最后更新: 2025-06-30 08:34 查看: 76 次纠错评论(0) 课件开VIP

球面上的一个共形映射

##  球面上的一个共形映射
球面只是为所谓球面几何提供了一个特别简单的模型．明定 ${ }^{(1)}$ 在 1839 年发现，任何一个具有常 ${ }^{(2)}$ 正高斯曲率 $k =\left(1 / R^2\right)$ 的曲面都与半径为 $R$ 的球面有同样的内蕴几何。把一个乒乓球剖为两半，取其中一个半球面并轻轻地把它揉弯曲，就可以得到无穷多个内蕴几何与原来的球面完全相同的曲面．

图 6－11 表明，哪怕仅限于旋转曲面，球面也不是唯一的具有常正曲率的曲面．尽管它们看起来完全不像球面，生活在一个这样的曲面上的有智慧的蚂蚁，如果不准它爬到边缘上，是不会知道它其实并不是生活在球面上的．这个说法几乎是对的，但是说到头，这只蚂蚁还是可能发现这个曲面在有些点上并不光滑，或者它还可能从边缘上掉下去了，因此，它并不生活在球面上。1899年利伯曼证明了，如果一个常正曲率面没有这些缺陷，它就只能是一个球面．

![图片](/uploads/2025-06/a2f604.jpg)
 
 球面还有一个优点,就是可以看得很清楚,它的内蕴几何容许有运动群. 而在图6-11 所示的曲面上肯定看不清楚,一个图形是否可以在其上自由地移动和旋转而不会有拉伸. 然而,前面的讨论也说明,曲面在空间中的真正的形状只是让人分心, 所以最好是有一个比较抽象的模型来概括所有可能的具有同样内蕴几何的曲面的实质．
所谓＂实质＂，我们是指关于其上任意两点的距离的知识，因为这种知识，而且只需要这种知识，就决定了内蕴几何。事实上，只要有了两个相邻点的无穷小距离的法则就足够了——注意，这一点是微分几何的最基本的洞察。有了这个法则，我们可以把任意曲线的长度定义为把它分成无穷小线段后距离的无穷和（即积分）。结果是，我们可以确定这种几何中的＂直线＂，就是由一点到另一点的最短的路径．角度也可以类似地定义［练习］。

这就导出可以包括任意弯曲曲面 $S$（不一定要有常曲率）的实质的总策略：为了避免为曲面在空间的形状分心，我们在一张平坦的纸上画出 $S$ 的地图（地理学意义下的地图）．这就是要建立 $S$ 上之点 $\hat{z}$ 与平面（设想为复平面）上的点 $z$ 之间的一一对应。

现在考虑将 $S$ 上两个相邻的点 $\hat{z}$ 和 $\hat{q}$ 隔开的距离 $d \hat{s}$ ．在地图上，这两个点可用 $z$ 与 $q=z+ d z$ 来表示，有（欧氏）距离 $d s=| d z|$ 把它们隔开。一旦我们有了一个法则，并由地图上表观的间隔 $d s$ 算出其在 $S$ 上的真正的间隔 $d \hat{s}$ ，则我们（在原则上）就已经知道了关于 $S$ 的内蕴几何所需要知道的一切。

用 $d s$ 表出 $d \hat{s}$ 的法则称为＂度量＂．一般说来， $d \hat{s}$ 既依赖于 $d z$ 的方向，又依赖于 $d z$ 的长度 $d s$ ，故若记 $d z= e ^{ i \phi} d s$ ，则有

$$
d \hat{s}=\Lambda(z, \phi) d s
$$

按此公式，$\Lambda(z, \phi)$ 就是：我们需要把地图上一一位于 $z$ ，方向为 $\phi$ ——的表观为 $d s$ 的间隔放大这么多倍数才能得到曲面 $S$ 上真正的间隔 $d \hat{s}$ 。

我们现在要对球面来实行这个策略。由（6．9）可知，要想画出球面的地图，使它能忠实地表示其内蕴几何的每个方面，这是不可能的［练习］．选择什么样的地图要看我们希望忠实地表示的是哪些特点。举例来说，如果我们要求球面上的直线（大圆）在地图上也表示为直线，就可以使用中心投影，把球面上的点从球心投影到某一个切平面上，这就是球面的所谓投影地图或称投影模型．正如图 6－12 所示．在这里，保持直线概念是要付出代价的，因为角度不能忠实地表示：球面上两条曲线的交角（一般地）不是它们在平面上的象的交角．

