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三角形的内切圆★★★★★

## 三角形的内切圆
### 问题的提出
有一块三角形材料，如何从中剪下一个面积最大的圆？
 如果最大圆存在，它与三角形的各边应有怎样的位置关系？

如图24－50，$\odot O$ 按其位置与三角形的边是否相切分四种情形：图24－50（1）的 $\odot O$ 与三边都不相切
图24－50（2）的 $\odot O$ 只与一边相切
图24－50（3）的 $\odot O$ 与两边相切
图 24－50（4）的 $\odot O$ 与三边都相切。

图24－50（1）（2）（3）中的圆面积都不是最大的 （试一试，可作出一个面积更大的圆来），由此猜想：要使剪下的圆面积最大，这个圆应与三角形的三边都相切，如图24－50（4）。

![图片](/uploads/2026-04/c08e88.jpg)
 
### 三角形的内切圆 
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的**内切圆**，圆心叫做三角形的**内心**，三角形叫做圆的**外切三角形**，三角形的内心是三角形**三条角平分线**的交点。

已知 $\odot I$ ，过这圆上 $D 、 E 、 F$ 三点作它的三条切线交成 $\triangle A B C$（图 4.35），于是 $\odot I$ 便是 $\triangle A B C$ 的内切圆．由于切线垂直于过切点的半径，则内心 $I$ 到三边的距离相等，$I$ 在$△ABC$ 的三个内角的平分线上．

> **核心结论：在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等**。

![图片](/uploads/2026-04/39f9f7.jpg)
 
### 旁心

仿此，我们还可证明：三角形一内角平分线和其余两内角的外角平分线交于一点，这一点叫做三角形的旁心（图 4．36），以旁心为圆心可作一圆和一边及其它两边的延长线相切、所作的圆叫做三角形的旁切圆，一个三角形有三个旁心，三个旁切圆，如图 4.36 所示，$\odot I_1 、 \odot I_2 、 \odot I_3$ 是 $\triangle A B C$ 的三个旁切圆．

**旁心到三角形三边的垂直距离相等，这个距离就是旁切圆的半径**

![图片](/uploads/2026-04/e34001.jpg)
 
 
## 例题
`例`已知 $\triangle A B C, \overline{B C}=a 、 \overline{A C}=b, \overline{A B}=c$ ，求三个顶点到内切圆的切线长（图 4．37）．

![图片](/uploads/2026-04/8b9ec2.jpg)
 
解：设 $\triangle A B C$ 的三边、 $\overline{B C} 、 \overline{C A} 、 \overline{A B}$ 分别与内切圆 $I$ 相切于 $D 、 E 、 F$ 三点，由于从圆外一点引圆的两条切线长相等，

$$
\therefore \quad \overline{A E}=\overline{A F}, \quad \overline{B F}=\overline{B D}, \quad \overline{C D}=\overline{C E} .
$$

设 $\overline{A E}=x 、 \overline{B F}=y, \overline{C D}=z$ ，则可得到，

$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=c \\
y+z=a \\
z+x=b
\end{array}\right.
$$

解之得 ：

$$
x=\frac{b+c-a}{2}, \quad y=\frac{a+c-b}{2}, \quad z=\frac{a+b-c}{2}
$$

答：三个顶点 $A 、 B 、 C$ 到内切圆的切线长分别为

$$
\frac{b+c-a}{2}, \quad \frac{a+c-b}{2}, \quad \frac{a+b-c}{2}
$$

`例`  在直角 $\triangle A B C$ 中，$\angle C=90^{\circ}, \overline{A B}=3 \mathrm{~cm}, \overline{A C}=2 \mathrm{~cm}$ ．
求：直角三角形内切圆半径长（图 4．38）．

![图片](/uploads/2026-04/205886.jpg)
 
解：设 $\odot I$ 为 $\triangle A B C$ 的内切圆，半径为 $r$ ．
$\because \triangle A I B$ 的面积 $+\triangle B I C$ 的面积 $+\triangle A I C$ 的面积 $=\triangle A B C$ 的面积

$$
\therefore \quad r \times \overline{A B}+r \times \overline{B C}+r \times \overline{A C}=\overline{A C} \times \overline{B C}
$$

又知：$\overline{A B}=3, \overline{A C}=2, \overline{B C}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$

$$
\therefore \quad r \times 3+r \times \sqrt{5}+r \times 2=2 \times \sqrt{5}
$$

$$
r=\frac{2 \sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}=\frac{10 \sqrt{5}-10}{20}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}
$$

答：内切圆半径等于 $\frac{\sqrt{5}-1}{2} \mathrm{~cm}$ ．

`例` 如图 24－53，在 $\triangle A B C$ 中，$\angle B=43^{\circ}, \angle C=61^{\circ}$ ，点 $I$ 是 $\triangle A B C$ 的内心，求 $\angle B I C$ 的度数．

![图片](/uploads/2026-04/b8ac5b.jpg)
 
解 连接 $I B, I C$ ．
因为点 $I$ 是 $\triangle A B C$ 的内心，所以 $I B, I C$ 分别是 $\angle B 、 \angle C$的平分线．

