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高斯曲率

## 高斯曲率
高斯在 1827 年发表了一篇论文，对于内蕴和外在几何做了美丽的分析  ，在其中，高斯揭示了这两种几何中存在着的惊人的联系。

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我们在这里只能以最一般的形式阐述他的某些最重要的结论。关于这些一般结果的解释，请去读微分几何的专著，本章之末推荐了一些文献，然而懂得非欧几何又只需要这些一般结果的某些特例，对它们的验证散见于本章之中。

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对于图 6－3 中那样的曲面，很明显它有些地方比其他地方更弯曲。而且，弯曲的类型也因地而异。为了把曲面在一点 $p$ 处的弯曲之程度（与类型）加以量化，高斯引入了一个量 $k (p)$ ，称为高斯曲率，它的定义我们马上就来讲。

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$k (p)$ 的量值越大，曲面在 $p$ 点就越弯曲． $k (p)$ 的符号则定性地告诉我们，在紧接着 $p$ 的邻域中曲面是什么样子．见图 6－5．若 $k (p)<0$ ，则 $p$ 点的邻域像一个马鞍：在有些方向上向上弯曲，而在另一些方向上向下弯曲．若 $k (p)>0$ ，则它在各个方向上都同样地弯曲，像一片球面．

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 我们马上就要说明，我们现在用 k 表示高斯曲率，又在前面用相同的记号表示 （6．4）中的常数，这决非偶然——它们原是同样的东西！

高斯原来是这样定义 $k (p)$ 的。做一个平面 $\Pi$ 使它包含曲面在 $p$ 点的法向量 $n$ ，而令 $\kappa$ 为 $\Pi$ 与此曲面相交而成的曲线在 $p$ 点的（有符号的）曲率。 $\kappa$ 之符号视曲率中心是在 $n$ 方向还是 $- n$ 方向而定。当 $\Pi$ 绕着 $n$ 旋转时，$\kappa$ 的最小值 $\kappa_{\min }$ 与最大值 $\kappa_{\text {max }}$ 称为主曲率。［附带说一下，欧拉在这以前就有了一个重要发现，即主曲率产生在两个互相垂直方向上．］高斯定义 k 为主曲率之积：

$$
k \equiv \kappa_{\min } \kappa_{\max }
$$

注意，这个定义用到了曲面在空间中的精确形状（因而属于外在几何）．然而

高斯在上面说的文章（Gauss［1827］）中向前推进得出一个惊人发现，就是 $k (p)$ 实际上度量了曲面的内蕴曲率，就是说， k 在弯曲之下不变！高斯确实有理由为这一结果骄傲，并称它为 Theorema Egregium（绝妙定理）。作为这个结果的一个例子，你可以可视化地使自己信服，在图 6－4 的那几个本质为平坦的曲面上， $k =0$ ．
k 的本质含义展现在下述的基本结果中：若 $\Delta$ 是位于 $p$ 点的无穷小三角形，其面积为 $d A$ ，则

$$
E (\Delta)=k(p) d A
$$

既然 $E (\Delta)$ 与 $d A$ 都是定义在内蕴几何中的， $k =( E / d A )$ 当然也是。我们在这里再次请你读一读微分几何的专著，去看一下（6．5）的证明。

由（6．5）可知［见习题1］，对于非无穷小的三角形 $T$ ，只要把高斯曲率在 $T$ 的内域加起来（即进行积分），就可得到 $T$ 的角盈：

$$
E (T)=\iint_T k(p) d A
$$

我们下面就要解释，贝尔特拉米认识到，微分几何的这个可爱的结果已经引导我们非常接近于非欧几何的具体解释了．

## 常曲率曲面
考虑一个 $k (p)$ 在各点 $p$ 上均取相同值的曲面，我们称这曲面为常曲率曲面．例如，平面就是一个常曲率 $k =0$ 的曲面，图 6－4 中其他曲面也是 $k =0$ 的常曲率曲面；球面则是一个具有常正曲率的曲面之例（但不是唯一的常正曲率曲面）；图 6－2中的伪球则是具有常负曲率曲面之例（也非唯一的）。

在常曲率曲面的情况下（也只有在此情况下），（6．6）成为

$$
E (T)=k \iint_T d A =k A (T)
$$

这正是非欧几何的基本公式（6．4）！于是，正如贝尔特拉米已经看到的那样，
欧氏几何、球面几何和双曲几何都可以具体解释为具有零、正或负常曲率的曲面之内蕴几何学．

图 6－6 用各种类型的最简单的曲面说明了这一点．作为额外的奖励，回忆一下，我们以前曾通过写出 $k = \pm\left(1 / R^2\right)$ 而对各种非欧几何都赋予了一个绝对的长度单位 $R$ ．我们得到的奖励就是，这个 $R$ 现在有了生动的含义：在球面几何中，$R$ 只不过就是球面的半径；对于双曲几何，它就是伪球的圆周底边的半径（称为伪球的半径）．对这两种解释，我们在下面还要加以论证．

