最后更新: 2025-06-22 09:19 查看: 71 次纠错评论(0) 课件开VIP

第2节从勾股定理到黎曼度量

##  从勾股定理到黎曼度量
几何，英文名是Geometry，原意是大地测量。既然是测量，就必须有参考物，还有得知道如何计算距离。

有了参照物，我们就可以建立坐标系，把每个点的坐标都写下来，至于计算距离，我们有伟大的勾股定理：

$$
d s^2=d x^2+d y^2 ...(1)
$$

但这里我们忽略了两个问题。
第一个问题是，我们不一定使用直角坐标系，如果使用极坐标，那么应该是

$$
d s^2=d r^2+r^2 d \theta^2 ...(2)
$$

因此可以联想，最一般的形式应该是

$$
d s^2=E\left(x^1, x^2\right)\left(d x^1\right)^2+2 F\left(x^1, x^2\right) d x^1 d x^2+G\left(x^1, x^2\right)\left(d x^2\right)^2 ...(3)
$$

这里的 $x^1, x^2$ 是广义坐标，使用上标而不是下标来标记序号，是为了跟传统的教材记号一致。那这公式是什么意思呢？其实很简单，正如我们没理由要求全世界都使用人民币—样，我们没必要要求世界各地都使用同一个坐标系，而更合理的做法是，每一处地方都使用自己的坐标系（局部坐标系），然后给出当地计算距离的方法。因此，上述公式正是说，在位置 $\left(x^1, x^2\right)$ 处计算向量 $\left(d x^1, d x^2\right)$ 的长度的公式（当地的勾股定理）是 $d s^2=E\left(x^1, x^2\right)\left(d x^1\right)^2+2 F\left(x_1, x_2\right) d x^1 d x^2+G\left(x^1, x^2\right)\left(d x^2\right)^2$ 。

第二个问题是，我们当然不只是研究 2 维平面，我们还要研究 $n$ 维的空间，因此，最一般的公式是

$$
d s^2=g_{\mu \nu}( x ) d x^\mu d x^\nu ...(4)
$$

这里的 $x =\left(x^1, x^2, \ldots, x^n\right)$ ，并且使用了爱因斯坦求和约定，即单项式中相同的上下标意味着求和。 $g_{\mu \nu}$ 就是我们所说的黎曼度量，我们可以选择对称的度量，即 $g_{\mu \nu}=g_{\nu \mu}$ ，并且不改变 $d s^2$ 的形式，而整个 $d s^2$ ，根据我们前面的讨论，就是高维空间中不同位置所使用的不同的计算距离的方式而已。这里，我们恢复了几何的测量意义。

> 另一方面，黎曼度量也可以看成是一种测量的标准。好比各个国家有各自的货币，不尽相同，但如果有一个公式，可以把任意一个国家的货币换算为等价的黄金数量，那么就可以解决不同货币数目的比较问题。黎曼度量有着类似的作用，与其说它给出了不同位置的不同计算距离的方式，倒不如说它统一了各个位置计算距离的方式。

顺便需要说明的是，从只是定义距离的角度来看，我们其实不一定要使用二次型，比如使用 3 次型、 4次型甚至更复杂的形式都可以，但是就实用价值而言，我们只研究二次型的。但即便如此，已经有我们研究不完的问题了。

## 一些例子 
什么情况下会产生（或许说需要）非常数的黎曼度量呢？前面已经看到，将直角坐标变换为极坐标，就会出现非常数的黎曼度量，也就是说，哪怕在平直空间中，只要使用曲线坐标系，就会出现非常数的黎曼度量。

![图片](/uploads/2025-06/fd18b1.jpg)
 球面上的蚂蚁
 
 此外，弯曲空间的黎曼度量 定是非常数的。有没有一些具体的例子呢？最经典的应该是二维球面了 （是二维球面，不是二维球坐标，读者不要弄混了），选定半径为 1 ，那么球面坐标是

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\sin \theta \cos \varphi \\
y=\sin \theta \sin \varphi \\
z=\cos \theta
\end{array}\right. ...(5)
$$

那么它的黎曼度量就是

$$
d s^2=d x^2+d y^2+d z^2=d \theta^2+\sin ^2 \theta d \varphi^2 ...(6)
$$

![图片](/uploads/2025-06/663d23.jpg)
 
