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第8节处处皆几何 (力学几何化)

##  处处皆几何 (力学几何化)
黎曼几何在广义相对论中的体现和应用，虽然不能说家喻户晓，但想必大部分读者都有所听闻。一谈到黎曼几何在物理学中的应用，估计大家的第一反应就是广义相对论。常见的观点是，广义相对论的发现大大推动了黎曼几何的发展。诚然，这是事实，然而，大多数人不知道的事，哪怕经典的牛顿力学中，也有黎曼几何的身影。

本文要谈及的内容，就是如何将力学几何化，从而使用黎曼几何的概念来描述它们。整个过程事实上是提供了一种框架，它可以将不少其他领域的理论纳入到黎曼几何体系中。

黎曼几何的出发点就是黎曼度量，通过黎曼度量可以通过变分得到测地线。从这个意义上来看，黎曼度量提供了一个变分原理。那反过来，一个变分原理，能不能提供一个黎曼度量呢？众所周知，不少学科的基础原理都可以归结为一个极值原理，而有了极值原理就不难导出变分原理（泛函极值），如物理中就有最小作用量原理、最小势能原理，概率论中有最大熵原理，等等。如果有一个将变分原理导出黎曼度量的方法，那么就可以用几何的方式来描述它。幸运的是，对于二次型的变分原理，是可以做到的。

## 从作用量原理到黎曼几何  
我们来考虑经典力学的最小作用量原理，为了更清晰地说明要义，我们以一维系统为例。一个二维保守系统的运动轨迹，是如下作用量的极值曲线：

$$
S=\int\left\{\frac{1}{2}\left[\left(\frac{d x}{d t}\right)^2+\left(\frac{d y}{d t}\right)^2\right]-U(x, y)\right\} d t  ...(70)
$$

这里已经假定了 $m=1$ ，导出的运动方程是

$$
\frac{d^2 x}{d t^2}=-\frac{\partial U}{\partial x}, \quad \frac{d^2 y}{d t^2}=-\frac{\partial U}{\partial y}
$$

由于是保守系统，那么满足能量守恒

$$
\frac{1}{2}\left[\left(\frac{d x}{d t}\right)^2+\left(\frac{d y}{d t}\right)^2\right]+U=E ...(72)
$$

我们可以用它来消去式（70）中的 $d t$ 参数，利用式（72），得到

$$
U=E-\frac{1}{2}\left[\left(\frac{d x}{d t}\right)^2+\left(\frac{d y}{d t}\right)^2\right]
$$

代入 $S$ ，得到：

$$
S=\int\left[\left(\frac{d x}{d t}\right)^2+\left(\frac{d y}{d t}\right)^2-E\right] d t
$$

从变分的角度看，$E d t$ 这一项是全微分，不会带来任何实际效应，因此等效的作用量为

$$
S=\int\left[\left(\frac{d x}{d t}\right)^2+\left(\frac{d y}{d t}\right)^2\right] d t=\int \frac{d x^2+d y^2}{d t}
$$

再次利用式（72），可以得到

$$
d t^2=\frac{d x^2+d y^2}{2(E-U)} ...(76)
$$

消去 $d t$ ，得到

$$
S=\int \sqrt{2(E-U)\left(d x^2+d y^2\right)}
$$

变分的结果跟常数因子无关，因此最后可以作用量等效于

$$
S=\int \sqrt{(E-U)\left(d x^2+d y^2\right)}
$$

这个作用量变分得到的结果，就是得到运动曲线的形状（相轨迹）了，而它本身具有黎曼度量的形式 ，即

$$
d s^2=(E-U)\left(d x^2+d y^2\right)
$$

结果是一个等温参数。

## 从黎曼几何到运动方程

为了反过来证明这个度量的测地线确实是运动曲线的形状，我们变分式（78），得到

$$
\begin{aligned}
\delta S & =\int \sqrt{(E-U)\left(d x^2+d y^2\right)} \\
& =\int \delta \sqrt{(E-U)\left(d x^2+d y^2\right)} \\
& =\int \frac{\delta\left[(E-U)\left(d x^2+d y^2\right)\right]}{2 \sqrt{(E-U)\left(d x^2+d y^2\right)}}
\end{aligned}
$$

