最后更新: 2025-06-23 05:28 查看: 59 次纠错评论(0) 课件开VIP

解析函数在拓扑上有何特殊

从几何观点来看，共形映射（解析映射）比起仅为连续的映射，在构造上要无比丰富．然而从拓扑重数的观点来看，则只有很少的区别，下面是最引人注目的区别之一：

对于解析函数，$\nu(a)$ 恒正，而对非解析函数，它还可能为负．
例如图 7－10 中的映射就不可能是解析的．对于解析函数 $\nu(a)$ 为正已经得证，所以我们只需要仔细地看一下非解析函数具有负重数的可能性．

因为一般的连续映射的性态可以非常狂野，所以我们仅限于在实意义下可微的非解析函数．例如，考虑 $h(z)=\bar{z}, p$ 的唯一原象是 $a=\bar{p}$ ，而任一个绕 $a$ 的简单环路 $\Gamma_a$ 都被 $h$ 反射为按反方向绕 $p$ 一周的环路，所以 $\nu(a)=-1$ 。

一般地说，回忆一下，我们已说过［见 4．8．2 节］包含这样一个可微的非解析映射在内的线性映射在 $p$－点 $a$ 的附近的性态：（在经平移到 $p$ 后）是在某个方向上按因子 $\xi_a$ 伸缩，再在与此方向垂直的方向上按因子 $\eta_a$ 伸缩，最后再旋转一个角 $\phi_a$ 。例如，对上述共轭映射，$\xi_a=+1$（第一个方向取为水平方向），$\eta_a=-1, \phi_a=0$ 。当然，只是因为 $h(x+ i y)=x- i y$ 是线性映射，所以这些值才与 $a$ 无关，对于绝大多数映射，它们都依赖于 $a$ ．
一个以 $a$ 为中心的无穷小圆周一般地被变形为一个以 $p$ 为中心的无穷小椭圆 $E_p$ ，如果两个伸缩因子 $\xi_a$ 与 $\eta_a$ 符号相同，这个映射将要保持方向，象点走过 $E_p$ 的方向与原象点走过 $C_a$ 的方向相同，$\nu(a)=+1$ 。但若 $\xi_a$ 与 $\eta_a$ 符号相反，则此映射反转方向，$\nu(a)=-1$ ．前面的共轭映射即属此种类型．总之，我们有

$$
\nu(a)=\left(\xi_a \eta_a\right) \text { 的符号. }
$$

在 $a$ 点的局部线性变换是由雅可比矩阵 $J(a)$ 来记录其信息的，我们可以用它的行列式 $\operatorname{det}[J(a)]$ 来给拓扑重数一个更实用的公式。从线性代数我们知道，一个常数元的 $2 \times 2$ 矩阵的行列式给出了被伸缩的图形的面积伸缩的因子（其符号表示方向是否改变）。与此相似， $\operatorname{det}[J(a)]$ 则表示在 $a$ 点的面积的局部伸缩因子，而且它正是 $\left(\xi_a \eta_a\right)$ ，这样

$$
\nu(a)=\operatorname{det}[J(a)] \text { 的符号. }
$$

当然，若 $\operatorname{det}[J(a)]=0$ ，这个公式就是＂空的＂．在几何上这表示在 $a$ 点有局部的坍缩，和在解析映射情况一样，这个地方称为临界点。然而，一个解析函数在临界点上的局部坍缩在各个方向上都是对称的，对于现在考虑的更一般的映射就不一样了．例如，若 $f(x+ i y)=x- i y^3$ ，则 $\operatorname{det}[J]=-3 y^2$［练习］，所以，虽然 $f$ 把点在水平方向上的间隔保留不动，由于垂直方向的坍缩的结果，却使实轴上的所有点都是临界点。

还可以用这个例子来说明另一个区别：
一个解析映射的临界点可以纯粹用其拓扑重数为基础而加以区别，非解析映射的临界点则不可能这样做．

对于解析函数我们已看到 $\nu(a)=+1$ 当且仅当 $a$ 不是临界点．对于非解析情况，当 $a$ 非临界点时 $\nu(a)= \pm 1$ ，但当 $a$ 是临界点时，仍然可能 $\nu(a)=+1$ 或 -1 ．事实上，可以用上例来验证，对于临界点或非临界点都有 $\nu(a)=-1$［练习］．

