最后更新: 2025-06-30 08:22 查看: 84 次纠错评论(0) 课件开VIP

球面上的运动：空间旋转和反射

## 球面上的运动：空间旋转和反射
为了理解球面上的运动（即保持距离的一一映射），就要先弄清＂距离＂的概念．若球面上两点 $a$ 与 $b$ 不是对径点，则存在唯一的球面上的直线（即大圆，下面说到直线时都是这个意义）$L$ 通过这两点，$L$ 被这两点分为长度不等的两个弧。这两点的距离现在即可定义为较短的那段弧的长度。但若这两点是对径点，则每一条过 $a$ 的直线都自动地通过 $b$ ，这两点的距离就是连接它们的任意半个大圆弧之长 $\pi R$ ．

我们现在就可以推广欧氏几何情况下关于运动的论证。在那里我们看到，平面上的运动唯一地由任意 3 个非共线的点 $a, b, c$ 决定：$P$ 点之象就是到 $a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}$ 之距离与 $P$ 到 $a, b, c$ 的距离相等的唯一点 $P^{\prime}$ 。请验证这个结果在球面上也为真（并说明其理由）。

在球面上也和在平面上一样，可以无矛盾地对每个角赋以方向，就是从球面外域去看一个角的方向，若为逆时针方向就规定此方向为正的．和平面上的情况一样，这就使球面上的运动也分成两类：保向（共形）的运动和反向（反共形）的运动。

和平面上的情况一样，球面上最简单的反向运动也是对直线 $L$ 的反射 $\Re_L$ ．这个反射可以想象为对含 $L$ 的平面 $\Pi$ 之空间的反射 $\Re_{\Pi}$ 在球面上的限制。见图6－8a，其中画出了所画的球面三角形的正角如何在 $\Re_L$ 下反转了方向．

![图片](/uploads/2025-06/5a34fe.jpg)
 
 如果你是一只生活在球面上的有智慧的蚂蚁，则上面用 $\Re_{\Pi}$ 的限制来构造 $\Re_L$的做法对于你是没有意义的。然而，仅用球面本身从本质上重新表述 $\Re_L$ 也不难。见图 6－8b．要求出 $a$ 点对 $L$ 的反射，先过 $a$ 点做一直线 $M$ 与 $L$ 垂直 ${ }^{(1)}$ 。如果沿着 $M$ 从 $a$ 爬到 $L$ 的距离为 $d$ ，再爬一个 $d$ 就到了 $\Re_L(a) . M$ 与 $L$ 实际上交于两个对径点，不论从 $a$ 爬到哪一个交点都会得到同一个反射象 $\Re_L(a)$ 。

现在转到保向运动．球面对过其中心的某个轴 $V$ 的旋转是保向运动的一个明显的例子．然而说这种旋转是仅有的保向运动就不那么明显了，我们马上就来证明它。为了避免在描述旋转时产生歧义，我们引入以下的标准规定。首先注意，确定一个旋转轴等价于在给出球面的同时就指定此轴所在的直线与球面的两个对径交点之一（设为 $p$ 或 $q, p$ 点画在图 6－9b 上，$q$ 点没有标出）．现在取其一（例如取 $p$ ），设此旋转对于从 $p$ 发出的小直线段的效果是使之有一个正的旋转角 $\theta$ ——回忆一下，这句话的意思就是，从球的外域看来，它逆时针旋转了正角 $\theta$ 。这时可以无歧义地描述这个旋转是＂绕 $p$ 旋转了正角 $\theta$＂，见图 6－9b，我们记此旋转为 $R _p^\theta$ ．请自行验证 $R _p^\theta= R _q^{-\theta}$ 。

我们在第 1 章看到，平面上每一个保向运动都是两个对于直线的反射的复合：若两条反射直线相交就得出旋转，平行就得出平移。我们会看到，在球面上也有类似情况发生，但是因为球面上任意两条直线（即大圆）都相交，所以两个反射的复合总是旋转——球面上没有平移的类似物。

图 6－9a 画出了空间的两个反射的复合 $\left(\Re_{\Pi_2} \circ \Re_{\Pi_1}\right)$ 。这里，平面 $\Pi_1$ 与 $\Pi_2$ 的交线即向量 $v$ ，而由 $\Pi_1$ 到 $\Pi_2$ 的角是 $(\theta / 2)$ 。把我们的注意力限制在任何一个与 $\left(\Re_{\Pi_2} \circ \Re_{\Pi_1}\right)$ 垂直的（有阴影的）平面上，则由 $\left(\Re_{\Pi_2} \circ \Re_{\Pi_1}\right)$ 在此阴影平面诱导出的变换是 $\left(\Re_{l_2} \circ \Re_{l_1}\right)$ ，其中 $l_1$ 和 $l_2$ 分别是 $\Pi_1$ 和 $\Pi_2$ 与此阴影平面的交线。因为 $\left(\Re_{l_2} \circ \Re_{l_1}\right)$就是阴影平面上绕 $l_1$ 和 $l_2$ 之交点旋转一个角 $\theta$ ，现在就明白了，$\left(\Re_{\Pi_2} \circ \Re_{\Pi_1}\right)$ 就是空间中绕 $v$ 旋转一个角 $\theta$ ．

