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第5节黎曼曲率

## 黎曼曲率
现在我们来关注黎曼曲率。总的来说，黎曼曲率提供了一种方案，让身处空间内部的人也能计算自身所处空间的弯曲程度。俗话说，“不识庐山真面目，只缘身在此山中”，还有“当局者迷，旁观者清”，等等，因此，能够身处空间之中而发现空间中的弯曲与否，是一件很了不起的事情，就好像我们已经超越了我们现有的空间，到了更高维的空间去“居高临下”那样。真可谓“心有多远，路就有多远，世界就有多远”。

如果站在更高维空间的角度看，就容易发现空间的弯曲。比如弯曲空间中有一条测地线，从更高维的空间看，它就是一条曲线，可以计算曲率等，但是在原来的空间看，它就是直的，测地线就是直线概念的一般化，因此不可能通过这种途径发现空间的弯曲性，必须有一些迂回的途径。可能一下子不容易想到，但是各种途径都殊途同归后，就感觉它是显然的了。

怎么更好地导出黎曼曲率来，使得它能够明显地反映出弯曲空间跟平直空间的本质区别呢？为此笔者思考了很长时间，看了不少参考书（《引力与时空》、《场论》、《引力论》等），比较了几种导出黎曼曲率的方式，简要叙述如下。

## 求导顺序不能乱了
一般的张量分析或者黎曼几何教材中，导出黎曼曲率的方式是考虑二阶协变导数顺序的差别：

$$
A_{; \alpha ; \beta}^\mu-A_{; \beta ; \alpha}^\mu=-R_{\nu \alpha \beta}^\mu A^\nu
$$

由此可以分离出黎曼曲率张量 $R_{\nu \alpha \beta}^\mu$ 来，这确实是一种爽快的途径，但它的几何意义并不明显，很难看出它是怎么反映空间是曲还是直的。而且我们现在还没有定义二阶协变导数（一次协变导数后有两个指标，即相当于一个矩阵而不是向量了，定义高阶协变导数需要细节上的跟进），而这个定义基本上是纯粹代数演算，目前对我们来说意义不大，因此我们这里不作定义，读者直接参考教材即可，所以我们也不对这种方案多作讨论。

## 在弯曲空间邂逅  
此外，还有通过测地线偏离（在广义相对论中对应于潮汐力）来导出黎曼曲率的，那也算是一种几何意义和物理意义都很明确的方案，但是涉及到的计算比较繁琐。主要思路是：考虑测地线方程

$$
\frac{d^2 x^\mu}{d s^2}+\Gamma_{\alpha \beta}^\mu(x) \frac{d x^\alpha}{d s} \frac{d x^\beta}{d s}=0
$$

假设有另一条测地线 $x(s)+\delta x(s)$ ，那么它满足方程

$$
\frac{d^2\left(x^\mu+\delta x^\mu\right)}{d s^2}+\Gamma_{\alpha \beta}^\mu(x+\delta x) \frac{d\left(x^\alpha+\delta x^\alpha\right)}{d s} \frac{d\left(x^\beta+\delta x^\beta\right)}{d s}=0
$$

假设 $\delta x$ 和 $d \delta x / d s$ 都是无穷小量，两式作差，得到

$$
\frac{d^2 \delta x^\mu}{d s^2}+\frac{\partial \Gamma_{\alpha \beta}^\mu}{\partial x^\nu} \delta x^\nu \frac{d x^\alpha}{d s} \frac{d x^\beta}{d s}+2 \Gamma_{\alpha \beta}^\mu \frac{d \delta x^\alpha}{d s} \frac{d x^\beta}{d s}=0
$$

其中 $\delta x$ 就被称为测地线偏离，在黎曼几何中，称之为＂雅可比向量场＂。上述形式已经足够简单，然而

，我们倾向于写成协变导数的形式，因为协变导数才是在弯曲空间中合理的导数，前面我们已经定义了沿测地线的导数 $\frac{D A^\mu}{D s}$ ，重复一次，我们就能够得到沿测地线的二阶导数 $\frac{D^2 A^\mu}{D s^2}=\frac{D}{D s}\left(\frac{D A^\mu}{D s}\right)$ ，这是容易办到的，但因为我们这里不是特别关心这种方案，因此就不写出 $\frac{D^2 A^\mu}{D s^2}$ 的具体形式了，读者可以自己推导。经过计算后，就会发现

$$
\frac{D^2 \delta x^\mu}{D s^2}=-R_{\nu \alpha \beta}^\mu \delta x^\alpha \frac{d x^\nu}{d s} \frac{d x^\beta}{d s}
$$

这就出现了曲率张量 $R_{\nu \alpha \beta}^\mu$ 。从数学来看，非零的 $R_{\nu \alpha \beta}^\mu$ 实际上表明了测地线分布的不均匀，这就是弯曲空间的体现之一。

这种方案让笔者想起了几米的漫画作品《向左走•向右走》，说的是男女主角一个习惯向左走，一个习惯向右走，于是他们两个看起来永远不会相遇。但有一天他们在圆形喷水池相遇了一一在圆的一端背向行走，最终在圆的另一端相遇了。而在弯曲空间中，比如在球面上，即便两条平行线也有相交的机会。这其实表明，＂弯曲＂其实更为深刻和有趣，它给予了我们世界更多的可能性。

## ＂溜达＂回来的变化 
最后还有一种分析向量沿着闭合曲线平移后的变化的方案，我们在这里详细分析它。事实上它跟测地线偏离是等价的，只是它的几何意义更加明显，有助于导出更为深刻的结果。它表明，如果一个向量 ＂溜达＂一圈回来之后，它就不一定是原来的向量了。下图的例子就清晰表明了这一点。

