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第8节处处皆几何 (力学几何化)

##  处处皆几何 (力学几何化)
黎曼几何在广义相对论中的体现和应用，虽然不能说家喻户晓，但想必大部分读者都有所听闻。一谈到黎曼几何在物理学中的应用，估计大家的第一反应就是广义相对论。常见的观点是，广义相对论的发现大大推动了黎曼几何的发展。诚然，这是事实，然而，大多数人不知道的事，哪怕经典的牛顿力学中，也有黎曼几何的身影。

本文要谈及的内容，就是如何将力学几何化，从而使用黎曼几何的概念来描述它们。整个过程事实上是提供了一种框架，它可以将不少其他领域的理论纳入到黎曼几何体系中。

黎曼几何的出发点就是黎曼度量，通过黎曼度量可以通过变分得到测地线。从这个意义上来看，黎曼度量提供了一个变分原理。那反过来，一个变分原理，能不能提供一个黎曼度量呢？众所周知，不少学科的基础原理都可以归结为一个极值原理，而有了极值原理就不难导出变分原理（泛函极值），如物理中就有最小作用量原理、最小势能原理，概率论中有最大熵原理，等等。如果有一个将变分原理导出黎曼度量的方法，那么就可以用几何的方式来描述它。幸运的是，对于二次型的变分原理，是可以做到的。

## 从作用量原理到黎曼几何  
我们来考虑经典力学的最小作用量原理，为了更清晰地说明要义，我们以一维系统为例。一个二维保守系统的运动轨迹，是如下作用量的极值曲线：

$$
S=\int\left\{\frac{1}{2}\left[\left(\frac{d x}{d t}\right)^2+\left(\frac{d y}{d t}\right)^2\right]-U(x, y)\right\} d t  ...(70)
$$

这里已经假定了 $m=1$ ，导出的运动方程是

$$
\frac{d^2 x}{d t^2}=-\frac{\partial U}{\partial x}, \quad \frac{d^2 y}{d t^2}=-\frac{\partial U}{\partial y}
$$

由于是保守系统，那么满足能量守恒

$$
\frac{1}{2}\left[\left(\frac{d x}{d t}\right)^2+\left(\frac{d y}{d t}\right)^2\right]+U=E ...(72)
$$

我们可以用它来消去式（70）中的 $d t$ 参数，利用式（72），得到

$$
U=E-\frac{1}{2}\left[\left(\frac{d x}{d t}\right)^2+\left(\frac{d y}{d t}\right)^2\right]
$$

代入 $S$ ，得到：

$$
S=\int\left[\left(\frac{d x}{d t}\right)^2+\left(\frac{d y}{d t}\right)^2-E\right] d t
$$

从变分的角度看，$E d t$ 这一项是全微分，不会带来任何实际效应，因此等效的作用量为

$$
S=\int\left[\left(\frac{d x}{d t}\right)^2+\left(\frac{d y}{d t}\right)^2\right] d t=\int \frac{d x^2+d y^2}{d t}
$$

再次利用式（72），可以得到

$$
d t^2=\frac{d x^2+d y^2}{2(E-U)} ...(76)
$$

消去 $d t$ ，得到

$$
S=\int \sqrt{2(E-U)\left(d x^2+d y^2\right)}
$$

变分的结果跟常数因子无关，因此最后可以作

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