最后更新: 2025-06-22 09:38 查看: 70 次纠错评论(0) 课件开VIP

第7节高斯-博内公式

## 高斯-博内公式

令人兴奋的是，我们导出黎曼曲率的途径，还能够让我们一瞥高斯-博内公式（ Gauss–Bonnet formula）的风采，真正体验一番研究内蕴几何的味道。

高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式，它建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系。而我们从一条几何的路径出发，结合一些矩阵变换和数学分析的内容，逐步导出了测地线、协变导数、曲率张量，现在可以还可以得到经典的高斯-博内公式，可见我们在这条路上已经走得足够远了。虽然过程不尽善尽美，然而并没有脱离这个系列的核心：几何直观。本文的目的，正是分享黎曼几何的一种直观思路，既然是思路，以思想交流为主，不以严格证明为目的。因此，对于大家来说，这个系列权当黎曼几何的补充材料吧。

形式改写 \＃
首先，我们可以将式（48）重写为更有几何意义的形式。从

$$
\Delta A^\mu=-R_{\alpha \beta \gamma}^\mu A^\alpha d x^\beta \delta x^\gamma=-g^{\mu \nu} R_{\nu \alpha \beta \gamma} A^\alpha d x^\beta \delta x^\gamma
$$

出发，交换 $\beta, \gamma$ 位置，得到

$$
\Delta A^\mu=-g^{\mu \nu} R_{\nu \alpha \gamma \beta} A^\alpha d x^\gamma \delta x^\beta
$$

利用 $R_{\nu \alpha \beta \gamma}=-R_{\nu \alpha \gamma \beta}$ ，两式相加，得到

$$
\begin{aligned}
\Delta A^\mu & =-\frac{1}{2} g^{\mu \nu} R_{\nu \alpha \beta \gamma} A^\alpha\left(d x^\beta \delta x^\gamma-d x^\gamma \delta x^\beta\right) \\
& =-\frac{1}{2} g^{\mu \nu} R_{\nu \alpha \beta \gamma} A^\alpha \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}
d x^\beta & \delta x^\beta \\
d x^\gamma & \delta x^\gamma
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$

这个式子的一般几何意义需要用外微分、曲面积分等内容诠释，我们不作讨论。但我们可以在二维空间这个特例中（即考虑二维欧式空间的二维曲面）考虑，这样几何意义变得清晰起来。在 $n=2$ 时，每个求和指标实际上只有两项求和。即

$$
\Delta A^\mu=-\frac{1}{2} \sum_{\nu=1}^2 \sum_{\alpha=1}^2 \sum_{\beta=1}^2 \sum_{\gamma=1}^2 g^{\mu \nu} R_{\nu \alpha \beta \gamma} A^\alpha \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}
d x^\beta & \delta x^\beta \\
d x^\gamma & \delta x^\gamma
\end{array}\right)
$$

可以先算 $\beta, \gamma$ 的求和，因为行列式的存在，实际上只有 $\beta \neq \gamma$ 时有意义，然后再利用 $R_{\nu \alpha \beta \gamma}=-R_{\nu \alpha \gamma \beta}$ ，得到

$$
\Delta A^\mu=-\sum_{\nu=1}^2 \sum_{\alpha=1}^2 g^{\mu \nu} R_{\nu \alpha 12} A^\alpha \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}
d x^1 & \delta x^1 \\
d x^2 & \delta x^2
\end{array}\right)
$$

接着考虑 $\nu, \alpha$ 的求和，类似地也只有 $\nu \neq \alpha$ 的时候才有意义，而且也有反对称 $R_{\nu \alpha \beta \gamma}=-R_{\alpha \nu \beta \gamma}$ ，因此 ，可以得到

$$
\Delta A^\mu=-\left(g^{\mu 1} A^2-g^{\mu 2} A^1\right) R_{1212} \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}
d x^1 & \delta x^1 \\
d x^2 & \delta x^2
\end{array}\right)
$$

改写成

$$
\Delta A^\mu=-\sqrt{g}\left(g^{\mu 1} A^2-g^{\mu 2} A^1\right) \frac{R_{1212}}{g} \sqrt{g} \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}
d x^1 & \delta x^1 \\
d x^2 & \delta x^2
\end{array}\right)
$$

注意到，在二维空间中，$\sqrt{g} \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}d x^1 & \delta x^1 \\ d x^2 & \delta x^2\end{array}\right)$ 是有明确的几何意义的，它就是向量 $\left(d x^1, d x^2\right)$ 和向量 $\left(\delta x^1, \delta x^2\right)$ 张成的四边形的面积（参考式（15）的结果），我们简单记为 $\Delta S$ 。而 $\frac{R_{1212}}{g}$ 正好是微分几何中定义的高斯曲率 $K$ ，因此可以写成

