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圆锥的侧面展开★★★★★

## 圆锥的知识回顾
在几何中，我们把下述这样的立体图形称为**圆锥**．
底面圆心到地面圆周上的任意一点的连线叫做底面圆的**半径**．

圆锥是由一个底面和一个侧面围成的图形，它的底面是一个圆，连接顶点与底面圆心的线段叫作**圆锥的高**．
如图，$P O$ 是圆锥的高．

![图片](/uploads/2026-04/1796c1.jpg)

圆锥顶点与底面圆上任意一点的连线段都叫作圆锥的母线，母线的长度均相等．$P A$ 是**母线**．
 
### 圆锥的底面半径、高线、母线长三者关系
参考下图，三者组成了一个直角三角形，满足勾股定理。
$$
R^2=h^2+r^2
$$

![图片](/uploads/2026-04/b8509f.jpg)

## 圆锥的侧面展开

如果把圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开，那么它的侧面展开图是一个**扇形**，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长，圆锥的侧面积等于扇形的面积（如下图）．若圆锥的底面圆的半径为 $r$ ，母线长为 $l$ ，则这个扇形的半径为 $l$ ，扇形的弧长为 $2 \pi r$ ，
$$S_{\text {圆锥侧 }}=\frac{1}{2} l \cdot 2 \pi r=\pi r l $$
$$S_{\text {圆锥表 }}=S_{\text {圆锥侧 }}+S_{\text {圆锥底 }}=\pi r l+\pi r^2=\pi r(l+r) $$

$$V_{体积} = \frac{1}{3} S_{\text{底}} h = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

![图片](/uploads/2026-04/6fb47b.jpg)
 
 `例`如图，用一个半径为 30 cm ，面积为 $300 \pi \mathrm{~cm}^2$ 的扇形铁皮制作一个无底的圆锥 （不计损耗），则圆锥的底面圆的半径 $r$ 为
 
  ![图片](/uploads/2026-04/49d7e8.jpg)
  
  解 ∵ 扇形的半径为 30 cm ，面积为 $300 \pi \mathrm{~cm}^2$ ， ∴ 扇形的弧长为 $\frac{300 \pi \times 2}{30}=20 \pi(\mathrm{~cm}) . \because$ 圆锥的底面圆的周长等于它的侧面展开图中扇形的弧长，$\therefore 2 \pi r=20 \pi, \therefore r=10 \mathrm{~cm}$ 
  
 `例`已知圆锥的底面积是 $15 \mathrm{~cm}^2$ ，其侧面展开图中扇形的圆心角是 $180^{\circ}$ ，则圆锥的侧面积是
$\_\_\_\_$ $\mathrm{cm}^2$ ．

解 设圆锥底面圆的半径是 $r \mathrm{~cm}$ ，侧面展开图中扇形的半径是 $R \mathrm{~cm}$ ，则有 $\pi r^2=15,2 \pi r=\pi R$ ，

$$
\begin{aligned}
& \therefore R=2 r=2 \sqrt{\frac{15}{\pi}} \therefore S_{\text {圆锥侧 }}=\frac{1}{2} \cdot 2 \pi r \cdot R=\pi r R \\
& =\pi \times \sqrt{\frac{15}{\pi}} \times 2 \sqrt{\frac{15}{\pi}}=30\left(\mathrm{~cm}^2\right) .
\end{aligned}
$$

> 易错警示 字母 $r$ 一般表示圆锥底面圆的半径，字母 $R$ 一般表示圆锥侧面展开图中扇形的半径，底面圆周长为 $l$ 的圆锥的侧面积 $S=\frac{1}{2} l R$ ，而不是 $S=\frac{1}{2} l r$ ．

`例`已知扇形的圆心角为 $150^{\circ}$ ，弧长为 $20 \pi$ ．用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的表面积为 $\_\_\_\_$。
解 设圆锥的母线长为 $l$ ，底面圆的半径为 $r$ ，则 $\frac{150 \pi \cdot l}{180}=20 \pi, 2 \pi r=20 \pi$ ，

所以 $l=24, r=10$ ，
故 $S_{\text {圆锥表 }}=\frac{1}{2} \times 20 \pi \times 24+\pi \times 10^2=340 \pi$.

`例`如图所示，把直角三角形 $A B C$ 的斜边 $A B$放在直线 $l$ 上，按顺时针方向在 $l$ 上滚动两次，使它滚动到 $\triangle A^{\prime \prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的位置．若 $B C=1, A C=\sqrt{3}$ ，求顶点 $A$ 运动到点 $A^{\prime \prime}$ 的位置时，点 $A$ 所经过的路线长．
 
 ![图片](/uploads/2026-04/d6079a.jpg)
 
 解  点 $A$ 所经过的路线长包括以点 $B$ 为圆心， $A B$ 的长为半径的弧 $A A^{\prime}$ 的长，以及以点 $C^{\prime}$ 为圆心，$A^{\prime} C^{\prime}$ 的长为半径的弧 $A^{\prime} A^{\prime \prime}$ 的长．