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 我们已看见欧氏几何的中心思想就是平面上的运动群：运动就是保持每一对点的距离的一一映射。例如，两个图形是全等的，当且仅当存在一个运动使前一图形与后一图形重合。为使这个相等性的基本观念可以用于非欧几何，我们要求曲面也容许有类似的运动群。如果我们在图 6－3 的葫芦表面上取一个三角形，很显然不可能把它滑动到一个新位置而仍旧与曲面紧贴，这是因为曲面在新位置上弯曲的方式不同：曲率的变化是对于运动的障碍。

可以求助于（6．5）把这个直观的解释弄清楚。然而我们想首先消除一个可能的混淆．图 6－6 左方平坦平面上的三角形显然可以自由地滑动和旋转，但是图 6－4 上那些（外在地）弯曲的曲面上的三角形又如何呢？这些曲面毕竟内在仍是平坦的，而贝尔特拉米希望我们相信，对于研究欧氏几何，它们和平面是一样地好．如果我们想象这些三角形是完全刚性的，那就很清楚，如果把这些三角形移到曲面其他处，它们就不再能紧贴曲面了。但是如果这些三角形是从普通的纸（可以弯曲但不能拉伸）上剪下来的，它们确实能够自由地滑动与旋转，总是能够完全地紧贴着曲面，这一类运动才是我们要与之打交道的．为了弄清楚曲率与运动的存在性之间的联系，考虑 $p$ 处的无穷小（可弯曲但不可拉伸的）三角形。如果其角盈是 $E$ 而面积为 $d A$ ，（6．5）告诉我们曲面在 $p$ 点的高斯曲率是 $k (p)=( E / d A )$ 。现在设有一个运动将此三角形移到曲面的 $q$ 点处。为了使它在 $q$ 点仍能紧贴曲面，可能需要将它多弯曲一点，但是因为不许可将它拉伸，所以 $E$ 和 $d A$ 之值就不会改变．这样 $k (q)=( E / d A )= k (p)$ ，而此曲面必须具有常曲率．

最后，回到图 6－6 所示的球面和双曲几何的特定的模型。很明显，球面上的三角形可以自由地滑动与旋转。事实上，在球面上和在平面上一样，根本无须弯曲，因为球面不论是内蕴曲率还是外在曲率都是常值．

至于伪球面上的双曲几何又如何？肯定远非如此显然，但是伪球面具有常曲率将可以保证那个可弯曲但不可拉伸的三角形能够自由地滑动和旋转［这一事实将在后面证明］，而且总是完全地紧贴着曲面．习题 15 说明，可以自己做一个伪球面，一旦做好了,你就可以用实验来验证我们宣布的这个惊人事实了

## 与默比乌斯变换的联系
正如我们在第 1 章中已确定的那样，如果把欧氏平面与复平面 $C$ 等同起来，则其上的运动（和相似）都可由特别简单的默比乌斯变换 $M(z)=a z+b$ 来表示。我们想在本章里解释的主要奇迹之一是，球面几何与双曲几何中的运动也是默比乌斯变换！

球面上的最一般的（保向）运动就是绕球心的旋转。把球面映到 $C$ 上的球极射影是球面的一个共形映射，而球面的旋转则成为作用在此映射象（即 $C$ ）上的复函数．我们在第 3 章中已经代数地证明了，这些函数就是以下形状的默比乌斯变换：

$$
M(z)=\frac{a z+b}{-\bar{b} z+\bar{a}}
$$

这首先是由高斯在1819年左右发现的。我们将在下一节用更有启发性的方式重新导出它，还要探讨它与哈密顿的＂四元数＂的关系．

按照同样的模式，也能构造由伪球面到 $C$ 内的共形映射，从而把伪球面上的运动也变成 $C$ 上的复函数．这种共形映射有好几个，最为方便的，一是映射伪球到单位圆盘内．双曲几何中的运动于是成了圆盘映射的默比乌斯自同构：

$$
M(z)=\frac{a z+b}{\bar{b} z+\bar{a}}
$$

这个美丽的发现属于庞加莱  ，见 Poincaré［1882］．

所有这三种二维几何学中的运动都是由特殊的默比乌斯变换来表示的，这已经像是魔术了，但还不止于此！我们在第 3 章中已经看到，一般的默比乌斯变换

$$
M(z)=\frac{a z+b}{c z+d}
$$

在物理学中有深刻的含义：它相应于时－空的最一般的洛仑兹变换。它在非欧几何中也有深意吗？我们将在本章末解释，庞加莱有一个惊人发现，即默比乌斯变换代表三维双曲空间中最一般的（保向）运动，见 Poincaré［1883］．

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