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空间旋转与四元数

## 空间旋转与四元数
所有这一切都是非常漂亮的，但是事实上，将空间的旋转复合起来的方法还可以进一步简化．要问怎样做，我们就要把哈密顿关于四元数的故事再讲下去，我们在第1章末尾处已经开了一个头。

1843 年 10 月 16 日星期一，这天上午哈密顿和他的夫人出去散步。在他的思绪深处一直有一个苦思十年未得其解的问题——寻找复数的三维类似物，使得对空间的向量也能做乘除法．我们在第 1 章中已经指出，哈密顿是不可能解决这个问题的，原因很简单：这样的类似物是不存在的．但是这一天当他正走过布鲁厄姆桥 （Brougham Bridge）时，他突然认识到，那个在三维空间中一直躲着他的大奖在四维空间中真的可以拿到！

在二维复平面上，我们可以把 1 和 i 想成其＂基底＂向量，而任意的一般复数可以写成 $z=a 1+b i$ 。 $C$ 中的代数相当于：约定乘法对加法是分配的； 1 是恒等元 （即 $1 z=z 1=z$ ）；还有 $i ^2=-1$ 。

哈密顿在四维空间中引入四个向量 $1 , I , J , K$ ，而一个一般向量 $V$（哈密顿称之为四元数）可以用它们来表示为

$$
V =v 1 +v_1 I +v_2 J +v_3 K ,
$$

系数全是实数。为了定义两个四元数之乘积，哈密顿取 $1$ 为恒等元， $I , J , K$ 则为 -1 的 3 个不同的平方根，类似于 i ：

$$
I ^2= J ^2= K ^2=-1 .
$$

与在普通的代数中一样，哈密顿坚持乘法对于加法有分配律，但为了使除法也是可能的，他不得不向前大大跃进一步，而在他那个时代这是革命性的一步，即规定乘法是非交换的．更准确些说，哈密顿规定了几个公设：

$$
I J = K =- J I , \quad J K = I =- K J , \quad K I = J =- I K .
$$

这些关系大体看来是熟悉的：它们在形式上与基底向量 $i , j , k$ 的向量积是一样的．例如，$i \times j=k=-j \times i$ ．我们可以用 $i, j, k$ 与 $I, J, K$ 的类比来把两个四元数之积以特别简单的方式表示出来．

首先，我们用这个类比来简化记号（6．23）．与在普通的代数中一样，我们略去了第一项中的 $1$ 而记 $v 1 =v$ ，哈密顿称这一项为 $V$ 的数量部分。其次，我们把其余三项合写为 $V \equiv v_1 I +v_2 J +v_3 K$ ，哈密顿称这一部分为 $V$ 的向量部分．于是 （6．23）就成为

$$
V =v+ V
$$

在数量部分 $v=0$ 的特殊情况下，哈密顿称 $V = V$ 为一纯四元数．从历史上看，纯四元数概念是普通空间向量概念的前身．事实上，＂vector＂（向量）一词是哈密顿在 1846 年造出来的，作为＂纯四元数＂的同义语。

如果用另一个四元数 $W =w+ W$ 去乘 $V$ ，则由（6．24）与（6．25）可得［练习］

$$
V W =(v w-

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