最后更新: 2026-06-07 20:28 查看: 98 次纠错评论(0) 课件开VIP

保角性

## 唯一决定分式线性映射的条件
**分析** 分式线性映射 $w=\frac{a z+b}{c z+d}$ 中含有四个常数 $a, b, c, d$ ．
 如果用这四个数中的一个去除分子和分母，则可以将分式线性映射中的四个常数化为三个独立的常数。

> 由此可见，只需要给定三个条件，就能决定一个分式线性映射。

定理 在 $z$ 平面上任给三个不同的点 $z_1, z_2, z_3$ ，在 $w$ 平面上也任给三个不同的点 $w_1, w_2, w_3$ ，则存在唯一的分式线性映射，将 $z_1, z_2, z_3$ 分别依次地映射为 $w_1, w_2, w_3$ ．

证明（仅证明存在性）设分式线性映射为 $w=\frac{a z+b}{c z+d}$ ，
代入条件得 $w_1=\frac{a z_1+b}{c z_1+d}, w_2=\frac{a z_2+b}{c z_2+d}, w_3=\frac{a z_3+b}{c z_3+d}$ ，

$$
\Rightarrow \quad w-w_1=\frac{a z+b}{c z+d}-\frac{a z_1+b}{c z_1+d}=\frac{a d-b c}{c z+d} \cdot \frac{z-z_1}{c z_1+d}
$$

同理 $w-w_2=\frac{a d-b c}{c z+d} \cdot \frac{z-z_2}{c z_2+d}$ ，

$$
\Rightarrow \frac{w-w_1}{w-w_2}=\frac{z-z_1}{z-z_2} \cdot \frac{c z_2+d}{c z_1+d}
$$

$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
& \Rightarrow \frac{w-w_1}{w-w_2}=\frac{z-z_1}{z-z_2} \cdot \frac{c z_2+d}{c z_1+d}, \\
& \text { 同理 } \frac{w_3-w_1}{w_3-w_2}=\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2} \cdot \frac{c z_2+d}{c z_1+d}, \\
& \Rightarrow \frac{w-w_1}{w-w_2}: \frac{w_3-w_1}{w_3-w_2}=\frac{z-z_1}{z-z_2}: \frac{z_3-z_1}{z_3-z_2},
\end{aligned}\\
&\text { 将上式整理后，即得到所要的分式线性映射。 }
\end{aligned}
$$

## 对应点公式
定义 称下式为对应点公式：

$$
\frac{w-w_1}{w-w_2}: \frac{w_3-w_1}{w_3-w_2}=\frac{z-z_1}{z-z_2}: \frac{z_3-z_1}{z_3-z_2} .
$$

注（1）由于分式线性映射具有保圆性，因此对应点公式通常直接应用于：

把过 $z_1, z_2, z_3$ 三点的圆映射为过 $w _1, w _2, w _3$ 三点的圆。
（2）如果 $z_1, z_2, z_3$ 和 $w_1, w_2, w_3$ 中有一个为 $\infty$ ，则只需将对应点公式中含有 $\infty$ 的项换成 1 。

**推论** 设 $w=f(z)$ 为分式线性映射，且 $f\left(z_1\right)=w_1, f\left(z_2\right)=w_2$ ，则它可表示为：$\frac{w-w_1}{w-w_2}=k \frac{z-z_1}{z-z_2},(k$ 为任意复常数 $)$ 。

特别地，若 $f\left(z_1\right)=0, f\left(z_2\right)=\infty$ ，
 
则 $w=k \frac{z-z_1}{z-z_2} \cdot(k$ 待定 $)$

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## 交比
**定理** 对于扩充 $z$ 复平面的任意三个不同的点 $z_1, z_2, z_3$ 以及扩充 $w$平面上的任意不同三点 $w_1, w_2, w_3$ ，存在唯一的分式线性函数 $w=T(z)$ ，它把 $z_1, z_2, z_3$ 分别映射成 $w_1, w_2, w_3$ ，即

$$
\boxed{
\frac{w-w_1}{w-w_2}: \frac{w_3-w_1}{w_3-w_2}=\frac{z-z_1}{z-z_2}: \frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}
}
$$

【证】设线性函数为 $w=T(z)=\frac{a z+b}{c z+d}$ ，由条件有 $w_j=\frac{a z_j+b}{c z_j+d}(j=1,2,3)$ ，所以有

$$
\left.\begin{array}{l}
w-w_j=\frac{a z+b}{c z+d}-\frac{a z_j+b}{c z_j+d}=\frac{(a d-b c)\left(z-z_j\right)}{(c z+d)\left(c z_j+d\right)} \\
w-w_1=\frac{(a d-b c)\left(z-z_1\right)}{(c z+d)\left(c z_1+d\right)} \\
w-w_2=\frac{(a d-b c)\left(z-z_2\right)}{(c z+d)\left(c z_2+d\right)}
\end{array}\right\} \frac{w-w_1}{w-w_2}=\frac{z-z_1}{z-z_2} \cdot \frac{c z_2+d}{c z_1+d}
$$

