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幂函数

8．6．1 沿圆弧的积分
既已懂得了 $(1 / z)$ 的积分，也就容易懂得其他幂的积分了．我们再次用图 8－11的方法从沿圆弧 $K$ 的积分开始．我们将得到的结果与实积分的结果

$$
\int_A^B x^m d x=\frac{1}{m+1}\left[B^{m+1}-A^{m+1}\right] \quad(m \neq-1)
$$

形式完全一致，区别在于，在复情况下我们可以真正看见它！
图8－17a中是与图8－11a相似的回路，而由图8－11b变到图8－17b 表示从复反演到一般整数幂 $w=z^m$ 的变化．图 8－17 的主要目的是传递一般的论证，但是如果我告诉你，它其实画的是 $m=2$ 的特例，你就会更好地理解它的细节．

当 $z$ 沿 $K$ 运动时，$w$ 将沿半径为 $A^m$ 的象圆周运动，但角速度是 $z$ 的角速度的 $m$ 倍，所以

$$
\begin{aligned}
|\widetilde{\Delta}| & =A^m(A \phi)=A^{m+1} \phi \\
\widetilde{\phi} & =\tau+\phi=m \phi+\phi=(m+1) \phi
\end{aligned}
$$

因为所有的 $\widetilde{\Delta}$ 都有相同的长度和转角，所以 $R_M$ 是一个圆弧的多边形逼近，我们把它的圆心放在图 8－17c 的原点上．我们现在要决定这段圆弧所对的圆心角，还有它的半径．

![图片](/uploads/2025-06/4e641d.jpg)
 
 每个 $\widetilde{\Delta}$ 在圆心所张的角就是转角 $\widetilde{\phi}$ ，亦即 $\Delta$ 的转角的 $(m+1)$ 倍，这样
终点的辐角 $=(m+1) \Psi$ ．
还有，若用 $\rho$ 表示 $R_M$ 的半径，则由图 8－17c 可以看到

$$
\rho \widetilde{\phi}=|\widetilde{\Delta}| \quad \Rightarrow \quad \rho=\frac{A^{m+1}}{m+1}
$$

由此我们可以得出如下结论：

$$
\begin{aligned}
R_M & =\text { 终点 }- \text { 起点 }=\frac{1}{m+1}\left[A^{m+1} e^{i(m+1) \Psi}-A^{m+1}\right] \\
& =\frac{1}{m+1}\left[B^{m+1}-A^{m+1}\right]
\end{aligned}
$$

它正如我们所许诺的，形式上与实的结果完全一样．希望你会同意：能用一种在实情况下不可能做到的办法使它可视化，这是颇为引人入胜的。

我们上面说了，图8－17画的其实是 $m=2$ 的具体情况．在往下读以前，希望你费心略述一个其他情况：$m=-2$ 可能是有趣的．

8．6．2 复反演作为极限情况＊
和在普通微积分中一样，$m=-1$ 的情况（复反演）是很独特的。然而，把这个特殊的幂作为其他幂的极限情况，我们就能理解它的性态．只要对多值函数的分支略微小心一点，就可以看出甚至在放松 $m$ 为整数这个要求以后，上面的结果仍然
是成立的．当 $m$ 逐渐趋向 -1 时，$R_M$ 的半径 $\rho$ 就会增大，$R_M$ 也就越来越不弯曲，同时 $\widetilde{\Delta}$ 的长就趋向 $\phi$ 。所以当 $m$ 趋向 -1 时，我们可以看到 $R_M$ 将沿虚轴笔直上行到 $i \Psi$ 。图 8－18 画出了这一点。变动着的量 $n \equiv m+1$ 量度了 $m$ 和 -1 之差，所以在此图上以 $n$ 作为黎曼和的标志是很好的．

![图片](/uploads/2025-06/b1d015.jpg)
 
回到整数幂的情况，我们下面就会看到，对于完整的圆形环路，复反演与所有其他的幂有一个惊人的基本区别：若 $m \neq-1$ ，积分会变成零．这是由于 $R_M$ 将绕圆周转 $|n|$ 整圈 $[n<0$ 时按顺时针方向转，$n>0$ 时按逆时针方向转］，所以最后回到了起点．
8．6．3 一般回路和形变定理
迄今为止，我们只是在 $A, B$ 两点由一个简单弧（即不自交的弧）来连接的情况证明了（8．10），但事实上它对几乎所有的回路都是真的．先看 $n>0$ 的情况．因为 $z^m$ 这时在全平面上解析，由柯西定理直接可得所有连接 $A, B$ 两点的回路都给积分以相同的值．然而 $n<0$ 的情况就比较微妙．

