最后更新: 2025-06-30 08:10 查看: 68 次纠错评论(0) 课件开VIP

测底线与内蕴几何和外在几何

## 弯曲曲面上的几何学
高斯从来没有公开发表他关于非欧几何的革命性思想，而人们通常把这个功绩归于两个独立发现双曲几何的人：一是鲍耶于 1832．一是罗巴切夫斯基于1829.事实上，双曲几何通常称为罗巴切夫斯基几何(**罗氏几何学**），可能是因为他的研究多少比鲍耶更深入一些。然而，在他们得到发现后的几十年间，鲍耶的工作完全被人们忽视了，罗巴切夫斯基的工作也遭到恶意攻讦．

在促使人们接受非欧几何方面，起决定性的人物是贝尔特拉米 。他在1868年发现，对于双曲几何可以通过微分几何给出具体的解释。对于现在读这本书的读者来说，只要知道微分几何就是用微积分的思想来研究弯曲的曲面就够了。贝尔特拉米发现了，存在一个被称为**伪球**的曲面，见图 6－2，它上面画出的图形自动地服从双曲几何的法则  ．从心理学的角度来看，贝尔拉特拉米的伪球对于双曲几何的作用，就如同复平面曾经对复数理论所起的作用一样。

![图片](/uploads/2025-06/c8221b.jpg)

为了解释这句话的意思，我们先来讨论在更一般的曲面，如图 6－3 那样看来怪怪的像蔬菜的曲面上，怎样＂做几何＂．在这种曲面上研究几何的思想，本质上来自高斯，而更广泛地要归功于黎曼（因此后面也称呼**黎曼几何**）。

![图片](/uploads/2025-06/655f91.jpg)
 
我们要做的第一件事就是用**测地线**的概念来代替直线的概念。正如在平坦的平面上直线段可以定义为两点之间的最短路径一样，在弯曲的曲面上，连接两点的测地线段也可以（暂时地）定义为在此曲面上最短的连接路径。举例来说，如果你是一只生活在图 6－3 那样的曲面上的蚂蚁，想尽可能快地由 $a$ 走到 $b$ ，你当然会沿着图上所示的测地线走．图上还画出了连接另一对点 $c$ 和 $d$ 的测地线．

下面是一个可以实际做出测地线段的简单方法：取一根线连接 $a$ 与 $b$ 并把它在曲面上绷紧．假设这根线很容易在曲面上滑动，线上的张力就可以保证所得的路径尽可能地短，不过要注意，在 $c d$ 的情况，我们就必须想象这根线在曲面内侧固定．要想用一致的方法来处理所有可能的一对点，最好是设想曲面有相隔极薄的夹层，线就放在夹层里。

我们应该如何定义这种几何学中的距离，现在就很清楚了：$a, b$ 两点的距离就
是连接它们的测地线段的长度．图 6－3 上还画出了例如怎样定义以 $p$ 为中心、 $r$ 为半径的圆周，即定义它是离 $p$ 距离为 $r$ 的点的轨迹．要想作这个圆周，取一段长为 $r$ 的线，把它的一端固定在 $p$ 处，然后（让这段线一直绷紧着）拉着另一端在此曲面上转一周。

给定了曲面上 3 个点，我们用测地线把它们联成三角形，图 6－3 上画了两个这样的三角形：$T_1$ 和 $T_2$ 。现在来看 $T_1$ 的 3 个内角。很明显 $E \left(T_1\right)>0$ ，如同球面几何中的三角形；而 $E \left(T_2\right)<0$ ，如同双曲几何中的三角形．

## 内蕴几何与外在几何
很清楚，正是曲面的曲率使得 $E \left(T_1\right)$ 和 $E \left(T_2\right)$ 不同于其欧几里得值 $E =0$ ．然而曲面在空间中的精确的形状在这里不起作用。想要看到这一点，从图 6－3 的葫芦上切下一小片包含 $T_1$ 的皮。因为葫芦皮是相当硬的，把它轻微弯一点不会把它拉长！现在我们可以轻轻地把这一小片葫芦皮弯成无穷多种稍有不同的形状：由于这种无拉伸的弯曲，葫芦皮的外在几何变了。例如构成 $T_1$ 的边缘的空间曲线形状就会变了。

另一方面，如果你是生活在葫芦皮上的有智慧的蚂蚁，那在此曲面上做的任何几何实验都无法让你知道发生了什么变化。我们就说内蕴几何并没有改变。举例来说，$T_1$ 的边缘曲线仍然是曲面上的最短路径。相应于此 $E$ 之值不受无拉伸弯曲的影响： $E$ 是受内蕴（而非外在）曲率管制的．

为了概括这个事实，考虑图 6－4．左方是一片平坦的纸，其上画了一个三顶角为 $(\pi / 2) 、(\pi / 6) 、(\pi / 3)$ 的三角形 $T$ 。当然 $E (T)=0$ 。很清楚，我们可以把这一片平坦的纸弯成右方两个曲面（这是外在的弯曲）${ }^{\oplus}$ 。然而，内蕴地来说，这些曲面完全没有改变——二者都平坦得如一个煎饼一样！它们上面画的三角形（由于对这张纸做了无拉伸的弯曲，$T$ 就变成了它们）正是有智慧的蚂蚁用测地线构造出来的，两者都有 $E =0$ ：这些曲面上的几何学仍是欧氏几何．
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