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五次方程的不可解性

##  五次方程的不可解性
每一个中学生都熟悉二次多项式 $a x^2+b x+c$ 的根的公式，即 $\left(-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}\right) /$ $2 a$ ．对于三次多项式也有一个根的公式，可能就不那么熟悉了．把三次多项式写成 $x^3+a x^2+b x+c$ ，并且作一个变换 $y=x+a / 3$ 把它化成 $y^3+h y+k$ ．这个多项式的根就是

$$
\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(-k+\sqrt{k^2+4 h^3}\right)}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(-k-\sqrt{k^2+4 h^3}\right)}
$$

二次多项式根的公式希腊人就已经知道了，三次多项式根的公式一直到 16 世纪才找到，在同一个世纪也找到了 4 次多项式根的公式．二次、三次和四次多项式的根的公式都可以用对于原来的多项式的系数进行一串有限多个算术运算（加、减、乘、除）以及有限多个求根（平方根、立方根等等）运算表示出来，这种公式就叫做根的根式表达式。

下一步很自然就是五次多项式了．然而，在好几百年中就没有一个人找到一般的五次多项式根的根式表达式．

这种情况是很有道理的，因为这种公式根本不存在．同样，对于高于五次的多项式也没有这样的公式．这件事首先是由阿贝尔［VI．33］（他英年早逝，去世时只有 26 岁）在 19 世纪初确认的，后来伽罗瓦［VI．41］（在世仅21年）建立了一个完整的理论，不仅解释了何以没有这样的公式，而且为代数学和数论的整个一座大厦奠立了基础，这座大厦就称为伽罗瓦理论，它是现代研究的重要领域．

伽罗瓦的关键思想之一是：对每一个多项式 $f=f(x)$ 都附加上一个群［I．3§2．1］ $\operatorname{Gal}( f )($ 即 $f$ 的伽罗瓦群），它是对 $f$ 的各个根进行置换所成的有限群，这个群是通过一个域［382．2］来定义的．用于此处的域是复数［I．381．5］域 $C$ 的一个子集合

$F$ ，即具有这样的性质的集合：若 $a, b$ 是 $F$ 的元素，则 $a+b, a-b, a b$ 和 $a / b$ 都是 $F$ 中的元素（不过对于最后一个运算需要设 $b \neq 0$ 以免用 0 作分母）．这个性质用标准的数学语言来说就是 $F$ 在通常的算术运算加、减、乘和除下＂为闭＂， ［所以，$F$ 其实是 $C$ 的一个子域］．常用的域还有例如有理数域 $Q$ ，还有 $Q (\sqrt{2})=$ $\{a+b \sqrt{2}: a, b \in Q \}$（它也是一个域，因为它在加、减、乘下显然为闭，在除法下也是闭的，因为 $1 /(a+b \sqrt{2})=a /\left(a^2-2 b^2\right)-b \sqrt{2} /\left(a^2-2 b^2\right)$ ．［当然，现在需要假设 $a$ 和 $b$ 不同时为 0 ，而这和 $a+b \sqrt{2} \neq 0$ 是等价的］）．根据代数的基本定理［V．13］，一个具有有理系数的 $n$ 次多项式 $f(x)$ 有 $n$ 个复根，记为 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 。定义 $f$ 的分裂域（splitting field） $Q \left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)$ 为包含 $Q$ 和所有 $\alpha_i$ 的最小的域，例如多项式 $x^2-2$有两个根 $\pm \sqrt{2}$ ，所以它的分裂域就是上面定义的 $Q (\sqrt{2}) \cdot x^3-2$ 就不是那么平凡不足道了，它的根是 $\alpha, \alpha \omega, \alpha \omega^2$ ，其中 $\alpha=2^{1 / 3}$ ，即 2 的实立方根，而 $\omega= e ^{2 \pi i / 3}$ ，所以它的分裂域就是 $Q (a, \omega)$ ．它是由所有的形如 $a_1+a_2 \alpha+a_3 \alpha^2+a_4 \omega+a_5 \alpha \omega+a_6 \alpha^2 \omega$ 的复数组成，其中的 $a_i \in Q$（注意，在上面的式子里没有出现 $\omega^2$ ，这是因为 $\omega^2=-\omega-1$ ，而这一点可以由 $\omega^3=1$ ，所以有 $(\omega-1)\left(\omega^2+\omega+1\right)=0$ 得出）．

令 $E= Q \left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)$ 为多项式 $f$ 的分裂域．$E$ 的自同构就是一个能够保持 $E$ 中的加法和乘法的双射 $\phi: E \rightarrow E$ ，就是说，对于所有的 $a, b \in E$ 都有 $\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)$ 以及 $\phi(a b)=\phi(a) \phi(b)$ 。这样的映射一定也能保持减法和除法，［这是由于它应该能保持逆运算，以及加法和乘法的恒等元仍被映为相应的恒等元，自然也就有当且仅当 $b=0$ 时有 $\phi(b)=0]$ ，也容易证明对于任意有理数 $r$ 有 $\phi(r)=r$ 。现在用 Aut $(E)$ 来记 $E$ 的所有自同构的集合，例如对于 $E= Q (\sqrt{2})$ ，任意自同构 $\phi$ 都满足以下关系式：

$$
2=\phi(2)=\phi(\sqrt{2} \sqrt{2})=\phi(\sqrt{2}) \phi(\sqrt{2})=(\phi(\sqrt{2}))^2 \text {, }
$$