![图片](/uploads/2025-06/f646c3.jpg)
 
 图 6－9b 是把这个思想翻译成了球面的语言．如果 $\Pi_1$ 和 $\Pi_2$ 均过球心，而且与球面相交的直线（即大圆）为 $L_1$ 和 $L_2$ ，则

$$
\Re_{L_2} \circ \Re_{L_1}= R _p^\theta
$$

换言之，
球面绕其上一点 $p$ 旋转一个角 $\theta$ 的旋转 $R _p^\theta$ 可以表示为对任意两条过 $p$ 且成角 $(\theta / 2)$ 的球面直线的反射的复合  注意，恰好有一条直线 $P$ 被 $R _p^\theta$ 映为其自身．如果我们在 $P$ 上取一个方向使之与此旋转一致（见图 6－9b），则我们在球面上有向直线与点之间建立了一个一一对应．$P$ 称为 $p$ 的极线，而 $p$ 称为 $P$ 的极点．

在平面情况，我们曾用与（6．10）类似的结果来证明：两个绕不同点的旋转的复合，（一般地）等价于绕某第三个点的单个旋转，然而也有例外，两个旋转可能复合成为一个平移．至于球面，你可能会猜想到，是没有例外的：

球面上任意两个旋转的复合都等价于单个旋转．这样，球面上的
旋转之集合成为一个群。
图 6－10a 表明了怎样用平面情况的论证方法来证明这一点．为了求出 $\left( R _q^\phi \circ R _p^\theta\right)$ 的总效应，如图做直线 $L, M, N$ ．这样

$$
R _q^\phi \circ R _p^\theta=\left(\Re_N \circ \Re_M\right) \circ\left(\Re_M \circ \Re_L\right)=\Re_N \circ \Re_L= R _r^\psi
$$

这个将空间旋转复合起来的美丽的几何方法是罗德里格斯在 1840 年发现的。
注意，在平面情况下，旋转 $\theta$ 和旋转 $\phi$ 复合后净旋转量就是和 $(\theta+\phi)$ ，而球面情况下则有更复杂的法则．若图 6－10a 上的白色球面三角形的面积是 $A$ ，而 $k =$ $\left(1 / R^2\right)$ 是球面的高斯曲率，则角盈公式给出

$$
\psi=\theta+\phi-2 k A
$$

![图片](/uploads/2025-06/0c6916.jpg)
 
 我们现在就可以完成球面上运动的分类了．前面已经说过，恰好有一个球面运动把一个已给的球面三角形 $a b c$ 变为一个与之全等的给定的象三角形。图 6－10b 可以帮助我们把这个结果精确化。利用平面情况上用过的同样逻辑推理，可知［练习］

恰有一个保向运动 $M$（和恰有一个反向运动 $\widetilde{ M }$ ）把一个直线段 $a b$ 映为另一个同样长度的直线段 $a^{\prime} b^{\prime}$ ．进一步还有 $\widetilde{ M }=\left(\Re_L \circ M \right)$ ，这里 $L$ 是过 $a^{\prime}$ 和 $b^{\prime}$ 的直线．

图 6－10b 还告诉我们怎样构造 $M$ 。过 $a$ 和 $a^{\prime}$ 做一直线 $P$ ，令其极点为 $p$ 。很清楚，只要取适当的 $\theta, R _p^\theta$ 就会把直线段 $a b$ 沿 $P$ 映为一段由 $a^{\prime}$ 发出的与 $a b$ 等长的直线段．再绕 $a^{\prime}$ 做一个适当旋转 $R _{a^{\prime}}^\phi$ ，即可最终得到 $a^{\prime} b^{\prime}$ ．这样 $M =\left( R _{a^{\prime}}^\phi \circ R _p^\theta\right)$ ，而由（6．11），它等价于单个旋转．把这一点与（6．12）结合起来，又有

球面上每个保向运动都是一个旋转，而每个反向运动都是一个旋转和一个反射的复合．

作为对这个结果（以及你对此结果的掌握程度）的简单测验，请考虑对径映射，即把球面上每个点映为其对径点的映射。显然这是一个运动，它是否与上述结果一致？

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