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三体问题

## 三体问题
三体问题的陈述很简单：**三个质点在它们相互之间的重力引力的作用下在空间运动；给定了其初始位置和初速，希望求出它们以后的运动**
这居然是一个困难的问题，最初使人感到奇怪，因为类似的二体问题的求解相当简单，更精确地说，给定了任意一组初始条件，可以写出一组公式，其中所含有的是初等函数（就是可以用基本的算术运算以及少数几个标准的函数，如指数函数和三角函数构造出来的函数），告诉我们这些物体以后的位置和速度．然而三体问题是很复杂的非线性问题，它不可能用这种方法来解决，哪怕把＂标准函数＂的储备扩大一些也不行．牛顿［IV．14］自己就怀疑这个问题的精确求解＂如果我没有说错的话，超出了人类心智的力量＂，而希尔伯特［VI．63］在著名的 1900 年的巴黎演讲中，则把这个问题放在类似于费马大定理［V．10］的同一个范畴里．这个问题可以推广到任意多个物体，而在这个一般的情况，这个问题就叫做 $n$ 体问题．

回忆一下，质点 $P_1$ 作用于质点 $P_2$ 的重力引力的大小是 $k^2 m_1 m_2 / r^2$（在适当的单位制下），这里 $k$ 是高斯引力常数，质点 $P_i$ 的质量是 $m_i$ ，而两个质点之间的距离
是 $r$ ，作用在 $P_2$ 上的力的方向则是从 $P_2$ 指向 $P_1$（作用在 $P_1$ 上的力的方向则是指向 $P_2$ ）．回忆一下牛顿第二定律：力等于质量乘加速度．从这两个定律很容易导出三体问题的运动方程．令质点为 $P_1, P_2$ 和 $P_3$ ，把质点 $P_i$ 的质量记为 $m_i, P_i$ 和 $P_j$的距离记为 $r_{i j}$ ，而 $P_i$ 的位置的第 $j$ 个坐标则记为 $q_{i j}$ ，于是运动方程就是

$$
\left.\begin{array}{l}
\frac{d^2 q_{1 i}}{d t^2}=k^2 m_2 \frac{q_{2 i}-q_{1 i}}{r_{12}^3}+k^2 m_3 \frac{q_{3 i}-q_{1 i}}{r_{13}^3}, \\
\frac{d^2 q_{2 i}}{d t^2}=k^2 m_1 \frac{q_{1 i}-q_{2 i}}{r_{12}^3}+k^2 m_3 \frac{q_{3 i}-q_{2 i}}{r_{23}^3}, \\
\frac{d^2 q_{3 i}}{d t^2}=k^2 m_1 \frac{q_{1 i}-q_{3 i}}{r_{13}^3}+k^2 m_2 \frac{q_{2 i}-q_{3 i}}{r_{23}^3},
\end{array}\right\}
$$

这里的 $i$ 从 1 变到 3 ．这样就有 9 个方程，它们都是从上面说的简单的定律导出来的．例如，第一个方程的左方就是第一个质点 $P_1$ 的加速度的第 $i$ 个分量，而右方则是作用在 $P_1$ 上的力在第 $i$ 个方向上的分量除以 $m_1$ ．

如果这样选择单位制使得 $k=1$ ，则这个系统的位能由

$$
V=-\frac{m_2 m_3}{r_{23}}-\frac{m_3 m_1}{r_{31}}-\frac{m_1 m_2}{r_{12}}
$$

给出．令

$$
p_{i j}=m_i \frac{d q_{i j}}{d t} \text {, 以及 } H=\sum_{i, j=1}^3 \frac{p_{i j}^2}{2 m_i}+V \text {, }
$$

就能够把运动方程写成哈密顿形式

$$
\frac{d q_{i j}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i j}}, \quad \frac{d p_{i j}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i j}}
$$