 
 另外一个很生动的例子是从《费曼物理学讲义》第二卷中学习到的，假设我们在一个平直的空间中，但空间的温度各处不同。我们用一把热膨胀系数很大的尺子作为我们的测量工具，那么会出现什么结果呢？在温度高的地方，尺子膨胀，那么测量的结果会变小；相反，在温度低的地方，尺子缩小，测量结果会变大。同样的距离，在温度高的地方，可能测量结果是50cm，在温度低的地方，测量的结果是100cm，因此需要一个非常数的度规将它们统一起来——要不就是50乘以2，要不就是100除以2，或者50乘以4、同时100乘以2，等等。不难想到，这时候黎曼度量应该具有的形式是（可以考虑二维的、三维的）

$$
d s^2=f(x, y, z)\left(d x^2+d y^2+d z^2\right) ...(7)
$$

这就导致了一个弯曲空间的出现——这时候不是空间＂弯曲＂了，而是尺子＂弯曲＂了。这个例子也出现在 《费曼引力学讲义》中，据费曼所述，它是Robertson的一个学生发明的。由于明显的物理意义，它也被称为＂等温参数＂或者＂等温坐标系＂。

> 事实上，这跟＂运动是相对的＂有点类似，一个弯曲空间的出现，可能是因为空间本身的弯曲（就像球面那样），也可能是尺子的＂弯曲＂（就像热膨胀的尺子） ，但它们的数学结果是一样的。

## 局部直角坐标系 
现在我们尝试用矩阵形式来描述黎曼度量。记 $g =g_{\mu \nu}, x =x^\alpha, d x =d x^\alpha$ ，这里向量为列向量，并且我们对向量的分量与向量本身不作区分。因此，黎曼度量可以写为

$$
d s^2=d x ^T g d x ...(8)
$$

注意到矩阵 $g$ 是对称的，因此一般情况下，可以分解为 $h ^T h , h$ 是与 $g$ 同阶的矩阵，这时候

$$
d s^2=d x ^T h ^T h d x =( h d x )^T( h d x )=| h d x |^2  ...(9)
$$

也就是说，最后转化为 $h d x$ 的模长，而这个模长跟平直空间的勾股定理是一致的。我们可以认为，矩阵 $h$ 正好描述了当地的坐标系，在坐标系 $h$ 下的向量 $d x$ ，正是等价于当地的局部直角坐标系的向量 $h d x$ 。或者说， $h$ 就是从当地坐标系到局部直角坐标系的变换矩阵（雅可比矩阵）。

有了到直角坐标系的变换，我们能够定义很多几何量，这些几何量都是从平直空间延伸过来的。比如给定向量 $A =A^\mu$ ，它的模长平方就是

$$
| h A |^2= A ^T h ^T h A = A ^T g A =g_{\mu \nu} A^\mu A^\nu ...(10)
$$

给定两个向量 $A$ 和 $B$ ，那么它们的内积就是

$$
( h A )^T( h B )= A ^T h ^T h B = A ^T g B =g_{\mu \nu} A^\mu B^\nu
$$

如果你愿意，还可以定义它们的夹角 $\theta$ 为：

$$
\theta=\arccos \frac{g_{\mu \nu} A^\mu B^\nu}{\sqrt{g_{\mu \nu} A^\mu A^\nu} \sqrt{g_{\mu \nu} B^\mu B^\nu}}
$$

同时，还可以算两个向量 $A$ 和 $B$ 张成的平行四边形的面积：

$$
| h A | \times| h B | \times \sin \theta=\sqrt{\left(g_{\mu \nu} A^\mu A^\nu\right)\left(g_{\mu \nu} B^\mu B^\nu\right)-\left(g_{\mu \nu} A^\mu B^\nu\right)^2}
$$

如果要算（超）体积分，那么体积元是

$$
\operatorname{det}( h ) \prod_\alpha d x^\alpha=\sqrt{\operatorname{det}( g )} \prod_\alpha d x^\alpha=\sqrt{g} d \Omega
$$

这里 $g$ 是 $\operatorname{det}( g )$ 的简记，$d \Omega$ 是 $\prod_\alpha d x^\alpha$ 的简记，注意我们有 $\operatorname{det}( g )=\operatorname{det}\left( h ^T h \right)=(\operatorname{det}( h ))^2$ 。 $\sqrt{g}$ 实际上就是一个体积的缩放因子。有了这个结果，我们就可以写出：给定 $n$ 个向量 $A ^1, A ^2, \ldots, A ^n$ ，把它们写成列向量的形式，那么它们所张成的平行 $n$ 维体的超体积是

$$
\sqrt{g} \operatorname{det}\left( A ^1, A ^2, \ldots, A ^n\right)
$$

这里 $\left( A ^1, A ^2, \ldots, A ^{ n }\right)$ 是指将这 $n$ 个列向量排成一个 $n \times n$ 的矩阵。

本文转载 科学空间 ， [原文地址](https://spaces.ac.cn/archives/3969)

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