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球面几何

##  球面三角形的角盈
球面上的测地线是大圆，即过球心的平面与该球面的交线．所以，如果你是生活在球面上的蚂蚁，这些大圆就是你称之为＂直线＂的东西．
图 6－7a 画出了一个半径为 $R$ 的球面上，用这种＂直线＂连接其 3 个点所成的一般三角形 $T$ 。不必诉诸（6．6），那是微分几何中的一个深刻结果，我们直接证明角盈 $E (T)$ 服从（6．4），而且常数 k 确实就是高斯曲率： $k =\left(1 / R^2\right)$ 。通常把下面漂亮的论证归功于欧拉，事实上它在 1603 年即由哈里奥特 发现了．

![图片](/uploads/2025-06/3c6c2f.jpg)
 
 延长 $T$ 之各边将球面分成 8 个三角形，其中标以 $T, T_\alpha, T_\beta, T_\gamma$ 的 4 个各有一个与之全等的对径三角形。在图 6－7b 上看得更清楚。因为球面面积是 $4 \pi R^2$ ，我们得出

$$
A (T)+ A \left(T_\alpha\right)+ A \left(T_\beta\right)+ A \left(T_\gamma\right)=2 \pi R^2
$$

由图 6－7b 又看到，$T$ 与 $T_\alpha$ 共同构成一个楔形，它的面积是整个球面面积的 $(\alpha / 2 \pi)$倍，即

$$
A (T)+ A \left(T_\alpha\right)=2 \alpha R^2
$$

类似于此，

$$
\begin{aligned}
& A (T)+ A \left(T_\beta\right)=2 \beta R^2 \\
& A (T)+ A \left(T_\gamma\right)=2 \gamma R^2
\end{aligned}
$$

三式相加即有

$$
3 A (T)+ A \left(T_\alpha\right)+ A \left(T_\beta\right)+ A \left(T_\gamma\right)=2(\alpha+\beta+\gamma) R^2
$$

由（6．8）减去（6．7）即有

$$
A (T)=(\alpha+\beta+\gamma-\pi) R^2
$$

换言之，

$$
\begin{aligned}
&E (T)=k A (T) \text {, 其中 } k=\left(1 / R^2\right) \text {, }\\
&\text { 这就是我们想要证明的．}
\end{aligned}
$$

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