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菲欧几何学概述-黎曼几何与罗氏几何

## 欧几里得五大公设
平面上的欧几里得五大公社是：

公设1：任意一点到另外任意一点可以画直线
公设2：一条有限线段可以继续延长
公设3：以任意点为心及任意的距离可以画圆
公设4：凡直角都彼此相等
公设5：同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的两个内角和小于二直角的和,则这二直线经无限延长后在这一侧相交。
其中，前四项大家都没有意义，单独对于第5公设，一直引起争议，第五公社用通俗的话解释就是平行线公里，即

**平行线公理 过直线L外任一点p只有恰好一条直线L与L不相交(6.1)**

6-1a 画出了平行线公理,同时也解释了,何以这个公理不能用实验来验证. 当直线$M$向$L'$旋转时,其交点q沿L越走越远. 我们的几何直觉是以画在平面的有限部分上的图形为基础的,但是要验证$L$与$L'$不相交就需要一个无限的平面. 我们当然可以想象无限平面是什么样子,但是我们没有任何第一手经验来支持我们的预感.

![图片](/uploads/2025-06/4d766f.jpg)

我们所表达的只是现代人的疑惑．在历史上数学家们则热烈地相信（6．1），以至于认为它是直线的逻辑上必要的性质。但既然是那样，他们就应该能直接证明它，而不必像欧几里得那样只是假设它。

有许多想由前四个公理来导出（6．1）的尝试，意大利数学家萨开里在 1733 年才发表的尝试可算是最透彻的之一．他的想法是：如果（6．1）不真，必定会产生矛盾．他把（6．1）的反命题分成两种情况：

**球面公理 没有任何一条过 $p$ 的直线不与 $L$ 相交．(6.2)**

还有

**双曲公理 至少有两条过 $p$ 的直线不与 $L$ 相交．(6.3)**

（6．2）何以称为球面公理马上就会明白，但是把＂双曲＂一词与（6．3）联系起来，虽然是标准的做法，却有些晦涩。

在（6．2）的情况下，如果假设直线有无穷长度，萨开里确实能够得出一个矛盾．但是如果放弃这个要求，我们就会得到一种非欧几何，称为球面几何．这是下节的主题。

在（6．3）的情况下，萨开里和他以后的数学家可以导出很奇怪的结论，但是无

法找到矛盾．我们现在知道了，这是由于（6．3）给出了另外一种可以自圆其说的非欧几何，称为双曲几何．在由（6．2）与（6．3）得出的两种非欧几何中，双曲几何蕴涵了多得多的秘密，而且重要得多：它在许多现代研究领域中是必不可少的工具．进一步说，在某种意义（这一点下面还要讨论。）下，**双曲几何包括了欧氏几何与球面几何**． 
 
 
 下图展示了欧氏几何与非欧几何的可视化表示，我们把内角和大于$\pi$的称作黎曼几何，而把小于$\pi$称作罗氏几何，而等于$\pi$的称作欧氏几何。
 
 ![图片](/uploads/2025-06/9a782f.jpg){width=600px}

##  非欧几何的一些事实
我们先来看一看这些新几何学与欧氏几何有什么不同．欧氏几何的一个非常为人熟知的定理说，在任意三角形 $T$ 中，恒有
（ $T$ 的内角和）$=\pi$.
从图 6－1b 就可以看出，这个结果实际上等价于平行线公理．由此可知，在非欧几何中，三角形的内角和不等于 $\pi$ 。为了量度这个差别，我们引入所谓的角盈 $E$ ：

$$
E (T) \equiv(T \text { 的内角和 })-\pi \text {. }
$$

这样，欧氏几何就由角盈为零来刻画。
注意，与平行线公理原来的表述不同，这个命题可以用实验来检验：**做一个三角形，测量它的角，看加起来是否为 $\pi$** ．高斯是第一个想到物理空间可能不是欧氏空间的人，他甚至企图做上述实验，用 3 个小山头作为三角形的顶点，而用光线作为其边．但是在他的实验装置所能容许的精度内，他发现 $E =0$ ．然而高斯并没有以此结论肯定物理空间的构造是欧氏几何的，相反的，他说如果我们生活的空间如果它不是欧氏几何的，那么它与欧氏几何的偏离极为微小．

我们现在从物理学回到数学．高斯和兰伯特都用纯粹的逻辑得出了（6．2）和 （6．3）的种种推论，独立地发现了两种从相反方向偏离欧氏几何的非欧几何学：

> - 在球面几何中，内角和大于 $\pi: E >0$ ．
> - 在双曲几何中，内角和小于 $\pi: E <0$ ．

他们还都进而发现一个惊人的事实，即 $E (T)$ 完全由三角形的面积决定．更确切些说，

> **$E (T)$ 简单地正比于三角形 $T$ 的面积 $A (T): E (T)= k A (T), k$是一个常数**

在球面几何中为正，在双曲几何中为负．有好几件有趣的事都与这个结果有关。

－视正常数 k 之值不同，会有无穷多种不同的球面几何学，虽然它们并无定性的区别．类似于此，每个不同的负值 k 给出不同的双曲几何．

－因为三角形内角和不能为负， $E (T) \geqslant-\pi$ ，所以在双曲几何（此时 $k <0$ ）中没有一个三角形面积会大于 $|\pi / k |$ ．
－在非欧几何中没有相似三角形一说！这是因为（6．4）告诉我们，两个大小不同的三角形不能有相等的角．
－与上一点密切相关，在非欧几何中存在有绝对的长度单位．例如，在球面几何中，我们可以定义绝对的长度单位为内角和为 $1.01 \pi$ 的等边三角形的边长．类似地，在双曲几何中，可定义它是内角和为 $0.99 \pi$ 的等边三角形的边长．
－定义绝对长度单位的一个比较自然的方法是利用常数 k 。因为角的弧度值定义为长度之比，因此 $E$ 是纯粹的（即无量纲的）数。另一方面，面积 $A$ 的单位是长度的平方，所以 k 的单位是 $1 /(\text { 长度单位 })^2$ ，所以在球面几何中 k 可以用一个长度 $R$ 写成： $k =+\left(1 / R^2\right)$ ；在双曲几何中则为 $k =-\left(1 / R^2\right)$ ．我们以后会看到对这个长度 $R$ 可以给出一个非常直观的解释。
－三角形越小就越难与欧氏三角形相区别：只有当线性尺度是 $R$ 的一个相当大的分数倍时，差别才变得明显起来．这就是为什么高斯在他的实验中要选取他能得到的最大的三角形。 爱因斯坦的理论解释了何以高斯的三角形仍然太小：在环绕地球的空间中引力场是很微弱的，这相应于 k 的值极其渺小， $R$ 的值会极其巨大．如果高斯能在黑洞附近做实验，情况就大为不同了！

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