![图片](/uploads/2025-06/c499a9.jpg){width=500px}
 平行移动
 
 假设 $x^\mu$ 处有任意一个向量 $A^\mu$ ，从 $x^\mu$ 出发，先平移无穷小量 $d x^\mu$ ，再平移无穷小量 $\delta x^\mu$ ，然后再平移无穷小量 $-d x^\mu$ ，最后平移无穷小量 $-\delta x^\mu$ ，也就是沿着一个无穷小的平行四边形走了一圈，回到原点

$$
x^\mu \rightarrow x^\mu+d x^\mu \rightarrow x^\mu+d x^\mu+\delta x^\mu \rightarrow x^\mu+\delta x^\mu \rightarrow x^\mu
$$

![图片](/uploads/2025-06/33265c.jpg){width=500px}
 平行移动
 
 
 我们逐步计算平移过程中 $A^\mu$ 的变化，从 $x^\mu$ 到 $x^\mu+d x^\mu$ ，$A^\mu$ 变为

$$
A^\mu-\Gamma_{\alpha \beta}^\mu(x) A^\alpha d x^\beta
$$

接着从 $x^\mu+d x^\mu$ 到 $x^\mu+d x^\mu+\delta x^\mu, ~ A^\mu$ 变为

$$
\begin{aligned}
& A^\mu-\Gamma_{\alpha \beta}^\mu(x) A^\alpha d x^\beta-\Gamma_{\nu \gamma}^\mu(x+d x)\left[A^\nu-\Gamma_{\alpha \beta}^\nu(x) A^\alpha d x^\beta\right] \delta x^\gamma \\
= & A^\mu-\Gamma_{\alpha \beta}^\mu(x) A^\alpha d x^\beta-\Gamma_{\nu \gamma}^\mu(x) A^\nu \delta x^\gamma \\
& -\frac{\partial \Gamma_{\nu \gamma}^\mu(x)}{\partial x^\beta} A^\nu d x^\beta \delta x^\gamma+\Gamma_{\nu \gamma}^\mu(x) \Gamma_{\alpha \beta}^\nu(x) A^\alpha d x^\beta \delta x^\gamma
\end{aligned}
$$

这里我们只精确到二阶项。
类似地，如果考虑路径 $x^\mu \rightarrow x^\mu+\delta x^\mu \rightarrow x^\mu+d x^\mu+\delta x^\mu$ 所带来的变化，则只需要将 $d x$ 和 $\delta x$ 交换

$$
\begin{aligned}
& A^\mu-\Gamma_{\alpha \beta}^\mu(x) A^\alpha \delta x^\beta-\Gamma_{\nu \gamma}^\mu(x) A^\nu d x^\gamma \\
& \quad-\frac{\partial \Gamma_{\nu \gamma}^\mu(x)}{\partial x^\beta} A^\nu \delta x^\beta d x^\gamma+\Gamma_{\nu \gamma}^\mu(x) \Gamma_{\alpha \beta}^\nu(x) A^\alpha \delta x^\beta d x^\gamma
\end{aligned}
$$

那么很自然地，路径 $x^\mu+d x^\mu+\delta x^\mu \rightarrow x^\mu+\delta x^\mu \rightarrow x^\mu$ 所造成的变化就是上式的相反数。于是，整条闭合路径 $x^\mu \rightarrow x^\mu+d x^\mu \rightarrow x^\mu+d x^\mu+\delta x^\mu \rightarrow x^\mu+\delta x^\mu \rightarrow x^\mu$ 所带来的变化就是两式之差。调整—下求和指标，然后作差，不难得到

$$
\begin{aligned}
\Delta A^\mu & =-\left(\frac{\partial \Gamma_{\alpha \gamma}^\mu}{\partial x^\beta}-\frac{\partial \Gamma_{\alpha \beta}^\mu}{\partial x^\gamma}+\Gamma_{\nu \beta}^\mu \Gamma_{\alpha \gamma}^\nu-\Gamma_{\nu \gamma}^\mu \Gamma_{\alpha \beta}^\nu\right) A^\alpha d x^\beta \delta x^\gamma \\
& =-R_{\alpha \beta \gamma}^\mu A^\alpha d x^\beta \delta x^\gamma
\end{aligned}
$$

这里
$$
R_{\alpha \beta \gamma}^\mu=\frac{\partial \Gamma_{\alpha \gamma}^\mu}{\partial x^\beta}-\frac{\partial \Gamma_{\alpha \beta}^\mu}{\partial x^\gamma}+\Gamma_{\nu \beta}^\mu \Gamma_{\alpha \gamma}^\nu-\Gamma_{\nu \gamma}^\mu \Gamma_{\alpha \beta}^\nu
$$

就是黎曼曲率张量的定义式了，它有 4 个指标，是一个非常＂宏伟＂的量。

## 一句话来说 
三种不同的黎曼曲率张量的导出方式，分别从三个角度表明了弯曲空间与平直空间的区别：平直空间中，协变导数的次序是可以交换的，弯曲空间则不是；平直空间中，测地线分布的均匀的、线性的，弯曲空间则不是；平直空间中，一个向量去＂溜达＂一圈回来之后，并没有变化，而弯曲空间中，向量去＂溜达＂完之后，可能就不是原来的向量了。

本文转载 科学空间 ， [原文地址](https://spaces.ac.cn/archives/4014)

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