最后更新: 2025-06-22 09:32 查看: 18 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

第5节黎曼曲率

## 黎曼曲率
现在我们来关注黎曼曲率。总的来说，黎曼曲率提供了一种方案，让身处空间内部的人也能计算自身所处空间的弯曲程度。俗话说，“不识庐山真面目，只缘身在此山中”，还有“当局者迷，旁观者清”，等等，因此，能够身处空间之中而发现空间中的弯曲与否，是一件很了不起的事情，就好像我们已经超越了我们现有的空间，到了更高维的空间去“居高临下”那样。真可谓“心有多远，路就有多远，世界就有多远”。

如果站在更高维空间的角度看，就容易发现空间的弯曲。比如弯曲空间中有一条测地线，从更高维的空间看，它就是一条曲线，可以计算曲率等，但是在原来的空间看，它就是直的，测地线就是直线概念的一般化，因此不可能通过这种途径发现空间的弯曲性，必须有一些迂回的途径。可能一下子不容易想到，但是各种途径都殊途同归后，就感觉它是显然的了。

怎么更好地导出黎曼曲率来，使得它能够明显地反映出弯曲空间跟平直空间的本质区别呢？为此笔者思考了很长时间，看了不少参考书（《引力与时空》、《场论》、《引力论》等），比较了几种导出黎曼曲率的方式，简要叙述如下。

## 求导顺序不能乱了
一般的张量分析或者黎曼几何教材中，导出黎曼曲率的方式是考虑二阶协变导数顺序的差别：

$$
A_{; \alpha ; \beta}^\mu-A_{; \beta ; \alpha}^\mu=-R_{\nu \alpha \beta}^\mu A^\nu
$$

由此可以分离出黎曼曲率张量 $R_{\nu \alpha \beta}^\mu$ 来，这确实是一种爽快的途径，但它的几何意义并不明显，很难看出它是怎么反映空间是曲还是直的。而且我们现在还没有定义二阶协变导数（一次协变导数后有两个指标，即相当于一个矩阵而不是向量了，定义高阶协变导数需要细节上的跟进），而这个定义基本上是纯粹代数演算，目前对我们来说意义不大，因此我们这里不作定义，读者直接参考教材即可，所以我们也不对这种方案多作讨论。

## 在弯曲空间邂逅  
此外，还有通过测地线偏离（在广义相对论中对应于潮汐力）来导出黎曼曲率的，那也算是一种几何意义和物理意义都很明确的方案，但是涉及到的计算比较繁琐。主要思路是：考虑测地线方程

$$
\frac{d^2 x^\mu}{d s^2}+\Gamma_{\alpha \beta}^\mu(x) \frac{d x^\alpha}{d s} \frac{d x^\beta}{d s}=0
$$

假设有另一条测地线 $x(s)+\delta x(s)$ ，那么它满足方程

$$
\frac{d^2\left(x^\mu+\delta x^\mu\right)}{d s^2}+\Gamma_{\alpha \beta}^\mu(x+\delta x) \frac{d\left(x^\alpha+\delta x^\alpha\right)}{d s} \frac{d\left(x^\beta+\delta x^\beta\right)}{d s}=0
$$

假设 $\delta x$ 和 $d \delta x / d s$ 都是无穷小量，两式作差，得到

$$
\frac{d^2 \delta x^\mu}{d s^2}+\frac{\partial \Gamma_{\alpha \beta}^\mu}{\partial x^\nu} \delta x^\nu \frac{d x^\alpha}{d s} \frac{d x^\beta}{d s}+2 \Gamma_{\alpha \beta}^\mu \frac{d \delta x^\alpha}{d s} \frac{d x^\beta}{d s}=0
$$

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