最后更新: 2026-04-05 08:13 查看: 61 次纠错评论(0) 课件开VIP

三角形外接圆★★★★★

## 三角形外接圆
三角形外接圆是指经过三角形三个顶点的圆。这个圆的圆心叫做三角形的外心，半径叫做外接圆半径，通常用$R$表示。
 
 ### 核心概念
- **外心 (Circumcenter)**：外接圆的圆心，是三角形**三边垂直平分线的交点**。
- **外心性质**：外心到三角形**三个顶点的距离相等**，此距离即为**外接圆半径 (R)**。
- **唯一性**：**不在同一直线上的三点确定唯一一个圆**，因此任意三角形仅有一个外接圆。

![图片](/uploads/2026-04/20766e.jpg){width=250px}
 
 ### 外心位置（随三角形类型变化）
1. **锐角三角形**：外心在**三角形内部**。
2. **直角三角形**：外心恰好在**斜边的中点**上（泰勒斯定理），外接圆半径 **R = 斜边 / 2**。
3. **钝角三角形**：外心在**三角形外部**，靠近最长边。

### 外接圆半径公式
设△ABC三边为 $a, b, c$，对角为 $A, B, C$，面积为 $S$，外接圆半径为 $R$。
1. **正弦定理形式**（已知一边及对角）：
    $$
    R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C}
    $$
2. **面积形式**（已知三边及面积）：
    $$
    R = \frac{abc}{4S}
    $$
3. **直角三角形特例**（$c$ 为斜边）：
    $$
    R = \frac{c}{2}
    $$

###  尺规作图法
1. 作三角形**任意两边**的**垂直平分线**。
2. 两条垂直平分线的交点即为**外心 (O)**。
3. 以 **O** 为圆心，**OA (或OB, OC)** 为半径画圆，即得外接圆。

###  重要性质
- **圆周角定理**：圆心角是对应圆周角的两倍。即 $\angle BOC = 2\angle A$。
- **内接三角形**：该三角形称为此圆的**内接三角形**，一个圆有无数个内接三角形。

## 2个特殊三角形的外接圆

### 等边三角形
等边三角形的外接圆是指经过三角形三个顶点的圆。由于等边三角形的高度对称性，其外接圆具有非常简洁的性质。

核心性质
1. **中心重合（四心合一）**
    外接圆的圆心（**外心**），与等边三角形的**内心、重心、垂心**完全重合。
2. **圆心位置**
    位于三角形内部，是三条**高、中线、角平分线、垂直平分线**的交点。
3. **半径公式**
    设等边三角形边长为 $a$，外接圆半径为 $R$：
   $$
    \boldsymbol{R = \frac{\sqrt{3}}{3}a \quad (\text{或} \quad \frac{a}{\sqrt{3}})}
    $$
    **推导**：
    - 等边三角形的高 $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$。
    - 外心（重心）将高分为 $2:1$ 两段，**外接圆半径占 $\frac{2}{3}$**：
   $$
    R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{3}a
    $$

与内切圆的关系
- 外接圆半径 $R = \frac{\sqrt{3}}{3}a$
- 内切圆半径 $r = \frac{\sqrt{3}}{6}a$
- **半径比**：$\boldsymbol{\frac{R}{r} = 2}$

`例`边长为 $6$ 的等边三角形，求外接圆半径。
**解答**：
$$
R = \frac{\sqrt{3}}{3} \times 6 = 2\sqrt{3} \approx 3.464
$$

### 直角三角形

核心结论
直角三角形的外接圆：
- **圆心**：斜边的中点
- **半径**：斜边长度的一半
$$
R=\frac{c}{2}
$$
其中$c$ 是斜边。

简单说明
1. 直角三角形的三个顶点都在圆上
2. 斜边就是外接圆的**直径**
3. 所以半径直接等于斜边的一半

`例`直角三角形两直角边为 3、4，斜边 5
外接圆半径$R=\dfrac52=2.5$

`例`如图，在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A C B=90^{\circ}, \angle A B C= 45^{\circ}, B C=12 \mathrm{~cm}$ ，半圆 $O$ 的直径 $D E=12 \mathrm{~cm}$ ，点 $E$与点 $C$ 重合，半圆 $O$ 以 $2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度从左向右运动．在运动过程中，点 $D 、 E$ 始终在 $B C$ 所在的直线上．设运动时间为 $x \mathrm{~s}$ ．
（1）当 $x=$ $\_\_\_\_$时，点 $O$ 与线段 $B C$ 的中点重合。
（2）当 $x$ 为何值时，半圆 $O$ 所在的圆与 $\triangle A B C$ 的边所在的直线相切？

![图片](/uploads/2026-04/cf1a43.jpg)
 
 解 （1）如图 1，当点 $O$ 与线段 $B C$ 的中点重合时，$x=\frac{12}{2}=6$ ．故答案为 6 ．
 
 （2）当 $x=0$ 时，半圆 $O$ 所在的圆与 $A C$ 所在的直线相切。
如图 1，当 $x=6$ 时，半圆 $O$ 所在的圆与 $A C$ 所在的直线相切．

![图片](/uploads/2026-04/da4a6e.jpg)
 
 如图 2，当半圆 $O$ 所在的圆与 $A B$ 所在的直线相切时（点 $O$ 在点 $B$ 左侧），设切点为 $H$ ，连接 $O H$ ，易知 $O H=B H=6 \mathrm{~cm}, O B=6 \sqrt{2} \mathrm{~cm}, O C=(12- 6 \sqrt{2}) \mathrm{cm}, \therefore x=\frac{6+(12-6 \sqrt{2})}{2}=9-3 \sqrt{2}$ ．
如图 3，当半圆 $O$ 所在的圆与 $A B$ 所在的直线相切时（点 $O$ 在点 $B$ 右侧），设切点为 $H$ ，连接 $O H$ ，易知 $O H=B H=6 \mathrm{~cm}, O B=6 \sqrt{2} \mathrm{~cm}, O C=(12+ 6 \sqrt{2}) \mathrm{cm}, \therefore x=\frac{6+(12+6 \sqrt{2})}{2}=9+3 \sqrt{2}$ ．

![图片](/uploads/2026-04/5cb8c5.jpg)
 
 综上所述，当 $x=0$ 或 9－3 $\sqrt{2}$ 或 6 或 $9+3 \sqrt{2}$ 时，半圆 $O$ 所在的圆与 $\triangle A B C$ 的边所在的直线相切．

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