最后还有一个区别：
对于解析映射，$\nu(a)$ 从不为零，但对于非解析映射，它可以为零．
我们将在下一小节给出一个具有零拓扑重数的非解析映射之例．你能自己想出一个例子吗？

7．4．4 拓扑辐角原理
令 $\Gamma$ 为一简单环路，$h(z)$ 为一连续映射且在 $\Gamma$ 之内域仅有有限多个 $p$－点。我们要证明

在 $\Gamma$ 的内域的 $p-$ 点的总数（每个 $p-$ 点均按其拓扑重数计算）等于 $h(\Gamma)$ 绕 $p$ 的环绕数．

如果 $h$ 是解析的，（7．10）就变成了（7．6），本章其余部分就致力于挖掘并且拓展这个简单然而很深刻的结果。 ${ }^{(1)}$

在解释（7．10）的意义之前，我们先来介绍它的一个直接推论．正如图 7－2 所示， $h(\Gamma)$ 一般会把 $w$ 平面分成几个集合，而（7．10）指出，$D_j$ 中各个点的位于 $\Gamma$ 内的原象点的数目都是相同的，记为 $\nu_j$ 。比方说，如果 $h(\Gamma)$ 是一简单环路，则它把 $w$ 平面恰好分成两个集合，即其＂内＂与＂外＂。如果 $p$ 在＂内＂，则此结果指出，在 $\Gamma$ 内的 $p$ 点的数目为 1 ．但若 $h$ 是解析的，这些 $p-$ 点必有严格为正的重数，所以 $h(\Gamma)$ 之每个内点，恰有 1 个原象，换言之，我们证明了所谓达布 ${ }^{(2)}$ 定理：

若一解析函数 $h(z)$ 把 $\Gamma$ ——地映为 $h(\Gamma)$ ，则它也把 $\Gamma$ 的内域——地映到 $h(\Gamma)$ 的整个内域中。

为了解释（7．10），请看图 7－11．其上画出了位于 $z$ 平面的环路 $\Gamma$ 之内的三个$p$－点 $a, b, c$ ．其余 $p$－点分散在 $\Gamma$ 的外域中．基本思想是，可以逐渐地把 $\Gamma$ 变形为在 $\beta, \gamma$ 两点连接起来的环路 $\alpha \beta \gamma \delta \gamma \beta \alpha$（图7－11 上用虚线表示，请注意其箭头），我们称此环路为 $\widetilde{\Gamma}$ 。因为在变形过程中没有碰到任何一个 $p$－点，所以转到 $p$ 所在的 $w$平面上，$h(\widetilde{\Gamma})$ 绕过 $p$ 的次数和 $h(\Gamma)$ 绕过 $p$ 的次数一样．余下要做的事就几乎是显然的了：$\widetilde{\Gamma}$ 是由 $\Gamma_a=\alpha \beta \alpha, \Gamma_b=\beta \gamma \beta$ 和 $\Gamma_c=\gamma \delta \gamma$ 构成的，它们的象绕 $p$ 的次数按定义正是 $a, b, c$ 的拓扑重数．
 ![图片](/uploads/2025-06/562021.jpg)
 
 我们还是把这个细节像念经似地念上一番，尽管这可能是不必要的：令 $K$ 为一路径，它可能不是闭的，用 $R (K)$ 来记当 $z$ 沿 $K$ 走一圈时 $h(z)$ 绕 $p$ 旋转的总角度．举例来说，如果 $K$ 是封闭的，则 $R (K)=2 \pi \nu[h(K), p]$ ．于是

$$
\begin{aligned}
2 \pi \nu[h(\Gamma), p] & =2 \pi \nu[h(\widetilde{\Gamma}), p]= R (\alpha \beta \gamma \delta \gamma \beta \alpha) \\
& = R (\alpha \beta)+ R (\beta \gamma)+ R (\gamma \delta)+ R (\delta \gamma)+ R (\gamma \beta)+ R (\beta \alpha) \\
& = R (\alpha \beta \alpha)+ R (\beta \gamma \beta)+ R (\gamma \delta \gamma) \\
& = R \left(\Gamma_a\right)+ R \left(\Gamma_b\right)+ R \left(\Gamma_c\right) \\
& =2 \pi[\nu(a)+\nu(b)+\nu(c)]
\end{aligned}
$$