这里一共有 18 个一阶微分方程．因为这个方程组用起来比较方便，所以人们比起 （1）来更愿意使用（2）．

降低一个微分方程组复杂性的标准方法是求它的代数积分，所谓代数积分是一个对于给定的解保持常数值的函数，而且作为一个积分它会给出变量之间的代数依赖关系．这就使我们能够把某些变量用其他变量来表示，从而减少变量的个数．三体问题有十个独立的代数积分，其中的六个是关于质点组的质心的运动的（三个是关于位置变量的，其余三个是关于动量变量的），还有三个积分表示角动量守恒，最后一个表示能量守恒。这十个积分欧拉［VI．19］和拉格朗日［VI．22］在18世纪中叶就知道，而在1887年，莱比锡的天文教授 Ernst Heinrich Bruns（1848－1919）证明了再也没有其他积分了，这一点两年以后又被庞加莱［VI．61］改进．这十个积分再加上＂消除时间＂和＂消除结点＂（这个过程是由雅可比［VI．35］说明白的），就把原来的 18 阶方程组化简为一个只含 6 个方程的方程组，但是再不能进一步化简了．所以，（2）的任何一个通解都不能用一个简单的公式来表示，我们可以期望的最好结果是用一个无穷级数来表示它．要想找一个级数使它在有限时间段里工作得很好并不困难，问题是要找一个对于任何的初始构型和任意的时间区段以及任意长的时间都能够使用的级数，还有碰撞问题．三体问题的完全的解答需要考虑到这些物体的一切可能的运动，包括确定是哪些初始条件可能导致二元或三元的碰撞．因为碰撞是由微分方程的奇性来表示的，这就意味着要找出完全的解，就必须了解奇性．

这个问题证明比人们预想的更加有趣．从方程的形式很明显可以看到，碰撞会造成奇性．但是，是否还有其他类型的奇异性态就不那么清楚了．在三体问题情况，潘勒韦（Painlevé）在 1897 年解决了这个问题：碰撞是仅有的奇性．然而，对于多于三个物体的情况，答案则不相同． 1908 年，一位瑞典天文学家 Edvard Hugo von Zeipel（1873－1959）证明了非碰撞的奇性只能当质点组可以在一段有限时间内就成为无界时才能出现． 1992 年，夏志宏就五体问题找到了这种奇性的好例子，在他的例子中，有 4 个质点分为两对，每一对中的两个质点质量相同，而第五个质点则质量很小．每一对质点都在平行于 $x y$ 平面的平面上沿着很古怪的轨道运动，而这两个轨道平面各在 $x y$ 平面的上方和下方，运动的方向相反，然后加进第五个质点，它的运动限制在 $z$ 轴上而在这两个对子之间振荡．夏志宏证明了第五个质点的运动迫使这两个对子的运动远离 $x y$ 平面，这个质点离开质点对子越来越近以至发生碰撞，使这两个对子得到一阵一阵的加速度的爆发，而在这个过程中，这两个对子被迫在有限时间之内走向无穷．
人们一方面在寻求一般地解决这个问题，同时也去寻求有趣的特殊的解，我们定义一个中心构型（central configuration）为一个几何构型不变的解．第一个例子是欧拉在 1767 年得到的，三个质点列在一条直线上而以均匀的角速度绕公共的质心沿圆周或椭圆旋转。1772年拉格朗日得到了另一个解，其中三个质点位于一个等边三角形的顶点上而绕其质心作匀速旋转。对于几乎所有的初始条件集合，这个三角形的大小都在变化，从而每一个质点都沿椭圆运动。