在 Rt $\triangle A B C$ 中，$B C=1, A C=\sqrt{3}, \therefore A B=2$ ，
$\therefore \angle C A B=30^{\circ}, \therefore \angle A^{\prime} B C^{\prime}=\angle A B C=60^{\circ}$ ，
$\therefore \angle A B A^{\prime}=120^{\circ}$ ．
易知 $\angle A^{\prime} C^{\prime} A^{\prime \prime}=90^{\circ}$ ，
$\therefore \overparen{A A^{\prime}}$ 的长为 $\frac{120 \pi \times 2}{180}=\frac{4 \pi}{3}, \overparen{A^{\prime} A^{\prime \prime}}$ 的长为 $\frac{90 \pi \times \sqrt{3}}{180} =\frac{\sqrt{3} \pi}{2}$.
∴ 点 $A$ 所经过的路线长为 $\frac{4 \pi}{3}+\frac{\sqrt{3} \pi}{2}$ ．

## 面积的计算
`例`如图，$A B$ 是 $\odot O$ 的直径，弦 $C D \perp A B, \angle C D B= 30^{\circ}, C D=2 \sqrt{3}$ ，则阴影部分的面积为
 ![图片](/uploads/2026-04/92842d.jpg)
 
 解：   连接 $O D$ ，设 $C D$ 交 $A B$ 于点 $E$ ．
$\because C D \perp A B, \therefore C E=D E=\frac{1}{2} C D=\sqrt{3}$
（垂径定理），故 $S_{\triangle O C E}=S_{\triangle O D E}$ ，
∴ 阴影部分的面积等于扇形 $O B D$

![图片](/uploads/2026-04/351bf5.jpg)
 
 的面积
 $$
 \begin{aligned}
& \because \angle C D B=30^{\circ}, \therefore \angle C O B=60^{\circ}, \\
& \therefore \angle B O D=\angle C O B=60^{\circ}, \\
& \because C E=\sqrt{3}, \therefore \text { 在 Rt } \triangle C O E \text { 中, } O C=2, \\
& \therefore S_{\text {扁形 } O B D}=\frac{60 \pi \times 2^2}{360}=\frac{2 \pi}{3}, \text { 即阴影部分的面积 } \\
& \text { 为 } \frac{2 \pi}{3} .
\end{aligned}
$$

`例`如图，扇形 $O A B$ 与扇形 $O C D$ 的圆心角均为 $90^{\circ}$ ，连接 $A C, B D$ ．若 $O A=3 \mathrm{~cm}, O C =1 \mathrm{~cm}$ ，求阴影部分的面积．
 ![图片](/uploads/2026-04/9966d6.jpg)
 
解∵ 扇形 $O A B$ 和扇形 $O C D$ 的圆心角都是 $90^{\circ}$ ，

$$
\begin{aligned}
& \therefore \angle A O C+\angle A O D=\angle A O D+\angle B O D=90^{\circ} . \\
& \therefore \angle A O C=\angle B O D .
\end{aligned}
$$

又 $\because O C=O D, O A=O B, \therefore \triangle A O C \cong \triangle B O D$ ．
$\therefore \triangle B O D$ 可以看作是由 $\triangle A O C$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到的．

$$
\begin{aligned}
& \therefore S_{\text {阴影 }}=S_{\text {扇形 } O A B}-S_{\text {扇形 } O C D}=\frac{90 \pi \times 3^2}{360}-\frac{90 \pi \times 1^2}{360}= \\
& 2 \pi\left(\mathrm{~cm}^2\right) .
\end{aligned}
$$

`例` 如图，从一块半径为 1 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 $120^{\circ}$ 的扇形 $A B C$ ，如果将剪下来的扇形围成一个无底的圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为 $\_\_\_\_$ m ．
 ![图片](/uploads/2026-04/1cc0d7.jpg)
 
解  连接 $O A, O B$（图略），根据已知易得 $\angle B A O$

$$
=\frac{1}{2} \angle B A C=\frac{1}{2} \times 120^{\circ}=60^{\circ} \text {. 又 } \because O A=O B \text {, }
$$

$\therefore \triangle A O B$ 是等边三角形，$\therefore A B=O A=1 \mathrm{~m}$ ．

$$
\because \angle B A C=120^{\circ}, \therefore \widehat{B O C} \text { 的长 }=\frac{120 \pi \cdot A B}{180}=\frac{2 \pi}{3}(\mathrm{~m}) \text {. }
$$

设该圆锥的底面圆的半径为 $r \mathrm{~m}, \therefore 2 \pi r=\frac{2 \pi}{3}$ ，

$$
\therefore r=\frac{1}{3} .
$$

故该圆锥的底面圆的半径为 $\frac{1}{3} \mathrm{~m}$ ．

`例`如图，小珍同学用半径为 8 cm ，圆心角为 $100^{\circ}$ 的扇形纸片，制作一个底面半径为 2 cm 的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 $\_\_\_\_$ $\mathrm{cm}^2$ ．

![图片](/uploads/2026-04/31c91a.jpg)
 
 解 如图，由题意得弧 $A C$ 的长为 $2 \pi \times 2= 4 \pi(\mathrm{~cm})$,
 
  ![图片](/uploads/2026-04/ba18cb.jpg)
  
  设弧 $A C$ 所对的圆心角为 $n^{\circ}$ ，则 $\frac{n \pi \times 8}{180}=4 \pi$ ，解得 $n=90$ ，
∴ 粘贴部分所对应的圆心角为 $100^{\circ}-90^{\circ}=10^{\circ}$ ， ∴ 圆锥上粘贴部分的面积是 $\frac{10 \pi \times 8^2}{360}=\frac{16 \pi}{9}\left(\mathrm{~cm}^2\right)$ ．

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