![图片](/uploads/2025-06/4cc29b.jpg)
 
 对于绝大多数目的，宁可牺牲直线而求保持角度，从而得到曲面的共形映射，这样做好得多．用（6．14）来表述，一个映射为共形当且仅当伸缩因子 $\Lambda$ 不依赖于由 $z$发出的无穷小向量 $d z$ 的方向：

$$
d \hat{s}=\Lambda(z) d s .
$$

［回忆一下，我们在第4章中已经证明了这一点．］这种映射的一大优点在于曲面上一个无穷小图形是由地图上一个相似的图形来表示的，二者仅仅大小有异：在 $S$ 上的图形恰好大 $\Lambda$ 倍。

在球面情况下，我们已经知道了一种构造共形映射的简单方法，即通过球极射影。为简单计，以后我们总取具有单位半径的球面，使它可以与第 3 章的黎曼球面 $\Sigma$ 等同起来．与图 6－12 不同，这个共形的地图上的＂直线＂，并非我们熟知的平面上的＂直＂线。事实上不难看到，$\Sigma$ 上的大圆都被映为 $C$ 上与单位圆周交于一对对径点的圆周［练习］．
（6．15）可以改述如下：如果 $S$ 上的无穷小圆周是由地图上的无穷小圆周（而非椭圆）来表示的，则一个映射为共形的。球极射影当然满足这个要求，因为它能保持各种大小的圆周。图6－13a 用半径为 $d \hat{s}$ 的 $\Sigma$ 上的空心小圆周被映为 $C$ 上的半径为 $d s$ 的空心小圆周来说明这一点．要想完成这个球极射影，就必须找到与之相关联的度量函数 $\Lambda$ ，即图 6－13a 中两个半径之比．
 ![图片](/uploads/2025-06/bb07e3.jpg)
 
 考图图 6－13a 的铅直截面，它画在图 6－13b 上，记住我们在 3．4．2 节中已经证明了，球极射影是反演的一个特例，

若 $K$ 是以 $N$ 为中心、 $\sqrt{2}$ 为半径的球面，球极射影就是对 $K$ 的反演在 $C$ 或 $\Sigma$ 上的限制。

然后考虑 3．2．1 节中的（3．6），它描述了反演对于两点的间隔的效果．让这两个点趋近而取极限，我们可以将此结果用于图 6－13b 而得到［练习］

$$
d \hat{s}=\frac{2}{[N z]^2} d s
$$

也可以不用（3．6）而选 $d \hat{s}$ 平行于 $C$ 而更直接地得出．最后，将勾股定理用于三角形 $N z 0$ 即可得到

$$
d \hat{s}=\frac{2}{1+|z|^2} d s
$$

这个具有度量（6．16）的平坦的共形映射就是我们想要求的、所有可能的具有常高斯曲率 $k =+1$ 的曲面的抽象描述．

## 空间旋转也是默比乌斯变换
我们相当一般地设 $S$ 是一个有常高斯曲率的曲面（从而其上有一个运动群），并做了 $S$ 的一个具有度量（6．15）的共形映射，$S$ 上的任一运动将由此共形映射在 $C$ 上诱导出一个相应的变换。因为弯曲的曲面上的保向运动都是共形的，所以映射的共形性将使得此运动在 $C$ 上诱导出来的变换（即复函数）也是共形的，从而是解析的。纯粹用 $C$ 上的语言来表述，我们可以把一个复函数 $f(z)$ 与一个运动等同起来，只要它是解析的而且保持度量（6．15）。这就是说，设解析函数 $z \mapsto \widetilde{z}=f(z)$ 把间隔为无穷小的两点 $z$ 和 $(z+ d z)$ 映射到 $\widetilde{z}$ 和 $(\widetilde{z}+ d \widetilde{z})$ 。则 $f(z)$ 是一个运动当且仅当象的间隔 $d \widetilde{s}=| d \widetilde{z}|$ 与原来的间隔 $d s=| d z|$ 之间有以下关系式存在：

$$
\Lambda(\widetilde{z}) d \widetilde{s}=\Lambda(z) d s
$$

［与此类似，反向运动相应于 $C$ 上满足上式的反共形映射．］因为 $d \widetilde{z}=f^{\prime}(z) d z$ ，上式等价于 $f(z)$ 满足微分方程

