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第6节曲率的计数与计算

## 曲率的独立分量 
黎曼曲率张量是一个非常重要的张量，当且仅当它全部分量为 o 时，空间才是平直的。它也出现在爱因斯坦的场方程中。总而言之，只要涉及到黎曼几何，黎曼曲率张量就必然是核心内容。

已经看到，黎曼曲率张量有 4 个指标，这也意味着它有 $n^4$ 个分量，$n$ 是空间的维数。那么在 $2 、 3 、 4$ 维空间中，它就有 $16 、 81 、 256$ 个分量了，可见，要计算它，是一件相当痛苦的事情。幸好，这个张量有很多的对称性质，使得独立分量的数目大大减少，我们来分析这一点。

首先我们来导出黎曼曲率张量的一些对称性质，这部分内容是跟经典教科书是一致的。定义

$$
R_{\mu \alpha \beta \gamma}=g_{\mu \nu} R_{\alpha \beta \gamma}^\nu
$$

定义这个量的原因，要谈及逆变张量和协变张量的区别，我们这里主要关心几何观，因此略过对张量的详细分析。这个量被称为完全协变的黎曼曲率张量，有时候也直接叫做黎曼曲率张量，只要不至于混淆，一般不做区分。通过略微冗长的代数运算（在一般的微分几何、黎曼几何或者广义相对论教材中都有），可以得到

$$
\begin{aligned}
& R_{\mu \alpha \beta \gamma}=-R_{\mu \alpha \gamma \beta} \\
& R_{\mu \alpha \beta \gamma}=-R_{\alpha \mu \beta \gamma} \\
& R_{\mu \alpha \beta \gamma}=R_{\beta \gamma \mu \alpha} \\
& R_{\mu \alpha \beta \gamma}+R_{\mu \beta \gamma \alpha}+R_{\mu \gamma \alpha \beta}=0
\end{aligned}
$$

前两个式子很快就告诉我们，如果 $\beta=\gamma$ 或 $\mu=\alpha$ ，那么 $R_{\mu \alpha \gamma \beta}=0$ ，这是反对称的结果。下面的计数表明，独立分量的数目还可以以进一步减少。我们可以将每个等式看成一个约束，有一个约束，独立分量就减少 1 ，我们要考虑有多少个独立的约束，来得出有多少个独立分量。

首先，$R_{\mu \alpha \beta \gamma}$ 可以看成一个 $n \times n$ 矩阵（前两个指标），由这个矩阵的每个元素都是一个 $n \times n$ 矩阵（后两个指标），由 $R_{\mu \alpha \beta \gamma}=-R_{\mu \alpha \gamma \beta}$ 可知，作为矩阵每个元素的矩阵，是一个反对称矩阵，因此只有 $n(n-1) / 2$ 个独立分量，而由 $R_{\mu \alpha \beta \gamma}=-R_{\alpha \mu \beta \gamma}$ 知道，作为矩阵的矩阵，它也是反对称的，因此也只有 $n(n-1) / 2$ 个独立分量，也就是说，根据前两个式子就可以知道总的独立分量数不超过 $[n(n-1) / 2]^2$ 。

接着，第三、第四个约束可以为我们进一步减少分量数目。 $R_{\mu \alpha \beta \gamma}=R_{\beta \gamma \mu \alpha}$ 表明，如果将剩下的 $[n(n-1) / 2]^2$ 个分量排成 $n(n-1) / 2 \times n(n-1) / 2$ 的矩阵，那么它是对称的，这时候它的独立分量数目就只有

$$
\frac{1}{2} \frac{n(n-1)}{2}\left[\frac{n(n-1)}{2}+1\right]
$$

最后一个约束 $R_{\mu \alpha \beta \gamma}+R_{\mu \beta \gamma \alpha}+R_{\mu \gamma \alpha \beta}=0$ 是针对四个不相同指标的，因为一旦有一对相同指标，就能够转化为前三个约束的线性组合。因此，独立分量的数目还需要减少 $\binom{n}{4}$ ：

$$
\frac{1}{2} \frac{n(n-1)}{2}\left[\frac{n(n-1)}{2}+1\right]-\binom{n}{4}=\frac{n^2\left(n^2-1\right)}{12}
$$

于是，在 $2 、 3 、 4 、 5$ 维空间中，黎曼曲率张量的独立分量数目分别是 $1 、 6 、 20 、 50$ 。特别地，在二维空间中（即研究三维空间中的二维曲面之时），曲率张量只有一个独立分量。

## 曲率张量的计算

在计算机方面，利用Python中的符号计算库SymPy可以帮助我们快速地计算联络系数和曲率张量。SymPy是Python的一个符号计算库，具有小巧、开源、强大等特点。当然，如果跟商业软件Mathematica相比那肯定是没法比的，但是在某些特定的方面，其实尤有过之，也就是“不胜在全、只胜在专”了。SymPy内置了专门用来处理微分几何和张量的模块，这使得它可以非常方便地计算Γμαβ和Rμαβγ。

一个简单的代码如下
 ![图片](/uploads/2025-06/6201ac.jpg)
 
 
 
本文转载 科学空间 ， [原文地址](https://spaces.ac.cn/archives/4026)

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