正如复反演在原点破坏了解析性一样，$z$ 的其他负幂也都如此．所以柯西定理只能保证，当这两条连接 $A, B$ 两点的路径合起来并未包围原点时，积分值是相同的．对于包围原点的环路，积分值并不为 0 ，例如在 $z^{-1}$ 的情况积分值为 $2 \pi i$ 。

然而，直接计算可知，对于 $z$ 的其他负整数幂（即 $m \neq-1$ ），绕着以原点为中心的圆周环路的积分确实为 0 ，尽管这不是柯西定理所要求的 ${ }^{(1)}$ 。我们现在要给柯西定理一个新形式，它使我们看到积分变成 0 并不是来自环路具有圆周的特殊形状带来的侥幸的事情．

考虑图 8－19a，其中的两个环路均包围某个映射的奇点，因此柯西定理并未要求沿 $J$ 或 $L$ 的积分为 0 ．然而，若此映射在两环路之间的阴影区域中为解析的，我们可以证明这两个积分必相等。首先考虑沿 $L$ 之积分里面来自 $p, q$ 间的一段的贡献。设我们对这一段稍做形变使之成为连接 $p, q$ 的一个肿块。因为映射在这两条连接 $p, q$ 的路径所围的区域中解析，由柯西定理，沿这两条路径的积分必相等。再则，因为 $L$ 的其余部分没有变，所以沿有肿块的环路上的积分 $=$ 沿没有肿块的环路（即原来的 $L$ ）上的积分。现在为了得到我们所需要的结果还需要我们做的就只是让这个肿块长大而且形变（如图 8－19b 所示），直到 $L$ 变成 $J$ 为止．
 ![图片](/uploads/2025-06/5d228e.jpg)
 
 关键性的思想就是：
如果回路在形变中只扫过解析点，则积分值不会改变．
我们称这个结果为形变定理．这样，如果把回路想象成一条橡皮圈，而把奇点想象为由钉在平面上的小木桩（其作用是挡住橡皮圈的运动），不管这条橡皮圈变成了什么形状，其上的积分之值总是相同的．

我们马上就可以把形变定理应用于我们的问题。因为如果这映射是 $z^{-1}$ 以外的 $z$ 的其他负整数幂，则我们已经证明了的事实，即在圆周环路上积分为 0 ，就蕴涵了，只要这个圆周在形变时能够不碰到原点处的奇点，则在它能变成的一切环路上积分都为 0 ，所以，（8．10）甚至对负整数幂也是与路径无关的。

形变定理也给出了关于复反演映射在一般环路上的积分公式（8．6）的一个简单得多的推导。设想取一根很长的有弹性的绳子在一个以原点为中心的圆周上缠 $\nu$圈，然后把它的两头接起来成一个闭环路．由以前的工作可知 $z^{-1}$ 在其上的积分值为 $2 \pi i \nu$ 。但是形变定理说，不论怎样使这条绳子形变，只要不让它越过原点（奇点）处的小木桩，积分的值就仍是 $2 \pi i \nu$ 。但是霍普夫映射度定理指出，它能够变成的环路一定是环绕数为 $\nu$ 的环路．

8．6．4 定理的进一步推广
我们＂动态＂版本的柯西定理还可以进一步推广到具有好几个奇点的映射．考虑包围两个奇点（小木桩）的环路 $L$（图8－20a），推广到有更多奇点的映射是显而易见的。如果我们让 $L$ 形变但是不碰到小木桩，我们知道积分之值不变。由图 8－20a

经图 8－20b 到图 8－20c 的过程是这种形变的一例．图8－20c是很有趣的．现在回路变成在 $q$ 点连在一起了，于是积分的值可以认为是两个在 $q$ 点相切的圆周上的积分之和。但是现在可以再应用通常的论证方法，可以让这两个圆周分别形变，这样就完成图 8－20c 到图 8－20d 的转变．于是我们得到以下结论：

$$
\oint_L f(z) d z=\oint_J f(z) d z+\oint_K f(z) d z .
$$

![图片](/uploads/2025-06/9a2476.jpg)
 
 现在举一个例子说明（8．12）．考虑 $f(z)=2 /\left(z^2+1\right)$ ，它在 $z= \pm i$ 处有奇点．只要注意到 $f(z)$ 还有另一个表达式

$$
f(z)=\frac{i}{z+i}-\frac{i}{z-i}
$$

就能在任一环路 $C$ 上计算这个积分了．应用（8．7）可得

$$
\oint_C f(z) d z=2 \pi[\nu(C, i)-\nu(C,-i)]
$$

像图 8－20a 中那样让 $L$ 包围这两个奇点，请用这个公式来对这个特殊的函数验证 （8．12）．

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