$$
f^{\prime}(z)=\frac{\Lambda(z)}{\Lambda[f(z)]}
$$

回到 $S=\Sigma$ 且共形映射为球极射影的特例，所有可能的具有常高斯曲率 $k =$ +1 的曲面上之保向运动的集合应为微分方程

$$
f^{\prime}(z)=\frac{1+|f(z)|^2}{1+|z|^2}
$$
之解的集合．原则上说，我们本来在 $C$ 中就可以找出这些函数而用不着离开 $C$ 到 $\Sigma$ 上去找出其运动．然而回到 $\Sigma$ 上由（6．10）与（6．13）描述的运动更为简单而且有启发。当我们对这些运动施以球极射影时，在 $C$ 上将诱导出什么样的函数呢？

很清楚，第一步是要找出 $\Sigma$ 上由对直线 $\hat{L}$ 的反射 $\Re_{\hat{L}}$ 所诱导的函数。考虑图 $6-14 a$ ，它表示了构造 $\Sigma$ 上 $\hat{z}$ 点的反射象 $\Re_{\hat{L}}(\hat{z})$ 的一种新的内在方法，也就是，$\Re_{\hat{L}}(\hat{z})$是两个圆心都在 $\hat{L}$ 上而且都通过 $\hat{z}$ 点的圆周的第二个交点。注意这两个圆周都正交于 $\hat{L}$ 。图6－14b画出了在球极射影之下，这种构造法在 $C$ 上是怎样的。因为球极射影保持圆周和角度，所以那两个正交于 $\hat{L}$ 而且通过 $\hat{z}$ 的圆周被映为 $C$ 上两个正交于 $L$ 且通过 $z$ 的圆周．它们的第二个交点就是 $z$ 对 $L$ 的反演点 $I _L(z)$ ！总之

$\Sigma$ 上对于直线的反射诱导出 $C$ 上对此直线的球极射影象的反射 （反演）。
［（6．18）还有另一个可能更为自然的证明，见习题 2．］作为一个重要的特例，注意，若 $\hat{L}$是 $\Sigma$ 与通过实轴的铅直平面的截口，则 $\Sigma$ 中对于 $\hat{L}$ 的反射将诱导出复共轭 $z \mapsto \bar{z}$ ．

![图片](/uploads/2025-06/2bdb07.jpg)
 
 
现在来求对应于 $\Sigma$ 上的旋转的复函数．图 6－15 画出了 $\Sigma$ 绕一点 $\hat{a}$ 旋转一个角 $\psi$ 的旋转 $R _{\hat{a}}^\psi$ ．令 $\hat{b}$ 为 $\hat{a}$ 的对径点，于是 $b=-(1 / \bar{a})$［见 3．4．5节（3．22）．这里 $a$与 $b$ 是 $\hat{a}$ 与 $\hat{b}$ 在球极射影下的象］．$\hat{a}$ 与 $\hat{b}$ 都在旋转轴上，所以在这个旋转下不变：相应于此，$a$ 与 $b$ 是此旋转在 $C$ 上诱导出来的变换的不动点。此外，从几何上看得很清楚，诱导出来的变换在 $a$ 的一个无穷小邻域中的效果是绕 $a$ 旋转［练习］，而由我们的规定，旋转角为负 $\psi$ ．

![图片](/uploads/2025-06/842509.jpg)
 
 由（6．10），我们有

$$
R _{\hat{a}}^\psi=\Re_{\hat{L}_2} \circ \Re_{\hat{L}_1}
$$

其中 $\hat{L}_1$ 和 $\hat{L}_2$ 是两条任意的通过 $\hat{a}$（因此也通过 $\hat{b}$ ）且交角为 $(\psi / 2)$ 的直线。因为球极射影保持圆周与角度，$\hat{L}_1$ 和 $\hat{L}_2$ 在 $C$ 中的象就是通过 $a$ 与 $b$ 而且成角 $(\psi / 2)$

的圆周 $L_1$ 和 $L_2$ ．由（6．18）可知，由 $R _{\hat{a}}^\psi$ 在 $C$ 上诱导出的变换 $R_a^\psi$ 是

$$
R_a^\psi= I _{L_2} \circ I _{L_1}
$$

这样 $R_a^\psi$ 就是一个默比乌斯变换！请参看图 6－16，其上画出了一个 $\psi=(\pi / 3)$ 的旋转，再参看 3．8．2 节（3．46），回忆起＂乘子＂在紧接着一个不动点的邻域中刻画了默比乌斯变换的局部效果，我们就发现了
$\Sigma$ 上的旋转 $R_{\hat{a}}^\psi$ 经球极射影诱导出 $C$ 上的椭圆默比乌斯变换 $R_a^\psi$ ，其不动点是 $a$ 与 $-(1 / \bar{a})$ ，而相应于 $a$ 的乘子 $m$ 是 $m = e ^{- i \psi}$ ．

