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空间旋转与四元数

## 空间旋转与四元数
所有这一切都是非常漂亮的，但是事实上，将空间的旋转复合起来的方法还可以进一步简化．要问怎样做，我们就要把哈密顿关于四元数的故事再讲下去，我们在第1章末尾处已经开了一个头。

1843 年 10 月 16 日星期一，这天上午哈密顿和他的夫人出去散步。在他的思绪深处一直有一个苦思十年未得其解的问题——寻找复数的三维类似物，使得对空间的向量也能做乘除法．我们在第 1 章中已经指出，哈密顿是不可能解决这个问题的，原因很简单：这样的类似物是不存在的．但是这一天当他正走过布鲁厄姆桥 （Brougham Bridge）时，他突然认识到，那个在三维空间中一直躲着他的大奖在四维空间中真的可以拿到！

在二维复平面上，我们可以把 1 和 i 想成其＂基底＂向量，而任意的一般复数可以写成 $z=a 1+b i$ 。 $C$ 中的代数相当于：约定乘法对加法是分配的； 1 是恒等元 （即 $1 z=z 1=z$ ）；还有 $i ^2=-1$ 。

哈密顿在四维空间中引入四个向量 $1 , I , J , K$ ，而一个一般向量 $V$（哈密顿称之为四元数）可以用它们来表示为

$$
V =v 1 +v_1 I +v_2 J +v_3 K ,
$$

系数全是实数。为了定义两个四元数之乘积，哈密顿取 $1$ 为恒等元， $I , J , K$ 则为 -1 的 3 个不同的平方根，类似于 i ：

$$
I ^2= J ^2= K ^2=-1 .
$$

与在普通的代数中一样，哈密顿坚持乘法对于加法有分配律，但为了使除法也是可能的，他不得不向前大大跃进一步，而在他那个时代这是革命性的一步，即规定乘法是非交换的．更准确些说，哈密顿规定了几个公设：

$$
I J = K =- J I , \quad J K = I =- K J , \quad K I = J =- I K .
$$

这些关系大体看来是熟悉的：它们在形式上与基底向量 $i , j , k$ 的向量积是一样的．例如，$i \times j=k=-j \times i$ ．我们可以用 $i, j, k$ 与 $I, J, K$ 的类比来把两个四元数之积以特别简单的方式表示出来．

首先，我们用这个类比来简化记号（6．23）．与在普通的代数中一样，我们略去了第一项中的 $1$ 而记 $v 1 =v$ ，哈密顿称这一项为 $V$ 的数量部分。其次，我们把其余三项合写为 $V \equiv v_1 I +v_2 J +v_3 K$ ，哈密顿称这一部分为 $V$ 的向量部分．于是 （6．23）就成为

$$
V =v+ V
$$

在数量部分 $v=0$ 的特殊情况下，哈密顿称 $V = V$ 为一纯四元数．从历史上看，纯四元数概念是普通空间向量概念的前身．事实上，＂vector＂（向量）一词是哈密顿在 1846 年造出来的，作为＂纯四元数＂的同义语。

如果用另一个四元数 $W =w+ W$ 去乘 $V$ ，则由（6．24）与（6．25）可得［练习］

$$
V W =(v w- V \cdot W )+(v W +w V + V \times W ),
$$

特别是，若 $V$ 与 $W$ 均为纯四元数（即 $v=0=w$ ），则它化为

$$
V W =- V \cdot W + V \times W
$$

从历史上说，点积（数量积）与叉积（向量积）在数学中第一次出现就是在此式中。这样，这两种向量运算一开始仅被看成四元数乘法的两个小侧面（数量部分和向量部分）．但是物理学家们不久以后就认识到，数量积和向量积本身就很重要，而与它们的起源——四元数没有关系。

在习题中还会导出四元数进一步的性质，我们在这里只想解释四元数与空间旋转的联系。这种联系其实系于二元旋转（即在空间中旋转角度 $\pi$ ）的概念。＂二元＂一词用得很恰当，因为它＂逢二归元＂：作用两次就相当于恒等元。

按（6．21），对应于绕轴 $v =l i +m j +n k$ 的二元旋转的默比乌斯变换是

$$
\left[R_{ v }^\pi\right]=\left[\begin{array}{cc}
i n & -m+i l \\
m+i l & -i n
\end{array}\right]
$$

我们暂时把四元数放在一边，重新定义 $1$ 为单位矩阵， $I , J , K$ 为绕 $i , j , k$ 的二元旋转的矩阵，

$$
1 =\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right], \quad I =\left[\begin{array}{ll}
0 & i \\
i & 0
\end{array}\right], \quad J =\left[\begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array}\right], \quad K =\left[\begin{array}{cc}
i & 0 \\
0 & -i
\end{array}\right] .
$$