所以 $\phi(\sqrt{2})=\sqrt{2}$ 或者 $-\sqrt{2}$ ．在前一个情况，$\phi(a+b \sqrt{2})=a+b \sqrt{2}$ ，而在后一个情况，$\phi(a+b \sqrt{2})=a-b \sqrt{2}$ ，它们都是 $E$ 的自同构，所以 $\operatorname{Aut}(E)=\left\{\phi_1, \phi_2\right\}$ ．
$E$ 的两个自同构 $\phi$ 和 $\psi$ 的复合 $\phi \circ \psi$ 仍是 $E$ 的自同构，其逆 $\phi^{-1}$ 也是，而且用对于 $E$ 中的所有元 $e$ 都成立的式 $\iota(e)=e$ 来定义的恒等映射 $\iota$ 也是自同构。因为函数的复合这个映射是结合的运算，所以 $\operatorname{Aut}(E)$ 在复合运算下成为一个群。现在定义多项式 $f$ 的具有分裂域 E 的伽罗瓦群 $\operatorname{Gal}(f)$ 就是这个自同构群 $\operatorname{Aut}(E)$ 。这样，例如 $\operatorname{Gal}\left(x^2-2\right)=\left\{\phi_1, \phi_2\right\}$ 。注意 $\phi_1$ 就是恒等映射 $\iota$ ，而 $\phi_2^2=\phi_2 \circ \phi_2=\phi_1$ ，所以这个群是 2 阶循环群。类似地，如果 $f=x^3-2$ 而分裂域就是上面讲过的 $E= Q (\alpha, \omega)$ ，则任意的自同构 $\phi \in \operatorname{Aut}(E)$ 一定满足条件 $\phi(\alpha)^3=\phi\left(\alpha^3\right)=\phi(2)=2$ ，所以必有 $\phi(\alpha)=\alpha, \alpha \omega$ ，或 $\alpha \omega^2$ ；类似地，也有 $\phi(\omega)=\omega$ ，或 $\omega^2$ ．这样，一旦确定了 $\phi(\alpha)$ 和 $\phi(\omega)$ ，则 $\phi$ 就被完全确定了（因为 $\phi\left(a_1+a_2 \alpha+\cdots+a_6 \alpha^2 \omega\right)=a_1+a_2 \phi(\alpha)+\cdots+a_6 \phi\left(\alpha^2\right) \phi(\omega)$ ，这样 $\phi$ 就只有 6 种可能性）．结果是，这 6 种可能性都是自同构，而 $Gal \left(x^3-2\right)$ 是一个阶数为 6 的群．事实上，这个群同构于对称群［III．68］$S_3$ ，因为每一个自同构 $\phi$ 都可以看成是 $f(x)$的三个根的置换。

在定义了伽罗瓦群以后，就能够来陈述伽罗瓦的引导到五次方程的不可解性的基本结果了。 $G=\operatorname{Gal}(f)$ 的每一个子群 $H$ 都有一个固定域（fixed field）$H^{\dagger}$ ，其定义是：使得对于一切 $\phi \in H$ 都有等式 $\phi(a)=a$ 的元素 $a \in E$ 的集合 ${ }^{(1)}$ 。伽罗瓦证明了 $H$ 和 $H^{\dagger}$ 的联系，给出了 $G$ 的子群和 $Q$ 和 $E$ 之间的域（即所谓 $E$ 的中间子域（intermediate field））的一一对应。 $f(x)$ 的根有根式表达式这个条件引导到某种特殊的中间子域，也就引导到 $G$ 的某些特殊子群，这样最终就会引导到伽罗瓦的最著名的定理：$f(x)$ 的根有根式表达式当且仅当其伽罗瓦群为可解群（就是说， $G=\operatorname{Gal}(f)$ 有一个子群序列 $1=G_0<G_1<\cdots<G_y=G$ ，这里每一个 $G_i$ 的都是下一个 $G_{i+1}$ 的正规子群［I．3§3．3］，而且商群 $G_{i+1} / G_i$ 是阿贝尔群）．

由此可知，为了证明五次方程的不可解性，只需要做出一个五次多项式 $f(x)$使得相应的 $G=\operatorname{Gal}(f)$ 不是可解群即可，这种五次多项式的一个例子是 $f(x)=$ $2 x^5-5 x^4+5$ ．我们先证明 $\operatorname{Gal}(f)$ 同构于对称群 $S_5$ ，再证明 $S_5$ 不是可解群．下面是其证明的简短的概述．先证明 $f(x)$ 是一个既约多项式（就是不可分解为次数较低的多项式的乘积），且有五个相异的根。画出 $f$ 的图像就可以见到这五个根中有三个实根和两个复根 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ ，它们互相共轭。因为复共轭映射 $z \rightarrow \bar{z}$ 给出 $\operatorname{Gal}(f)$ 中的一个自同构，所以可以知道 $\operatorname{Gal}(f)$ 是 $S_5$ 的一个包含了一个2循环（即 $\left(\alpha_1, \alpha_2\right)$ ）的子群．一个既约多项式的伽罗瓦群的另一个基本的一般事实是它传递地排列所有的根，就是说任意给定两个根 $\alpha_i$ 和 $\alpha_j$ ，一定存在 $\operatorname{Gal}(f)$ 中的一个自同构把 $\alpha_i$映到 $\alpha_j$ ．所以群 $\operatorname{Gal}(f)$ 是 $S_5$ 的一个将这五个根传递地加以排列而且包含了一个 2 循环的子群．到了这一步，用一点相当初等的群论知识就可以证明 $Gal (f)$ 就是整个 $S_5$ ．最后，$S_5$ 不是可解群很容易从交代群是非阿贝尔的单群（即除了整个群和平凡的恒等元子群以外没有其他正规子群的群）这个事实得出．
这些思想可以推广来作出任意的次数 $n \geqslant 5$ 的多项式，使它以 $S_n$ 为伽罗瓦群，这个群不是可解的，从而这个多项式不能用根式解出．对于二次、三次和四次多项式不会发生这样的事，因为 $S_4$ 和它的所有子群都是可解群．

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