）符号，也叫联络系数，我们很快就能够弄懂这个名词的意思。而 $g^{\mu \nu}$ 是 $g_{\mu \nu}$ 作为矩阵的逆矩阵，即

$$
g^{\mu \alpha} g_{\alpha \nu}=\delta_\nu^\mu
$$

此外，对 $s$ 的变分，等价于直接以 $s$ 为参数，对下述函数 $S$ 的变分（参考本博客《变分法的一个技巧及其＂误用＂》）：

$$
S=\frac{1}{2} \int g_{\mu \nu} \frac{d x^\mu}{d s} \frac{d x^\nu}{d s} d s
$$

因为 $S$ 没有根号，形式较为简单，所以可以直接代入欧拉－拉格朗日方程中计算，相对于直接变分原来的 $s$ ，有时候更方便。

## 有力的计算工具 
式（20）已经给出了联络系数 $\Gamma_{\alpha \beta}^\mu$ 的计算方式，它涉及到了偏导数、逆矩阵的计算、指标的求和，是一个很复杂的项。读者可以尝试计算它，就能够感受到其中的痛苦之处。然而，有时候我们经过很复杂的计算，最终会发现 $\Gamma_{\alpha \beta}^\mu$ 的很多项都为 o ，也就是说，计算过程很复杂，但计算结果很简单。这就促使我们寻求一种简化的技巧。

事实上，我们从变分途径导出了测地线方程，而这种途径本身就是一个计算 $T _{\alpha \beta}^\mu$ 的有力工具，著名的引力＂圣经＂、MTW的《Gravitation》中第14章＂曲率的计算＂有相关的话题。（前提是结果很简单，如果结果本身很复杂，那么就没有什么化简技巧了）。比如考虑球坐标情形

$$
d s^2=d r^2+r^2 d \theta^2+r^2 \sin ^2 \theta d \phi^2, \quad x^1=r, x^2=\theta, x^3=\phi
$$

它等价于变分

$$
s=\int \frac{1}{2}\left[\left(\frac{d r}{d s}\right)^2+r^2\left(\frac{d \theta}{d s}\right)^2+r^2 \sin ^2 \theta\left(\frac{d \phi}{d s}\right)^2\right] d s
$$

利用欧拉－拉格朗日方程，很快写出

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d^2 r}{d s^2}=r\left(\frac{d \theta}{d s}\right)^2+r \sin ^2 \theta\left(\frac{d \phi}{d s}\right)^2 \\
\frac{d}{d s}\left(r^2 \frac{d \theta}{d s}\right)=r^2 \sin \theta \cos \theta\left(\frac{d \phi}{d s}\right)^2 \\
\frac{d}{d s}\left(r^2 \sin ^2 \theta \frac{d \phi}{d s}\right)=0
\end{array}\right.
$$

整理得

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d^2 r}{d s^2}=r\left(\frac{d \theta}{d s}\right)^2+r \sin ^2 \theta\left(\frac{d \phi}{d s}\right)^2 \\
\frac{d^2 \theta}{d s^2}=-\frac{2}{r} \frac{d r}{d s} \frac{d \theta}{d s}+\sin \theta \cos \theta\left(\frac{d \phi}{d s}\right)^2 \\
\frac{d^2 \phi}{d s^2}=-\frac{2}{r} \frac{d r}{d s} \frac{d \phi}{d s}-\frac{2 \cos \theta}{\sin \theta} \frac{d \theta}{d s} \frac{d \phi}{d s}
\end{array}\right.
$$

对照测地线方程（18），得到

$$
\begin{aligned}
& \Gamma_{22}^1=-r, \quad \Gamma_{33}^1=-r \sin ^2 \theta \\
& \Gamma_{12}^2=\Gamma_{21}^2=\frac{1}{r}, \quad \Gamma_{33}^2=-\sin \theta \cos \theta \\
& \Gamma_{13}^3=\Gamma_{31}^3=\frac{1}{r}, \quad \Gamma_{23}^3=\Gamma_{32}^3=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}
\end{aligned}
$$

其余均为 O 。可以看到，如果熟练变分法（这不需要付出很多心思），就能够帮助我们迅速地找出联络系数来，而不用纠结于各种指标的求和中去。

当然，目前是计算机时代，很少有人会亲自去计算复杂度规的各种联络系数了。但是对于某些不复杂的度规，亲自去计算会让我们对它的认识更为深刻。

本文转载 科学空间 ， [原文地址](https://spaces.ac.cn/archives/3977)

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