习惯上我们会用自然参数 $d s=\sqrt{(E-U)\left(d x^2+d y^2\right)}$ 为参数，但如果使用自然参数，则没法回到经典力学中。因此，这里使用式（76）的时间参数，那么

$$
\begin{aligned}
\delta S & =\int \frac{\delta\left[(E-U)\left(d x^2+d y^2\right)\right]}{2 \sqrt{2}(E-U) d t} \\
& =\int \frac{\left.-\left(\frac{\partial U}{\partial x} \delta x+\frac{\partial U}{\partial y} \delta y\right)\left(d x^2+d y^2\right)+2(E-U)(d x d \delta x+d y d \delta y)\right]}{2 \sqrt{2}(E-U) d t} \\
& =\frac{1}{\sqrt{2}} \int\left[-\left(\frac{\partial U}{\partial x} \delta x+\frac{\partial U}{\partial y} \delta y\right) \frac{d x^2+d y^2}{2(E-U) d t}+\left(\frac{d x}{d t} d \delta x+\frac{d y}{d t} d \delta y\right)\right]
\end{aligned}
$$

再次利用式（76），然后利用分步积分法，得到

$$
\begin{aligned}
\delta S & \sim \int\left[-\left(\frac{\partial U}{\partial x} \delta x+\frac{\partial U}{\partial y} \delta y\right) d t+\left(\frac{d x}{d t} d \delta x+\frac{d y}{d t} d \delta y\right)\right] \\
& =\int\left[-\left(\frac{\partial U}{\partial x} \delta x+\frac{\partial U}{\partial y} \delta y\right) d t-\left(\frac{d^2 x}{d t^2} \delta x+\frac{d^2 y}{d t^2} \delta y\right) d t\right] \\
& =-\int\left[\left(\frac{d^2 x}{d t^2}+\frac{\partial U}{\partial x}\right) \delta x d t+\left(\frac{d^2 y}{d t^2}+\frac{\partial U}{\partial y}\right) \delta y d t\right]
\end{aligned}
$$

因此 $\frac{d^2 x}{d t^2}+\frac{\partial U}{\partial x}=0, \frac{d^2 y}{d t^2}+\frac{\partial U}{\partial y}=0$ ，重新得到了运动方程（71），这也表明两者确实可以相互转换。

## 一般结果 
以上结果可以一般化，即如下作用量的保守系统

$$
S=\int\left[\frac{1}{2} g_{\mu \nu} \frac{d x^\mu}{d t} \frac{d x^\nu}{d t}-U( x )\right] d t
$$

的能量为 $E$ 的运动曲线的形状（相轨线），等价于黎曼度量

$$
d s^2=[E-U( x )] g_{\mu \nu} d x^\mu d x^\nu
$$

下的测地线，其推导过程是类似的。这样我们就实现了将力学的问题几何化，或者说将二次型的变分问题几何化了。可能让人意外的是，以上结果在 1837 年就由雅可比完成了。

上面结果告诉我们，广义相对论不再是黎曼几何在物理中的代名词，即便没有广义相对论，物理中也有黎曼几何。将力学几何化，有助于我们将力学、场论等与几何联系起来。黎曼几何其实就是一套几何的研究框架，只要能够对应地转换，就可以直接应用黎曼几何的很多结论，并且可能导出更丰富、更全面的内容。

## 求解测地线 
上述结果不仅仅具有理论价值，有时候还具有实用价值，比如帮助我们求测地线方程。让我们继续考虑等温参数 $d s^2=f(x, y)\left(d x^2+d y^2\right)$ ，在自然参数 $d s=\sqrt{f(x, y)\left(d x^2+d y^2\right)}$ 下，它的测地线方程是：

$$
\begin{aligned}
& \frac{d^2 x}{d s^2}=-\frac{1}{2 f} \frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac{d x}{d s}\right)^2+\frac{1}{2 f} \frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac{d y}{d s}\right)^2-\frac{1}{f} \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d x}{d s} \frac{d y}{d s} \\
& \frac{d^2 y}{d s^2}=-\frac{1}{2 f} \frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{d y}{d s}\right)^2+\frac{1}{2 f} \frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{d x}{d s}\right)^2-\frac{1}{f} \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d s} \frac{d y}{d s}
\end{aligned}
$$

除非一些非常特殊的情况，否则求解这个方程不是容易的事情，哪怕是对于 $f(x, y)=\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)$ 这样特殊情形。然而，根据我们前面所探索的结果，我们知道可以使用时间参数

$$
d t=\sqrt{\frac{d x^2+d y^2}{2 f(x, y)}}
$$

就可以将系统等价于势能 $U=-f(x, y)$ 的保守系统在 $E=0$ 时的相轨迹，也就是测地线方程为

$$
\frac{d^2 x}{d t^2}=\frac{\partial f}{\partial x}, \quad \frac{d^2 y}{d t^2}=\frac{\partial f}{\partial y}
$$

这就大人简化了测地线方程的形式。这时，我们所举的例子 $f(x, y)=\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)$ 时的测地线，只不过是两个已经分离好变量的线性微分方程罢了，完全可解。

本文转载 科学空间 ， [原文地址](https://spaces.ac.cn/archives/4046)

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