请自己检验一下，对应于 $K$ 的默比乌斯变换是 $K(z)=-z$ ．请确信应该是这样．
现在我们就可以来宣布这些矩阵与四元数之间的惊人联系了：这些二元旋转的矩阵在矩阵乘法之下服从与哈密顿的 $I , J , K$ 完全同样的法则（6．24）和（6．25）．由此可知，四元数的乘法，与把 $1 , I , J , K$ 用上述矩阵取代以后所得的 $2 \times 2$ 矩阵的乘法，互相是等价的．反过来说，（6．21）所示的一般旋转矩阵 $\left[R_{ v }^\psi\right]$ 可以表示为以下的四元数［练习］：

$$
R _{ v }^\psi=\cos (\psi / 2)+ V \sin (\psi / 2)
$$

这里 $V =l I +m J +n K$ ．这个漂亮的公式比（6．21）容易记得多！
要把两个空间旋转复合起来，只需把相应的四元数乘起来即可．举例来说，（6．22）的计算——即先绕 $i$ 旋转 $(\pi / 2)$ ，再绕 $j$ 旋转 $(\pi / 2)$ ——现在就成了

$$
\frac{1}{\sqrt{2}}(1+ J ) \frac{1}{\sqrt{2}}(1+ I )=\frac{1}{2}(1+ I + J - K ) .
$$

我们又一次导出了这就是绕轴 $v =\frac{1}{\sqrt{3}}( i + j - k )$ 旋转（ $2 \pi / 3$ ），这比以前更容易．
四元数也对 $R_v^\psi$ 在空间的位置向量 $P =X i +Y j +Z k$ 上的效果给出了很紧凑的公式．设 $R_{ v }^\psi$ 把 $P$ 旋转到 $\widetilde{ P }$ ．如果用纯四元数 $P =X I +Y J +Z K$ 和 $\widetilde{ P }$ 分别表示 $P$ 和 $\widetilde{ P }$ ，则

$$
\widetilde{ P }= R _{ v }^\psi P R _{ v }^{-\psi} .
$$

这个结果首先是由凯莱 ${ }^{\text {（ }}$ 在1845年发表的，他后来承认哈密顿得到此结果在前。这个结果不仅漂亮，而且有实际应用．例如，在 S．G．Hoggar［1992］中就讨论了怎样利用（6．29）于计算机制作动画时把一个旋转物体的运动弄光滑，而 B．K．P．Horn ［1991］中也将其用于与机器人视觉有关的研究中！

下面我们想对（6．29）给出一个能够想象到的最直观的解释，习题 7 和习题 8中还有另外两个．首先注意 $P$ 的任意倍数都被旋转到 $\widetilde{ P }$ 的相同倍数．所以为了一般地证明（6．29），只需在 $P$ 与 $\widetilde{ P }$ 均为单位向量的情况下证明它即可．于是可以设它们的端点 $\hat{p}$ 与 $\hat{\tilde{p}}$ 都在单位球面上．和前面一样，设 $\hat{a}$ 是向量 $v$ 的端点．

考虑下面 3 个旋转的复合：$\left( R _{\hat{a}}^\psi \circ R _{\hat{p}}^\theta \circ R _{\hat{a}}^{-\psi}\right)$ 。它肯定相当于单个旋转，而图 6－17 可以帮助我们看出它是一个什么样的旋转。令 $C$ 为 $R _{\hat{a}}^\psi$ 的经过 $\hat{p}$ 与 $\hat{\tilde{p}}$ 的不变圆周，而 $w$ 是由 $\hat{\tilde{p}}$ 发出的切于 $C$ 的无穷小向量，注意 $C$ 上一点发出的任意向量都被 $R _{\hat{a}}^{ \pm \psi}$ 映为一个与 $C$ 成同样的角的向量。这就证实了图上画出的 3 个旋转的效果 $w \mapsto w^{\prime} \mapsto w^{\prime \prime} \mapsto w^{\prime \prime \prime}$ 。净效果 $w \mapsto w^{\prime \prime \prime}$ 正是绕 $\hat{\tilde{p}}$ 旋转 $\theta$ ：

$$
R _{\hat{\tilde{p}}}^\theta= R _{\hat{a}}^\psi \circ R _{\hat{p}}^\theta \circ R _{\hat{a}}^{-\psi}
$$

这个几何事实可以用默比乌斯变换矩阵来表示，或者等价地用四元数来表示为：

$$
R _{\tilde{ P }}^\theta= R _{ v }^\psi \circ R _{ P }^\theta \circ R _{ v }^{-\psi}
$$

最后，若令 $\theta=\pi$ ，则二元旋转 $R _{ P }^{ \pi }$ 与 $R _{ P }^{ \pi }$ 正是纯四元数 $P$ 与 $\widetilde{ P }$ ，证毕．

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