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高斯曲率

## 高斯曲率
高斯在 1827 年发表了一篇论文，对于内蕴和外在几何做了美丽的分析  ，在其中，高斯揭示了这两种几何中存在着的惊人的联系。

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我们在这里只能以最一般的形式阐述他的某些最重要的结论。关于这些一般结果的解释，请去读微分几何的专著，本章之末推荐了一些文献，然而懂得非欧几何又只需要这些一般结果的某些特例，对它们的验证散见于本章之中。

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对于图 6－3 中那样的曲面，很明显它有些地方比其他地方更弯曲。而且，弯曲的类型也因地而异。为了把曲面在一点 $p$ 处的弯曲之程度（与类型）加以量化，高斯引入了一个量 $k (p)$ ，称为高斯曲率，它的定义我们马上就来讲。

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$k (p)$ 的量值越大，曲面在 $p$ 点就越弯曲． $k (p)$ 的符号则定性地告诉我们，在紧接着 $p$ 的邻域中曲面是什么样子．见图 6－5．若 $k (p)<0$ ，则 $p$ 点的邻域像一个马鞍：在有些方向上向上弯曲，而在另一些方向上向下弯曲．若 $k (p)>0$ ，则它在各个方向上都同样地弯曲，像一片球面．

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 我们马上就要说明，我们现在用 k 表示高斯曲率，又在前面用相同的记号表示 （6．4）中的常数，这决非偶然——它们原是同样的东西！

高斯原来是这样定义 $k (p)$ 的。做一个平面 $\Pi$ 使它包含曲面在 $p$ 点的法向量 $n$ ，而令 $\kappa$ 为 $\Pi$ 与此曲面相交而成的曲线在 $p$ 点的（有符号的）曲率。 $\kappa$ 之符号视曲率中心是在 $n$ 方向还是 $- n$ 方向而定。当 $\Pi$ 绕着 $n$ 旋转时，$\kappa$ 的最小值 $\kappa_{\min }$ 与最大值 $\kappa_{\text {max }}$ 称为主曲率。［附带说一下，欧拉在这以前就有了一个重要发现，即主曲率产生在两个互相垂直方向上．］高斯定义 k 为主曲率之积：

$$
k \equiv \kappa_{\min } \kappa_{\max }
$$

注意，这个定义用到了曲面在空间中的精确形状（因而属于外在几何）．然而

高斯在上面说的文章（Gauss［1827］）中向前推进得出一个惊人发现，就是 $k (p)$ 实际上度量了曲面的内蕴曲率，就是说， k 在弯曲之下不变！高斯确实有理由为这一结果骄傲，并称它为 Theorema Egregium（绝

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