$\quad$

$$
\left.\begin{array}{l}
w_3-w_1=\frac{(a d-b c)\left(z_3-z_1\right)}{\left(c z_3+d\right)\left(c z_1+d\right)} \\
w_3-w_2=\frac{(a d-b c)\left(z_3-z_2\right)}{\left(c z_3+d\right)\left(c z_2+d\right)}
\end{array}\right\} \quad \frac{w_3-w_1}{w_3-w_2}=\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2} \cdot \frac{c z_2+d}{c z_1+d}
$$

因为三点确定一个圆，一个给任何三点就可以确定一个分式线性映射。

![图片](/uploads/2025-08/8c6ee9.jpg)
 
 称 $\frac{z-z_1}{z-z_2}: \frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}$ 为点 $z_1, z_2, z, z_3$ 的**交比**，记为 $\left(z_1, z_2, z, z_3\right)$ ．
 
 
**推论**  分式线性函数保持交比不变，即 $\left(w_1, w_2, w, w_3\right)=\left(z_1, z_2, z, z_3\right)$ ．

## 特例1
$z_3=\infty$, 其他点均有有限点
$\frac{w-w_1}{w-w_2}: \frac{w_3-w_1}{w_3-w_2}=\frac{z-z_1}{z-z_2}$

![图片](/uploads/2025-08/5aac06.jpg)

## 特例2
$z_3=\infty, w_3=\infty$ ，其他点均有有限点；

$$
\frac{w-w_1}{w-w_2}=\frac{z-z_1}{z-z_2}
$$

![图片](/uploads/2025-08/22860d.jpg)

## 角的保持

我们从讨论＂角的保持＂是什么意思开始．图 3－8 的中部是两条交于 $p$ 点的曲线 $S_1, S_2$ 。如果它们在 $p$ 点充分光滑，就可以做出它们在 $p$ 点处的切线 $T_1, T_2$ 。我们现在定义 $p$ 点处＂由 $S_1$ 到 $S_2$ 的角＂即为由 $T_1$ 到 $T_2$ 的锐角 $\theta$ ．这样，这个角赋有一个符号：由 $S_2$ 到 $S_1$ 的角是图上所示由 $S_1$ 到 $S_2$ 的角反号．如果我们对这些曲线作任意光滑的变换，则象曲线在 $p$ 点之象处仍有切线，所以由它们之一到另一曲线也有适当定义的角．

![图片](/uploads/2025-06/9dfc7b.jpg)
 
如果由一条象曲线到另一条象曲线的角与原来的两条曲线在 $p$ 点的相应角相等，那么我们就说这个变换保持 $p$ 点处的角．完全有可能这个变换保持某一对过 $p$的曲线之间的角，但不保持每一对过 $p$ 的曲线之间的角．然而，如果这变换保持每一对过 $p$ 的曲线之间的角，我们就说它在 $p$ 点是共形的变换。我们要强调一下，这里所谓共形是指角的大小与符号均得到保持，图 3－8 右方就是一个共形的变换．如

果相反，在 $p$ 点的角被映射为大小相同而符号相反的角，就说此变换在 $p$ 点是反共形的，如图 3－8 左方所示。如果此映射在它有定义的区域之每一点都是共形的，就称之为共形映射；如果在每一点都反共形，就称它为反共形映射．最后，如果一映射只知道它能保持角的大小，而不知它是否也保持其定向，就称它为等角映射．

很容易想到一些具体的映射为共形的或反共形的。例如，平移 $z \mapsto(z+c)$ 是共形的，平面的旋转和伸缩 $z \mapsto a z(a \neq 0)$ 也是．反之，$z \mapsto \bar{z}$ 和对直线的反射一样，都是反共形的．反射与对圆周的反演的类比，现在更加深化了，因为

对圆周的反演是反共形映射．
为了看出这一点，请看图 3－9．此图表明了一个事实，即已知任一不在 $K$ 上之点 $z$ ，恰有唯一的圆周按一定方向经过 $z$ 而且与 $K$ 正交．［给定此点和此方向，能想出怎样做出此圆周吗？］

如图 3－8 所示，设两曲线 $S_1$ 和 $S_2$ 在 $p$ 点相交而它们在 $p$ 点的切线为 $T_1, T_2$ ，由 $T_1$ 到 $T_2$ 的角为 $\theta$ ．为了弄清这个角在对 $K$ 之反演下会怎样，我们用过 $p$ 的两个圆周代替 $S_1, S_2$ ，但要求这两个圆周在 $p$ 点的方向应与 $S_1, S_2$ 相同，而且与 $K$ 正交．这种圆周是唯一的，而且在 $p$ 处的切线就是 $T_1, T_2$ 。见图3－10a。因为对 $K$ 的反演把这两个圆周都映为自身，在 $\widetilde{p}= I _K(p)$ 处的新角为 $-\theta$ ，问题解决．