在 $\triangle I B C$ 中，有

$$
\begin{aligned}
\angle B I C & =180^{\circ}-(\angle I B C+\angle I C B) \\
& =180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle B+\angle C) \\
& =180^{\circ}-\frac{1}{2}\left(43^{\circ}+61^{\circ}\right) \\
& =128^{\circ} .
\end{aligned}
$$

## 2个特殊三角形的内切圆
在内切圆里，有2个特殊三角形，分别是等边三角形和直角三项。

### 等边三角形的内切圆
 
 设等边三角形边长为 $a$，高为 $h$，内切圆半径为 $r$，外接圆半径为 $R$。

1. 半径关系
- 高：$\displaystyle h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
- 内切圆半径：$\displaystyle r=\frac{\sqrt{3}}{6}a$
- 外接圆半径：$\displaystyle R=\frac{\sqrt{3}}{3}a$
- 关键比例：$\boldsymbol{R=2r}$，且 $\boldsymbol{r=\dfrac{h}{3}}$

2. 位置与对称性
- 内切圆圆心、外接圆圆心、重心、垂心、外心、内心**全部重合**，称为中心。
- 内切圆与三边**都相切**，切点为各边**中点**。
- 整个图形关于三条高（中线、角平分线）对称。

3. 面积与周长
- 三角形面积：$\displaystyle S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$
- 内切圆面积：$\displaystyle S_{\text{圆}}=\pi r^2=\frac{\pi a^2}{12}$
- 内切圆周长：$\displaystyle C=2\pi r=\frac{\sqrt{3}}{3}\pi a$

![图片](/uploads/2026-04/e2aaa4.jpg){width=240px}
  
  
**简证**  由于等边三角形“三线合一”，因此，等边三角形的外心和内心重合。设内切圆半径为r，外接圆半径为R，参考下图
 
  ![图片](/uploads/2025-06/a19c6c.jpg){width=250px}

在 Rt $\triangle ABC$ 中，$\angle OCD =30$ ，
则 $R =2 r , r^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2= R ^2$
则内切圆半径 $r =\frac{\sqrt{3}}{6} a$
外接圆半径 $R =\frac{\sqrt{3}}{3} a$

### 直角三角形的内切圆、外接圆的半径

设直角三角形三边长为 **a、b（直角边），c（斜边）**

1. 内切圆半径 r
$$
 r = \frac{a + b - c}{2} 
$$
也可以用通用公式：
$$
r = \frac{S}{p}
$$
其中：
- 面积 $S = \dfrac{1}{2}ab$
- 半周长 $p = \dfrac{a+b+c}{2}$

2. 圆心位置
- 内心（内切圆圆心）是三条角平分线交点
- 在直角坐标系中，若直角顶点在原点，两直角边在坐标轴上：
  **圆心坐标 = (r, r)**

举个例子
直角边 3、4，斜边 5
$$
r = \frac{3+4-5}{2} = 1
$$
 
 **简单证明**
 
（1）直角三角形外接圆半径
如图，直角三角形圆的外接圆圆心在斜边的中点，因此外接圆半径R=c/2

![图片](/uploads/2025-06/92031d.jpg){width=300px}
 
（2）直角三角形内切圆半径
易知四边形 $C E D G$ 为正方形，设直角三角形内切圆半径为 $r$ ，则 $C E=C G=r$ ，由切线长定理得 $A F=A E=b-r, B F=B G=a-r$ ，则 $b-r+a-r=c$ ，则内切圆半径：

$$
r=\frac{a+b-c}{2}
$$

`例`如图，已知 $\odot O$ 为 Rt $\triangle A B C$ 的内切圆，切点分别为 $D, E, F$ ，且 $\angle C=90^{\circ}, A B=13, B C=12$ ．
（1）求 $B F$ 的长．
（2）求 $\odot O$ 的半径 $r$ ．
 ![图片](/uploads/2026-04/313a39.jpg)
 
 解 （1）在 Rt $\triangle A B C$ 中，$\because \angle C=90^{\circ}, A B=13, B C=12$ ，

$$
\therefore A C=\sqrt{A B^2-B C^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5 .
$$

$\because \odot O$ 为 Rt $\triangle A B C$ 的内切圆，切点分别为 $D, E, F$ ，

$$
\therefore B D=B F, A D=A E, C F=C E .
$$

设 $B F=B D=x(x>0)$ ，
则 $A E=A D=13-x, C E=C F=12-x$ ，

$$
\begin{aligned}
& \because A E+C E=5, \\
& \therefore 13-x+12-x=5, \\
& \therefore x=10, \\
& \therefore B F=10 .
\end{aligned}
$$

（2）连接 $O E, O F$（图略），
由题意得，$O E \perp A C, O F \perp B C$ ，

$$
\therefore \angle O E C=\angle C=\angle O F C=90^{\circ},
$$

∴ 四边形 $O E C F$ 是矩形，

$$
\therefore O E=C F=B C-B F=12-10=2 \text {, 即 } r=2 \text {. }
$$

![图片](/uploads/2026-04/7a7d67.jpg)

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