然而，尽管发现了一些特解，而且在一个世纪里对于这个问题进行了范围很广的研究工作， 19 世纪的数学家仍然没有找到通解．说真的，这个问题是如此困难，使得庞加莱在 1890 年宣布：如果没有发现了不起的新的数学，这个问题是不可能解决的。但是，和庞加莱的期望相反，不到 20 年后，一位年轻的芬兰数学天文学家 Sundman（Karl Frithiof Sundman，1873－1949）就使用现有的数学技巧得到了一个对所有的时间 $t$ 都一致收玫的无穷级数，从而＂数学地＂解决了这个问题，使得整个数学世界大为震惊．Sundman 的级数是 $t^{1 / 3}$ 的幂级数，对于所有的实的 $t$ ，除了初始值在一个可忽略的集合中的情况以外都是收敛的，而这个可忽略的集合中的初始值相应于角动量为 0 的情况．Sundman 为了对付二元碰撞，使用了一种称为正
规化的方法，也就是把解解析拓展到碰撞以后，但是，他不能处理三元碰撞，因为三元碰撞只在角动量为 0 时出现．

Sundman 的解虽然是一个了不起的数学成就，却留下了许多待解答的问题．这个解对于系统的定性的性态没有提供任何信息，更糟糕的是，他的级数收玫得太慢，所以没有实际的用途．想要决定这个系统在一个合理的时间周期中的行为，需要对数量级大约为 $10^{8000000}$ 的那么多项求和，这种计算明显地是不现实的，所以 Sund－ $\operatorname{man}$ 留下了许多工作要做，而关于这个问题（以及相关的 $n$ 体问题）的研究一直延续到今天，而且不时有令人兴奋的结果出现。一个新近的例子就是 Don Wang ${ }^{(1)}$ 在 1991 年对一般的 $n$ 体问题给出了收玫的幂级数解．

既然三体问题本身已经证明是难于处理的，所以发展了许多简化的版本，其中最著名的称为限制三体问题（这个名词是庞加莱提出来的），而首先是由欧拉研究的．在这个情况下，有两个物体（称为主星（primaries））在重力的吸引下绕它们的公共质心沿圆形轨道运动，而第三个物体（称为小天体 ${ }^{(2)}$（planetoid））假设质量如此之小，而对另两个物体的影响可以忽略不计，这个小天体在主星所决定的平面上运动。这样来陈述问题有一个好处就是主星的运动可以看成是一个二体问题，从而是已知的；余下的只是要研究小天体的运动，这可以用扰动理论来进行．虽然限制三体问题可能看起来是人为造作的，但是对真实的物理情况，例如在有太阳存在时决定月亮绕地球运动的问题，把它看成限制三体问题就是一个好的近似。庞加莱对于限制三体问题研究得很多，而他为了这个问题所发展的技术把他引导到对于数学的混沌的发现，也为现代的动力系统理论打下了基础．
作为一个陈述起来很简单的问题，三体问题除了其内在的吸引力以外，还有一个属性增加了它对想要解决它的人的吸引力，那就是它与太阳系的稳定性这个基本问题有密切的关系．这个问题就是问，我们的行星系统将永远和它现在的情况一样呢，还是最终它的一个组成的行星会逃逸或者更糟会碰撞呢？因为太阳系里的星体都是近似球形的，而它们的大小比起它们相互之间的距离又都是极小的，它们都可以看成是质点．如果忽略所有其他的力如太阳风或相对论效应，而只考虑重力，太阳系就可以用一个十体问题为模型，这十个质点中只有一个有大的质量，其余九个都很小，而可以这样来研究太阳系．

多年以来，求解三体问题（以及相关的 $n$ 体问题的企图，孵育了大量的研究财富，结果是：它的重要性既在于它本身，也在于它所造成的数学的进展．这方面的一个引人注目的例子是 KAM 理论的发展，这个理论提供了一个求积被扰动的哈密顿系统的方法，而且提供了对于无限时间周期也适用的结果．这个理论是在 1950 和 1960 年代由科尔莫哥罗夫［VI．88］、Arnold（Vladimir Igorevich Arnold，1937－2010，前苏联和俄罗斯数学家）和 Moser（Jürgen Kurt Moser，1928－1999，德国数学家）发展起来的．

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