$$
\Delta A^\mu=-\sqrt{g}\left(g^{\mu 1} A^2-g^{\mu 2} A^1\right) K \Delta S
$$

## 角差变化 
现在，我们可以分析，向量 $A^\mu$ 变到了 $A^\mu+\Delta A^\mu$ 之后，这两个向量的夹角是多少。假设 $A^\mu$ 是单位向量，那么先要计算内积

$$
\begin{aligned}
& \frac{g_{\mu \nu} A^\mu\left(A^\nu+\Delta A^\nu\right)}{\sqrt{\overline{g_{\mu \nu} A^\mu A^\nu}} \sqrt{\overline{g_{\mu \nu}\left(A^\mu+\Delta A^\mu\right)\left(A^\nu+\Delta A^\nu\right)}}} \\
= & \frac{1+g_{\mu \nu} A^\mu \Delta A^\nu}{\sqrt{1+2 g_{\mu \nu} A^\mu \Delta A^\nu+g_{\mu \nu} \Delta A^\mu \Delta A^\nu}}
\end{aligned}
$$

因为 $\cos \Delta \theta=1-\frac{\Delta \theta^2}{2}+\ldots$ ，因此我们要算到二阶项，即 $\Delta A^\mu \Delta A^\nu$ 这一项，近似到二阶，结果为

$$
1-\frac{1}{2}\left[g_{\mu \nu} \Delta A^\mu \Delta A^\nu-\left(g_{\mu \nu} A^\mu \Delta A^\nu\right)^2\right]
$$

所以

$$
\begin{aligned}
\Delta \theta & =\sqrt{g_{\mu \nu} \Delta A^\mu \Delta A^\nu-\left(g_{\mu \nu} A^\mu \Delta A^\nu\right)^2} \\
& =\sqrt{\left(g_{\mu \nu} A^\mu A^\nu\right)\left(g_{\mu \nu} \Delta A^\mu \Delta A^\nu\right)-\left(g_{\mu \nu} A^\mu \Delta A^\nu\right)^2}
\end{aligned}
$$

这实际上就是 $A^\mu$ 与 $\Delta A^\mu$ 张成的平行四边形的面积，在 $n=2$ 时，也就是 $\sqrt{g} \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}A_1 & \Delta A_1 \\ A_2 & \Delta A_2\end{array}\right)=\sqrt{g}\left(A^1 \Delta A^2-A^2 \Delta A^1\right)$ ，这时候代入 $\Delta A^1, \Delta A^2$ 的表达式，就得到

$$
\Delta \theta=g\left[g^{22}\left(A^1\right)^2-g^{12} A^2 A^1-g^{21} A^1 A^2+g^{11}\left(A^2\right)^2\right] K \Delta S
$$

对于二阶矩阵，有一个求逆公式

$$
\begin{aligned}
\left(\begin{array}{ll}
g_{11} & g_{12} \\
g_{21} & g_{22}
\end{array}\right)^{-1} & =\frac{1}{g_{11} g_{22}-g_{12} g_{21}}\left(\begin{array}{cc}
g_{22} & -g_{12} \\
-g_{21} & g_{11}
\end{array}\right) \\
& =\frac{1}{g}\left(\begin{array}{cc}
g_{22} & -g_{12} \\
-g_{21} & g_{11}
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$

因此

$$
g^{11}=\frac{g_{22}}{g}, g^{12}=-\frac{g_{12}}{g}, g^{21}=-\frac{g_{21}}{g}, g^{22}=\frac{g_{11}}{g}
$$

代入式（65）得到

$$
\Delta \theta=\left[g_{11}\left(A^1\right)^2+g_{12} A^1 A^2+g_{21} A^2 A^1+g_{22}\left(A^2\right)^2\right] K \Delta S=K \Delta S
$$

最后一个等号是因为开始就假定了 $A^\mu$ 是单位向量。这样，一个向量沿着小闭合曲线回来之后产生的角差，等于高斯曲率 $K$ 和面元 $\Delta S$ 的乘积。因此，我们可以推得，如果向量沿着大范围的闭合曲线 $C$平行移动回来，那么变化量则表示为面积分

$$
\Delta \theta=\int_{ C } K d S
$$

这就是微分几何中的高斯－博内公式的主要内容，即角差等于高斯曲率的面积分，诸如球面三角形的内角和等内容都与它有关。它是整体微分几何的开山之作之一。

## 一点评述 
值得一提的是，我们上述的讨论完全是内蕴的，也就是没有引入三维空间的曲面的概念，这是很吸引人的。大数学家陈省身自己说过，他一生最好的工作就是高维高斯－博内特公式的内蕴证明（在他之前的证明是外蕴的）。可以看到，纯粹内蕴的工作是研究黎曼几何的追求。当然，我们这里最多是一个形象的引导，说不上一个完整的证明。但对于本系列来说，这个程度足够了。

注意到，读者可能困惑的一点是：作为体积，应该是非负的，但是如果写成矩阵行列式的形式，则有正有负，似乎存在矛盾。这在不引入外微分的前提之下，确实比较难澄清。在初等的分析范畴内，唯一的解决办法是，如果出现负体积，就直接加绝对值了。

本文转载 科学空间 ， [原文地址](https://spaces.ac.cn/archives/4033)

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