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三体问题

## 三体问题
三体问题的陈述很简单：**三个质点在它们相互之间的重力引力的作用下在空间运动；给定了其初始位置和初速，希望求出它们以后的运动**
这居然是一个困难的问题，最初使人感到奇怪，因为类似的二体问题的求解相当简单，更精确地说，给定了任意一组初始条件，可以写出一组公式，其中所含有的是初等函数（就是可以用基本的算术运算以及少数几个标准的函数，如指数函数和三角函数构造出来的函数），告诉我们这些物体以后的位置和速度．然而三体问题是很复杂的非线性问题，它不可能用这种方法来解决，哪怕把＂标准函数＂的储备扩大一些也不行．牛顿［IV．14］自己就怀疑这个问题的精确求解＂如果我没有说错的话，超出了人类心智的力量＂，而希尔伯特［VI．63］在著名的 1900 年的巴黎演讲中，则把这个问题放在类似于费马大定理［V．10］的同一个范畴里．这个问题可以推广到任意多个物体，而在这个一般的情况，这个问题就叫做 $n$ 体问题．

回忆一下，质点 $P_1$ 作用于质点 $P_2$ 的重力引力的大小是 $k^2 m_1 m_2 / r^2$（在适当的单位制下），这里 $k$ 是高斯引力常数，质点 $P_i$ 的质量是 $m_i$ ，而两个质点之间的距离
是 $r$ ，作用在 $P_2$ 上的力的方向则是从 $P_2$ 指向 $P_1$（作用在 $P_1$ 上的力的方向则是指向 $P_2$ ）．回忆一下牛顿第二定律：力等于质量乘加速度．从这两个定律很容易导出三体问题的运动方程．令质点为 $P_1, P_2$ 和 $P_3$ ，把质点 $P_i$ 的质量记为 $m_i, P_i$ 和 $P_j$的距离记为 $r_{i j}$ ，而 $P_i$ 的位置的第 $j$ 个坐标则记为 $q_{i j}$ ，于是运动方程就是

$$
\left.\begin{array}{l}
\frac{d^2 q_{1 i}}{d t^2}=k^2 m_2 \frac{q_{2 i}-q_{1 i}}{r_{12}^3}+k^2 m_3 \frac{q_{3 i}-q_{1 i}}{r_{13}^3}, \\
\frac{d^2 q_{2 i}}{d t^2}=k^2 m_1 \frac{q_{1 i}-q_{2 i}}{r_{12}^3}+k^2 m_3 \frac{q_{3 i}-q_{2 i}}{r_{23}^3}, \\
\frac{d^2 q_{3 i}}{d t^2}=k^2 m_1 \frac{q_{1 i}-q_{3 i}}{r_{13}^3}+k^2 m_2 \frac{q_{2 i}-q_{3 i}}{r_{23}^3},
\end{array}\right\}
$$

这里的 $i$ 从 1 变到 3 ．这样就有 9 个方程，它们都是从上面说的简单的定律导出来的．例如，第一个方程的左方就是第一个质点 $P_1$ 的加速度的第 $i$ 个分量，而右方则是作用在 $P_1$ 上的力在第 $i$ 个方向上的分量除以 $m_1$ ．

如果这样选择单位制使得 $k=1$ ，则这个系统的位能由

$$
V=-\frac{m_2 m_3}{r_{23}}-\frac{m_3 m_1}{r_{31}}-\frac{m_1 m_2}{r_{12}}
$$

给出．令

$$
p_{i j}=m_i \frac{d q_{i j}

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