最后更新: 2025-06-23 05:28 查看: 26 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

解析函数在拓扑上有何特殊

从几何观点来看，共形映射（解析映射）比起仅为连续的映射，在构造上要无比丰富．然而从拓扑重数的观点来看，则只有很少的区别，下面是最引人注目的区别之一：

对于解析函数，$\nu(a)$ 恒正，而对非解析函数，它还可能为负．
例如图 7－10 中的映射就不可能是解析的．对于解析函数 $\nu(a)$ 为正已经得证，所以我们只需要仔细地看一下非解析函数具有负重数的可能性．

因为一般的连续映射的性态可以非常狂野，所以我们仅限于在实意义下可微的非解析函数．例如，考虑 $h(z)=\bar{z}, p$ 的唯一原象是 $a=\bar{p}$ ，而任一个绕 $a$ 的简单环路 $\Gamma_a$ 都被 $h$ 反射为按反方向绕 $p$ 一周的环路，所以 $\nu(a)=-1$ 。

一般地说，回忆一下，我们已说过［见 4．8．2 节］包含这样一个可微的非解析映射在内的线性映射在 $p$－点 $a$ 的附近的性态：（在经平移到 $p$ 后）是在某个方向上按因子 $\xi_a$ 伸缩，再在与此方向垂直的方向上按因子 $\eta_a$ 伸缩，最后再旋转一个角 $\phi_a$ 。例如，对上述共轭映射，$\xi_a=+1$（第一个方向取为水平方向），$\eta_a=-1, \phi_a=0$ 。当然，只是因为 $h(x+ i y)=x- i y$ 是线性映射，所以这些值才与 $a$ 无关，对于绝大多数映射，它们都依赖于 $a$ ．
一个以 $a$ 为中心的无穷小圆周一般地被变形为一个以 $p$ 为中心的无穷小椭圆 $E_p$ ，如果两个伸缩因子 $\xi_a$ 与 $\eta_a$ 符号相同，这个映射将要保持方向，象点走过 $E_p$ 的方向与原象点走过 $C_a$ 的方向相同，$\nu(a)=+1$ 。但若 $\xi_a$ 与 $\eta_a$ 符号相反，则此映射反转方向，$\nu(a)=-1$ ．前面的共轭映射即属此种类型．总之，我们有

$$
\nu(a)=\left(\xi_a \eta_a\right) \text { 的符号. }
$$

在 $a$ 点的局部线性变换是由雅可比矩阵 $J(a)$ 来记录其信息的，我们可以用它的行列式 $\operatorname{det}[J(a)]$ 来给拓扑重数一个更实用的公式。从线性代数我们知道，一个常数元的 $2 \times 2$ 矩阵的行列式给出了被伸缩的图形的面积伸缩的因子（其符号表示方向是否改变）。与此相似， $\operatorname{det}[J(a)]$ 则表示在 $a$ 点的面积的局部伸缩因子，而且它正是 $\left(\xi_a \eta_a\right)$ ，这样

$$
\nu(a)=\operatorname{det}[J(a)] \text { 的符号. }
$$

当然，若 $\operatorname{det}[J(a)]=0$ ，这个公式就是＂空的＂．在几何上这表示在 $a$ 点有局部的坍缩，和在解析映射情况一样，这个地方称为临界点。然而，一个解析函数在临界点上的局部坍缩在各个方向上都是对称的，对于现在考虑的更一般的映射就不一样了．例如，若 $f(x+ i y)=x- i y^3$ ，则 $\operatorname{det}[J]=-3 y^2$［练习］，所以，虽然 $f$ 把点在水平方向上的间隔保留不动，由于垂直方向的坍缩的结果，却使实轴上的所有点都是临界点。

还可以用这个例子来说明另一个区别：
一个解析映射的临界点可以纯粹用其拓扑重数为基础而加以区别，非解析映射的临界点则不可能这样做．

对于解析函数我们已看

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