最后更新: 2025-06-27 05:13 查看: 93 次纠错评论(0) 课件开VIP

刘维尔定理

## 刘维尔定理
数学中最著名的定理之一是 $\sqrt{2}$ 为无理数这个命题．这意味着找不到一对整数 $p$ 和 $q$ ，使 $\sqrt{2}=p / q$ ，或者换一个等价的说法就是方程 $p^2=2 q^2$ 除了平凡解 $p=q=0$ 以外没有整数解．证明这个结果的论据可以相当大地加以推广，而事实上，如果 $P(x)$ 是一个具有整系数，而且首项系数为 1 的多项式，则它的所有的根或者是整数或者是无理数．例如方程 $x^3+x-1=0$ 当 $x=0$ 时为负，而当 $x=1$时为正，它一定有一个根严格地位于 0 和 1 之间．这个根不是整数，所以一定是无理数．

在已经证明了一个数是无理数以后，似乎没有什么可以多说的了．但是，这远不是真实的．给定了一个无理数以后，我们可以问：它与有理数多么接近，只要一去研究这件事，马上就会出现诱人的然而极为困难的问题．

并不是立刻就可以明白这些问题是什么问题，因为每一个无理数都可以用有理数来逼近到我们所希望的程度．例如 $\sqrt{2}$ 的十进展开是这样开始的： $1.414213 \cdots$ ，就是说 $\sqrt{2}$ 与有理数 $141421 / 100000$ 之差不到 $1 / 100000$ ．比较一般地说，对于任意正整数 $q$ ，取正整数 $p$ 为使得 $p / q<\sqrt{2}$ 的最大的正整数，这时 $p / q$ 逼近 $\sqrt{2}$ 的误差不到 $1 / q$ 。换句话说，如果希望逼近 $\sqrt{2}$ 的精度是 $1 / q$ ，那么总可以用一个分母为 $q$ 的分数来做到这一点．

然而，还可以问下面这样的问题，能否仍以 $q$ 为分母但是逼近的精度远甚于 $1 / q$ ？后来证明答案为肯定的．为了看到这一点，令 $N$ 为一正整数，考虑由 $N+1$ 个数： $0, \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}, \cdots, N \sqrt{2}$ 所成的数列，其中的每一个都可以写成 $m+\alpha$ 的形式，这里 $m$ 是一个整数，而小数部分 $\alpha$ 在 0 与 1 之间。因为这里总共有 $N+1$ 个数，其中至少有两个数的小数部分相差不到 $1 / N$ ．就是说，可以在 0 与 $N$ 之间找到两个整数 $r<s$ 使得若记 $r \sqrt{2}=n+\alpha, s \sqrt{2}=m+\beta$ ，则 $|\alpha-\beta| \leqslant 1 / N$ ．所以，若记 $\gamma=\alpha-\beta$ ，就有 $(s-r) \sqrt{2}=n-m+\gamma$ ，以及 $|\gamma| \leqslant 1 / N$ ．现在令 $q=s-r, p=n-m$ ，则 $\sqrt{2}=p / q+\gamma / q$ ，所以由此可以得到 $|\sqrt{2}-p / q| \leqslant 1 / q N$ ．因为 $N \geqslant q, 1 / q N \leqslant 1 / q^2$ ，所以至少对于某些正整数 $q$ ，用 $q$ 为分母，可以达到 $1 / q^2$ 的精度．
换一个角度不同的论据，也可以证明不可能做得比这更好．令 $p$ 和 $q$ 为任意的正整数．因为 $\sqrt{2}$ 是无理数，所以 $p^2$ 和 $2 q^2$ 是两个不同的正整数，这就蕴含了 $\left|p^2-2 q^2\right| \geqslant 1$ ．用 $q^2$ 通除此式，就会得到不等式 $|p-q \sqrt{2}|(p+q \sqrt{2}) \geqslant 1 / q^2$ ．可以假设 $p / q$ 小于 2 ，因为不然的话，$p / q$ 就不会是 $\sqrt{2}$ 的好的近似．但是这样一来 $p / q+2$ 就小于 4 ，而上面的不等式就蕴含了 $|p / q-\sqrt{2}| \geqslant 1 / 4 q^2$ ．所以，若以 $q$ 为分母的有理数去逼近 $\sqrt{2}$ ，其精度不可能比 $1 / 4 q^2$ 更好．［这样看来，前一个论证的角度是考虑精度可以达到多少，而现在的角度是不能达到多少］．

这样一个论证的推广就给出了刘维尔定理：如果 $x$ 是一个 $d$ 次多项式的无理根，而 $p$ 和 $q$ 为正整数，则 $|p / q-x|$ 不可能＂相当本质地＂小于 $1 / q^d$ ．当 $x=2$ 时，这就化归为上面的证明，因为这个 $x$ 是 2 次多项式的无理根，所以可以取 $d=2$ ．然而由刘维尔定理，我们还会知道许多类似的事实，例如 $\sqrt[3]{2}$ 不可能＂相当本质地＂ 小于 $1 / q^3 $
1955 年罗特定理的证明是一个惊人的成就，它宣布出现在刘维尔定理中的 $q$的幂 $d$ 可以改进成几乎就是 2 ．准确地说，给定任意多项式的无理根 $x$ 以及任意的数 $r>2$ ，必定存在常数 $c$ ，使得 $|p / q-x|$ 总是至少和 $c / q^r$ 一样大（这里的证明除了告诉我们 $c$ 为正以外，没有给出其任何信息，关于 $c$ 如何依赖于 $r$ 和 $x$ 仍然是一个重大的未解决问题）．

为什么这是一个比刘维尔定理深刻得多的结果？考虑 $|p / q-\sqrt[3]{2}|$ 绝不会比 $1 / q^3$小太多的证明．在这个证明下面是一个简单的事实：$p^3$ 和 $2 q^3$ 是两个不同的整数，所以至少相差为 1 ．但是，要想证明一个如罗特定理那样好得多的结果，我们需要证明的就多得多。例如，如果想在 $r=5 / 2$ 的情况下证明罗特定理，就必须证明 $p^3$和 $2 q^3$ 是两个相差一个可以与 $\sqrt{p}$ 相比较甚至更大的数，而为什么会是这样，远非明显的事情．

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