![图片](/uploads/2025-06/c5f22c.jpg)
 
 图 3－10b 展示了 $z \mapsto(1 / z)$ 对角的效果．因为这个映射等价于先对单位圆周做反演，再继以对实轴做反射（二者均为反共形的），我们看到它们的复合就是把角度的定向翻转二次使之回复到原值：

复反演 $z \mapsto(1 / z)$ 是共形的．
用同样的推理，可以一般地得出
偶数个（对直线或圆周的）反射之复合是一共形映射，而奇数个这种反射之复合则是一反共形映射．

### 圆周对称

**定义** 设某圆的半径为 $R, A, B$ 两点在从圆心出发的射线上，且 $\overline{O A} \cdot \overline{O B}=R^2$ ，则称 $A$ 和 $B$ 是关于圆周对称的（如图）。自然地，规定圆心与无穷远点关于该圆周对称．

根据这一定义可知，$z$ 与 $w$ ，是关于单位圆对称的．因此，映射 $w=\frac{1}{z}$ 可由单位圆对称映射与实轴对称映射复合而成．事实上，如果我们将 $w=\frac{1}{z}$ 写成 $\xi=\frac{1}{z}$ 与 $w=\bar{\xi}$ 的复合，那么前者正好是单位圆对称映射，而后者正好是实轴对称映射。

为了方便地进行后面的讨论，对反演映射作如下的规定和说明．
（1）规定反演映射 $w=\frac{1}{z}$ 将 $z=0$ 映射成 $w=\infty$ ，将 $z=\infty$ 映射成 $w=0$ ．
（2）规定函数 $f(z)$ 在 $z=\infty$ 点及其邻域的性态可由函数 $\varphi(\xi)$ 在 $\xi=0$ 点及其邻域的性态确定，其中 $\xi=\frac{1}{z}, \varphi(\xi)=\varphi\left(\frac{1}{z}\right)=f(z)$ 。按照此规定，当我们讨论函数 $f(z)$ 在 $z=\infty$ 点附近的性态时，可以先通过反演映射将 $f(z)$ 化为 $\varphi(\xi)$ ，再讨论 $\varphi(\xi)$ 在原点附近的性态．例如，若 $\varphi(\xi)$ 在 $\xi=0$ 处解析，且 $\lim _{\xi \rightarrow 0} \varphi(\xi)=\varphi(0)=A$ ，则可以认为 $f(z)$ 在 $z=\infty$ 点解析，且 $\lim _{z \rightarrow \infty} f(z)=f(\infty)=A$ ．

## 保形性

首先对 $w=\frac{1}{z}$ 进行讨论．根据前面的规定它在整个扩充复平面上是双方单值的．

当 $z \neq 0$ 和 $z \neq \infty$ 时，$w=\frac{1}{z}$ 解析且 $\frac{ d w}{d z}=-\frac{1}{z^2} \neq 0$ ，因此，$w=\frac{1}{z}$ 在 $z \neq 0$ 和 $z \neq \infty$ 时是共形映射．当 $z=\infty$ 时，令 $\xi=\frac{1}{z}$ ，则 $w=\varphi(\xi)=\xi$ ．显然 $\varphi(\xi)$ 在 $\xi=0$处解析且 $\varphi^{\prime}(0)=1 \neq 0$ ，因此，映射 $w=\frac{1}{z}$ 在 $z=\infty$ 点是共形映射．同理，映射 $z=\frac{1}{w}$ 在 $w=\infty$ 点是共形映射，由此即得，$w=\frac{1}{z}$ 在 $z=0$ 点是共形映射．

其次对 $w=a z+b(a \neq 0)$ 进行讨论，它显然是双方单值的．

当 $z \neq \infty$ 时，$w=a z+b$ 解析且 $\frac{ d w}{d z}=a \neq 0$ ，因此映射 $w=a z+b$ 在 $z \neq \infty$ 时是共形映射；当 $z=\infty$ 时，令 $\xi=\frac{1}{z}, \mu=\frac{1}{w}$ ，则 $\mu=\varphi(\xi)=\frac{\xi}{b \xi+a}$ ，显然 $\varphi(\xi)$ 在 $\xi=0$ 解析且 $\varphi^{\prime}(0)=\frac{1}{a} \neq 0$ ，因此映射 $\mu=\varphi(\xi)$ 在 $\xi=0$ 处是共形映射，且 $\xi=0$ 时 $\mu=$ 0．又由上面的讨论知道 $w=\frac{1}{\mu}$ 在 $\mu=0$ 处是共形映射，从而 $w=a z+b$ 在 $z=\infty$处是共形咉射。

