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微分几何/黎曼几何
第一篇 非欧几何入门
菲欧几何学概述-黎曼几何与罗氏几何
最后
更新:
2025-06-30 08:07
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菲欧几何学概述-黎曼几何与罗氏几何
## 欧几里得五大公设 平面上的欧几里得五大公社是: 公设1:任意一点到另外任意一点可以画直线 公设2:一条有限线段可以继续延长 公设3:以任意点为心及任意的距离可以画圆 公设4:凡直角都彼此相等 公设5:同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的两个内角和小于二直角的和,则这二直线经无限延长后在这一侧相交。 其中,前四项大家都没有意义,单独对于第5公设,一直引起争议,第五公社用通俗的话解释就是平行线公里,即 **平行线公理 过直线L外任一点p只有恰好一条直线L与L不相交(6.1)** 6-1a 画出了平行线公理,同时也解释了,何以这个公理不能用实验来验证. 当直线$M$向$L'$旋转时,其交点q沿L越走越远. 我们的几何直觉是以画在平面的有限部分上的图形为基础的,但是要验证$L$与$L'$不相交就需要一个无限的平面. 我们当然可以想象无限平面是什么样子,但是我们没有任何第一手经验来支持我们的预感.  我们所表达的只是现代人的疑惑.在历史上数学家们则热烈地相信(6.1),以至于认为它是直线的逻辑上必要的性质。但既然是那样,他们就应该能直接证明它,而不必像欧几里得那样只是假设它。 有许多想由前四个公理来导出(6.1)的尝试,意大利数学家萨开里在 1733 年才发表的尝试可算是最透彻的之一.他的想法是:如果(6.1)不真,必定会产生矛盾.他把(6.1)的反命题分成两种情况: **球面公理 没有任何一条过 $p$ 的直线不与 $L$ 相交.(6.2)** 还有 **双曲公理 至少有两条过 $p$ 的直线不与 $L$ 相交.(6.3)** (6.2)何以称为球面公理马上就会明白,但是把"双曲"一词与(6.3)联系起来,虽然是标准的做法,却有些晦涩。 在(6.2)的情况下,如果假设直线有无穷长度,萨开里确实
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