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微分几何/黎曼几何
第二篇 黎曼几何入门
第6节 曲率的计数与计算
最后
更新:
2025-06-22 09:35
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第6节 曲率的计数与计算
## 曲率的独立分量 黎曼曲率张量是一个非常重要的张量,当且仅当它全部分量为 o 时,空间才是平直的。它也出现在爱因斯坦的场方程中。总而言之,只要涉及到黎曼几何,黎曼曲率张量就必然是核心内容。 已经看到,黎曼曲率张量有 4 个指标,这也意味着它有 $n^4$ 个分量,$n$ 是空间的维数。那么在 $2 、 3 、 4$ 维空间中,它就有 $16 、 81 、 256$ 个分量了,可见,要计算它,是一件相当痛苦的事情。幸好,这个张量有很多的对称性质,使得独立分量的数目大大减少,我们来分析这一点。 首先我们来导出黎曼曲率张量的一些对称性质,这部分内容是跟经典教科书是一致的。定义 $$ R_{\mu \alpha \beta \gamma}=g_{\mu \nu} R_{\alpha \beta \gamma}^\nu $$ 定义这个量的原因,要谈及逆变张量和协变张量的区别,我们这里主要关心几何观,因此略过对张量的详细分析。这个量被称为完全协变的黎曼曲率张量,有时候也直接叫做黎曼曲率张量,只要不至于混淆,一般不做区分。通过略微冗长的代数运算(在一般的微分几何、黎曼几何或者广义相对论教材中都有),可以得到 $$ \begin{aligned} & R_{\mu \alpha \beta \gamma}=-R_{\mu \alpha \gamma \beta} \\ & R_{\mu \alpha \beta \gamma}=-R_{\alpha \mu \beta \gamma} \\ & R_{\mu \alpha \beta \gamma}=R_{\beta
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