这样，我们得到如下定理．

> 定理 分式线性映射在复平面上是共形映射．

## 保圆性

以下如无特别说明，我们均把直线作为圆的一个特例，即**将直线看作是半径为无穷大的圆**． 下面我们证明反演映射 $w=\frac{1}{z}$ 也可以把圆映射成圆．

令 $z=x+ i y, w=u+ i v$ ，则由 $w=\frac{1}{z}$ 得到

$$
x=\frac{u}{u^2+v^2}, \quad y=-\frac{v}{u^2+v^2} .
$$

对于 $z$ 平面上一个任意给定的圆

$$
A\left(x^2+y^2\right)+B x+C y+D=0 \text { (当 } A=0 \text { 时为直线), }
$$

其像曲线满足方程

$$
D\left(u^2+v^2\right)+B u-C v+A=0 \text { (当 } D=0 \text { 时为直线). }
$$

可以看出，它仍然是一个圆．因此我们可得如下定理．

> 定理 分式线性映射能把圆变成圆．

值得注意的是，从上式中还可以看出，由于当 $D=0$ 时，所给的圆通过原点，经过反演映射后，原点被映射到无穷远点，因而像曲线变成直线，这是一个很重要的特性．

事实上，在分式线性映射下，若给定的圆上没有点映射为无穷远点，则它就映射成半径有限的圆；若有一点映射成无穷远点，则它就映射成直线．特别是后者，它实际上给出了一种从圆（或者弧）变到直线的方法，这对于我们构造简单区域间的共形映射函数是非常有用的．

**由于三点可以确定一个圆，因此当我们求解分式线性映射下某圆域的像时，只要在圆周上取三点，分别求出对应的像点，即可得到相应的圆和圆域．但若区域的边界是由多个弧和直线段组成时，则必须在每一段弧上和直线段上各自取三点进行求解，且所取的三点中最好包含两个端点．**

## 保对称点性
我们首先给出关于对称点的一个引理．

**引理** 扩充复平面上的两点 $z_1$ 与 $z_2$ 关于圆 $C$ 对称的充要条件是通过 $z_1$ 与 $z_2$ 的任意圆都与圆 $C$ 正交．

证 在下面两种情况下，结论是显然成立的：（1）$C$ 为直线；（2）$C$ 为半径有限的圆且 $z_1$ 与 $z_2$ 中有一个为无穷远点．因此，我们仅就 $C$ 为 $\left|z-z_0\right|=$ $R(0<R<+\infty)$ 且 $z_1$ 与 $z_2$ 均为有限点的情况加以证明．

如图 ，$L$ 为过 $z_1$ 与 $z_2$ 的直线，$\Gamma$ 为

![图片](/uploads/2025-06/e365d5.jpg){width=300px}
 
 
 过 $z_1$ 与 $z_2$ 的圆．$\Gamma$ 与 $C$ 的交点为 $z_3$ ．
必要性：若 $z_1$ 与 $z_2$ 关于 $C$ 对称，则 $L$ 过 $z_0$ 点，故 $L$ 与 $C$ 正交；又由定义有

根据切割线定理，$\Gamma$ 也与 $C$ 正交．因此过 $z_1$与 $z_2$ 的任意圆都与 $C$ 正交．

充分性：若过 $z_1$ 与 $z_2$ 的所有圆都与 $C$ 正交，则 $L$ 与 $C$ 正交，故 $L$ 过 $z_0$点，即 $z_0, z_1, z_2$ 三点共线；又 $\Gamma$ 与 $C$ 正交，故 $z_1$ 与 $z_2$ 在 $z_0$ 的同一侧，且 $\overline{z_0 z_3}$ 为 $\Gamma$ 的切线，根据切割线定理得

因此 $z_1$ 与 $z_2$ 关于圆 $C$ 对称．

> 定理 （保对称点定理）设 $z_1, z_2$ 关于圆 $C$ 对称，则在分式线性映射下，它们的像点 $w_1, w_2$ 关于 $C$ 的像曲线 $\Gamma$ 对称．

证 设 $\Gamma^{\prime}$ 是过 $w_1$ 与 $w_2$ 的任意一个圆，则其原像 $C^{\prime}$ 是过 $z_1$ 与 $z_2$ 的圆．
由 $z_1$ 与 $z_2$ 关于 $C$ 对称，有 $C^{\prime}$ 与 $C$ 正交，由保角性 $\Gamma^{\prime}$ 与 $\Gamma$ 正交，即过 $w_1$ 与 $w_2$的任意圆与 $\Gamma$ 正交．因此 $w_1$ 与 $w_2$ 关于 $\Gamma$ 对称．

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