这个思想显然可以推广到 $\Gamma$ 内有任意多个 $p$－点 $a_1, a_2$ 等的情况：

$$
\nu[h(\Gamma), p]=\sum \nu\left(a_j\right), \quad \text { (对 } \Gamma \text { 内的 } p \text {-点 } a_j \text { 求和) } .
$$

7．4．5 两个例子
我们立刻就用两个具体例子来说明以上的结果：

$$
h(x+i y)=x+i|y|
$$

同前面擀面片的类比［见 4．8．1 节］来说，这个映射就相当于把一张面皮沿实轴打折，把下半张翻过来放到上半张的上面，若 $\operatorname{Im}(p)>0$ ，这个 $p$ 就有两个原象：$a_1=$ $p, a_2=\bar{p}$ 。 图 7－12 表明 $\nu\left(a_1\right)=+1, \nu\left(a_2\right)=-1$ ，而若 $\Gamma$ 包含了 $a_1$ 和 $a_2$ ，则 $\nu(h(\Gamma), p)=0$ ，均与（7．11）一致。
 ![图片](/uploads/2025-06/1f3e0f.jpg)
 
 一般说来，$\nu[h(\Gamma), p]=0$ 只不过表示，或者 $p$ 在 $\Gamma$ 内没有原象，或者虽有原象但它们的重数互相抵消，如本例就是．然而，若 $f$ 为解析的且 $\nu[f(\Gamma), p]=0$ ，结论是很确定的，只有一个可能性：在 $\Gamma$ 内没有原象。我们以后还要回到很重要的这一点。

回到本例，注意，若 $p=X$ 为实，则只有一个原象，即 $X$ ，而且 $\nu(X)=0$ 。我们可以用一个巧妙的方法来看待它：当我们把 $p$ 移动向 $X$ 时，它的两个原象 $a_1$ 和 $a_2$ 也移向 $X$ ，当它们最终在 $X$ 处融合时，它们的反号的重数就抵消了。我们在前面已经指出，只有对非解析映射，才会有这种为零的重数。

图 7－13 是一个更精巧的例子：对一单位圆盘的面片做三阶段的变换 $H$ ，而总使其边缘 $\Gamma$（单位圆周）不变：$H(\Gamma)=\Gamma$ 。三个阶段如下：（A）把位于左上图圆盘中用虚线圆周画出的浅灰色一片拉起来成一顶＂帽子＂的帽顶，虚线外取一部分（环形，深灰色）坚起来成圆柱形的帽沿（右上图）；（B）把＂帽＂顶部分径向拉伸成一个半径大于 1 的的圆盘（右下图）；（C）把它压平，即把每一点都垂直投影到平面上 （左下图）．
 ![图片](/uploads/2025-06/9e4a2e.jpg)
 
 如果在左下图的象平面上取一点，则在原来的圆盘中的原象点的个数（质朴而不加修饰地看），就是在 $p$ 的上方面片的层数，并在左下图用深浅不同的颜色来表示层数：浅灰色即帽顶靠内的一部分是一层；深灰色即帽顶超过半径 1 的部分是二层（有一层来自帽沿），黑环是三层（分别来自帽顶、帽沿和原来没有被坚起来的部分）．务必把这一点看清楚．
现在来验证（7．11）。例如，若 $p$ 在深灰色的外环中，$\nu[H(\Gamma), p]=\nu[\Gamma, p]=0$ ，可以看到这些点的原象点之重数之和为 0 。在左上平面上围着这两个原象点各做一个小环路，看一下在映射之下这两个小环路方向是否变化就能证实：一个原象点之重数为 1 ，另一个则为 -1 。

对于位于内部浅灰色圆盘与中间黑色圆环中的 $p$ 点，请自行验证（7．11）仍成立．

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