最后更新: 2025-06-30 08:34 查看: 36 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

球面上的一个共形映射

##  球面上的一个共形映射
球面只是为所谓球面几何提供了一个特别简单的模型．明定 ${ }^{(1)}$ 在 1839 年发现，任何一个具有常 ${ }^{(2)}$ 正高斯曲率 $k =\left(1 / R^2\right)$ 的曲面都与半径为 $R$ 的球面有同样的内蕴几何。把一个乒乓球剖为两半，取其中一个半球面并轻轻地把它揉弯曲，就可以得到无穷多个内蕴几何与原来的球面完全相同的曲面．

图 6－11 表明，哪怕仅限于旋转曲面，球面也不是唯一的具有常正曲率的曲面．尽管它们看起来完全不像球面，生活在一个这样的曲面上的有智慧的蚂蚁，如果不准它爬到边缘上，是不会知道它其实并不是生活在球面上的．这个说法几乎是对的，但是说到头，这只蚂蚁还是可能发现这个曲面在有些点上并不光滑，或者它还可能从边缘上掉下去了，因此，它并不生活在球面上。1899年利伯曼证明了，如果一个常正曲率面没有这些缺陷，它就只能是一个球面．

![图片](/uploads/2025-06/a2f604.jpg)
 
 球面还有一个优点,就是可以看得很清楚,它的内蕴几何容许有运动群. 而在图6-11 所示的曲面上肯定看不清楚,一个图形是否可以在其上自由地移动和旋转而不会有拉伸. 然而,前面的讨论也说明,曲面在空间中的真正的形状只是让人分心, 所以最好是有一个比较抽象的模型来概括所有可能的具有同样内蕴几何的曲面的实质．
所谓＂实质＂，我们是指关于其上任意两点的距离的知识，因为这种知识，而且只需要这种知识，就决定了内蕴几何。事实上，只要有了两个相邻点的无穷小距离的法则就足够了——注意，这一点是微分几何的最基本的洞察。有了这个法则，我们可以把任意曲线的长度定义为把它分成无穷小线段后距离的无穷和（即积分）。结果是，我们可以确定这种几何中的＂直线＂，就是由一点到另一点的最短的路径．角度也可以类似地定义［练习］。

这就导出可以包括任意弯曲曲面 $S$（不一定要有常曲率）的实质的总策略：为了避免为曲面在空间的形状分心，我们在一张平坦的纸上画出 $S$ 的地图（地理学意义下的地图）．这就是要建立 $S$ 上之点 $\hat{z}$ 与平面（设想为复平面）上的点 $z$ 之间的一一对应。

现在考虑将 $S$ 上两个相邻的点 $\hat{z}$ 和 $\hat{q}$ 隔开的距离 $d \hat{s}$ ．在地图上，这两个点可用 $z$ 与 $q=z+ d z$ 来表示，有（欧氏）距离 $d s=| d z|$ 把它们隔开。一旦我们有了一个法则，并由地图上表观的间隔 $d s$ 算出其在 $S$ 上的真正的间隔 $d \hat{s}$ ，则我们（在原则上）就已经知道了关于 $S$ 的内蕴几何所需要知道的一切。

用 $d s$ 表出 $d \hat{s}$ 的法则称为＂度量＂．一般说来， $d \hat{s}$ 既依赖于 $d z$ 的方向，又依赖于 $d z$ 的长度 $d s$ ，故若记 $d z= e ^{ i \phi} d s$ ，则有

$$
d \hat{s}=\Lambda(z, \phi) d s
$$

按此公式，$\Lambda(z, \phi)$ 就是：我们需要把地图上一一位于 $z$ ，方向为 $\phi$ ——的表观为 $d s$ 的间隔放大这么多倍数才能得到曲面 $S$ 上真正的间隔 $d \hat{s}$ 。

我们现在要对球面来实行这个策略。由（6．9）可知，要想画出球面的地图，使它能忠实地表示其内蕴几何的每个方面，这是不可能的［练习］．选择什么样的地图要看我们希望忠实地表示的是哪些特点。举例来说，如果我们要求球面上的直线（大圆）在地图上也表示为直线，就可以使用中心投影，把球面上的点从球心投影到某一个切平面上，这就是球面的所谓投影地图或称投影模型．正如图 6－12 所示．在这里，保持直线概念是要付出代价的，因为角度不能忠实地表示：球面上两条曲线的交角（一般地）不是它们在平面上的象的交角．

![图片](/uploads/2025-06/4cc29b.jpg)
 
 对于绝大多数目的，宁可牺牲直线而求保持角度，从而得到曲面的共形映射，这样做好得多．用（6．14）来表述，一个映射为共形当且仅当伸缩因子 $\Lambda$ 不依赖于由 $z$发出的无穷小向量 $d z$ 的方向：

$$
d \hat{s}=\Lambda(z) d s .
$$

［回忆一下，我们在第4章中已经证明了这一点．］这种映射的一大优点在于曲面上一个无穷小图形是由地图上一个相似的图形来表示的，二者仅仅大小有异：在 $S$ 上的图形恰好大 $\Lambda$ 倍。

在球面情况下，我们已经知道了一种构造共形映射的简单方法，即通过球极射影。为简单计，以后我们总取具有单位半径的球面，使它可以与第 3 章的黎曼球面 $\Sigma$ 等同起来．与图 6－12 不同，这个共形的地图上的＂直线＂，并非我们熟知的平面上的＂直＂线。事实上不难看到，$\Sigma$ 上的大圆都被映为 $C$ 上与单位圆周交于一对对径点的圆周［练习］．
（6．15）可以改述如下：如果 $S$ 上的无穷小圆周是由地图上的无穷小圆周（而非椭圆）来表示的，则一个映射为共形的。球极射影当然满足这个要求，因为它能保持各种

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：球面上的运动：空间旋转和反射

下一篇：空间旋转与四元数

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)