![图片](/uploads/2025-06/29a960.jpg)
 
  直接的矩阵计算［见习题 4］，就给出 $R_a^\psi$ 的矩阵的显式表达式

$$
\left[R_a^\psi\right]=\left[\begin{array}{cc}
e^{i(\psi / 2)}|a|^2+e^{-i(\psi / 2)} & 2 i a \sin (\psi / 2) \\
2 i \bar{a} \sin (\psi / 2) & e^{-i(\psi / 2)}|a|^2+e^{i(\psi / 2)}
\end{array}\right]
$$

注意，这与 3．6．4 节（3．38）是一致的：$\Sigma$ 上的旋转诱导出以下形状的默比乌斯变换

$$
R_a^\psi(z)=\frac{A z+B}{-\bar{B} z+\bar{A}}
$$

由（6．13），这个公式表示 $\Sigma$ 上最一般的保向运动。我们已经注意到 $z \mapsto \bar{z}$ 相应于 $\Sigma$的一个反射，所以最一般的反向运动将由以下形状的函数来表示［练习］：

$$
z \mapsto\left(\frac{A \bar{z}+B}{-\bar{B} \bar{z}+\bar{A}}\right)
$$

图 6－10b 上给出了一个很漂亮的做空间旋转的复合的几何方法．上面的分析则给出了计算由 $\left( R _{\hat{p}}^\omega \circ R _{\hat{a}}^\psi\right)$ 生成的净旋转的同样漂亮的计算方法。所需要做的就是把相应的默比乌斯变换组合起来：

$$
\left[R_p^\omega \circ R_a^\psi\right]=\left[R_p^\omega\right]\left[R_a^\psi\right]
$$
一个本来看起来有很大技巧性的问题被化成了 $2 \times 2$ 矩阵的乘法！
在实际运算中，旋转 $R _{\hat{a}}^\psi$ 通常可以用指向旋转轴方向的单位向量 $v$ 来表示， $v$以 $\hat{a}$ 为其端点（见图 6－15 的箭头）．然而（6．9）现在是用点 $\hat{a}$ 的球极射影象 $a$ 来表示的．所以我们要将 $\left[R_a^\psi\right]$ 重新用单位向量 $v$ 的分量 $l, m, n$ 来表示，这里

$$
v =l i +m j +n k , \quad l^2+m^2+n^2=1
$$

回到 3．4．5 节（3．19），我们看到 $a$ 与 $v$ 的关系如下：

$$
a=\frac{l+i m}{1-n}, \quad|a|^2=\frac{1+n}{1-n}
$$

把它们代入（6．19），并提出公因子 $2 /(1-n)$ ，有［练习］：

$$
\left[R_{ v }^\psi\right]=\left[\begin{array}{lc}
\cos (\psi / 2)+i n \sin (\psi / 2) & (-m+i l) \sin (\psi / 2) \\
(m+i l) \sin (\psi / 2) & \cos (\psi / 2)-i n \sin (\psi / 2)
\end{array}\right]
$$

请自行验算，此矩阵是＂规范化＂的，即 $\operatorname{det}\left[R_{ v }^\psi\right]=1$ 。这样做就使事情容易多了，因为把两个这样的矩阵相乘，所得矩阵仍是完全一样的形状。把这个结果与（6．21）比较，就可以立即读出净旋转．

例如，设先绕着 $i$ 旋转 $(\pi / 2)$ ，再绕着 $j$ 旋转 $(\pi / 2)$ ，净旋转的默比乌斯矩阵应为

$$
\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{array}\right] \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{ll}
1 & i \\
i & 1
\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ll}
1-i & -1+i \\
1+i & 1+i
\end{array}\right]
$$

与（6．21）比较，即知这是绕轴 $v =\frac{1}{\sqrt{3}}( i + j - k )$ 旋转 $(2 \pi / 3)$ ．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：球面上的运动：空间旋转和反射

下一篇：空间旋转与四元数

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)