最后更新: 2025-06-22 09:19 查看: 31 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

第2节从勾股定理到黎曼度量

##  从勾股定理到黎曼度量
几何，英文名是Geometry，原意是大地测量。既然是测量，就必须有参考物，还有得知道如何计算距离。

有了参照物，我们就可以建立坐标系，把每个点的坐标都写下来，至于计算距离，我们有伟大的勾股定理：

$$
d s^2=d x^2+d y^2 ...(1)
$$

但这里我们忽略了两个问题。
第一个问题是，我们不一定使用直角坐标系，如果使用极坐标，那么应该是

$$
d s^2=d r^2+r^2 d \theta^2 ...(2)
$$

因此可以联想，最一般的形式应该是

$$
d s^2=E\left(x^1, x^2\right)\left(d x^1\right)^2+2 F\left(x^1, x^2\right) d x^1 d x^2+G\left(x^1, x^2\right)\left(d x^2\right)^2 ...(3)
$$

这里的 $x^1, x^2$ 是广义坐标，使用上标而不是下标来标记序号，是为了跟传统的教材记号一致。那这公式是什么意思呢？其实很简单，正如我们没理由要求全世界都使用人民币—样，我们没必要要求世界各地都使用同一个坐标系，而更合理的做法是，每一处地方都使用自己的坐标系（局部坐标系），然后给出当地计算距离的方法。因此，上述公式正是说，在位置 $\left(x^1, x^2\right)$ 处计算向量 $\left(d x^1, d x^2\right)$ 的长度的公式（当地的勾股定理）是 $d s^2=E\left(x^1, x^2\right)\left(d x^1\right)^2+2 F\left(x_1, x_2\right) d x^1 d x^2+G\left(x^1, x^2\right)\left(d x^2\right)^2$ 。

第二个问题是，我们当然不只是研究 2 维平面，我们还要研究 $n$ 维的空间，因此，最一般的公式是

$$
d s^2=g_{\mu \nu}( x ) d x^\mu d x^\nu ...(4)
$$

这里的 $x =\left(x^1, x^2, \ldots, x^n\right)$ ，并且使用了爱因斯坦求和约定，即单项式中相同的上下标意味着求和。 $g_{\mu \nu}$ 就是我们所说的黎曼度量，我们可以选择对称的度量，即 $g_{\mu \nu}=g_{\nu \mu}$ ，并且不改变 $d s^2$ 的形式，而整个 $d s^2$ ，根据我们前面的讨论，就是高维空间中不同位置所使用的不同的计算距离的方式而已。这里，我们恢复了几何的测量意义。

> 另一方面，黎曼度量也可以看成是一种测量的标准。好比各个国家有各自的货币，不尽相同，但如果有一个公式，可以把任意一个国家的货币换算为等价的黄金数量，那么就可以解决不同货币数目的比较问题。黎曼度量有着类似的作用，与其说它给出了不同位置的不同计算距离的方

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：第1节一条几何之路

下一篇：第3节测地线

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)

第2节 从勾股定理到黎曼度量

《高等数学》难点解析

《线性代数》难点解析

《概率论与数理统计》难点解析

第2节从勾股定理到黎曼度量