最后更新: 2025-06-30 08:39 查看: 103 次纠错评论(0) 课件开VIP

双曲几何

## 双曲几何
 ## 曳物线和伪球面
在研究了具有常值正高斯曲率的曲面的内蕴几何以后,我们现在转向具有常值负高斯曲率的曲面的内蕴几何.正如有无穷多个曲面具有常值k>0一样,也有无

穷多个具有常值 $k <0$ 的曲面．贝尔特拉米称后一种曲面为伪球面型曲面．根据前面讲过的明定的结果，所有具有相同的常值负高斯曲率的伪球面型曲面都有相同的内蕴几何。因此为了理解双曲几何，只要考察任意一个伪球面型曲面就行了。为此，伪球面是最简单的，所以我们来解释伪球面是怎样构造出来的．

试一试下面的实验。取一个小小的重物，例如镇纸，在其上系一根细绳。把镇纸平放在桌面上而让细绳的自由端沿桌面的边缘运动。你会看到，镇纸将沿一条像图 6－18a 中的曲线运动，图中的 $Y$ 轴代表桌子的边缘。这条曲线称为曳物线，$Y$ 轴 （它是曳物线的渐近线）称为其轴．曳物线最早是牛顿在 1676 年研究过的．

如果这条细绳之长为 $R$ ，由此可知曳物线有以下几何性质：它的切线上由切点到 $Y$ 轴的那一段有定长 $R$ ．这就是牛顿给曳物线下的定义．还有一个有趣的旁白：由此定义，曳物线也可以如图 6－18b 那样构造出来，即它是圆心在轴上的一族半径为 $R$ 的圆周族的正交轨线［练习］，这是画曳物线的快速而且相当精确的好方法．

回到图 6－18a，令 $\sigma$ 为沿曳物线的弧长，而起点 $\sigma=0$ 是在 $X=R$ 处，即我们想拖曳的物体的初始位置。当这个物体正在通过 $(X, Y)$ 点时，令 $d X$ 表示物体沿曳物线运动一个无穷小距离 $d \sigma$ 时 $X$ 的无穷小变化．由图 6－18a 上画出的两个有阴影的三角形的相似性，我们有

$$
\frac{d X}{d \sigma}=-\frac{X}{R} \quad \Rightarrow \quad X=R e^{-\sigma / R}
$$

![图片](/uploads/2025-06/770c5d.jpg)
 
 半径为R的伪球面可以定义为曳物线绕其轴旋转而成的旋转曲面,同时也就
可以这样把它做出来. 值得一提的是,这个曲面早在1693年就由惠更斯研究过了,
那是在曳物线推动人们接受双曲几何中起了催化作用之前的两个世纪.

##  伪球面的常值负曲率 
本小节也是选读的，我们将在这里对于伪球面确有常值高斯曲率给出一个纯几何的证明．确切地说，我们将利用高斯曲率 k 作为主曲率之积这个外在的定义，来证明半径为 $R$ 的伪球面有常值曲率 $k =-\left(1 / R^2\right)$ ．以后我们还要给出这个事实的纯内在证明，所以，如果跳过下面的论证，也不会有太大的损失．

令 $r$ 与 $\widetilde{r}$ 是半径为 $R$ 的伪球面的两个主曲率半径．与对任意旋转曲面一样，由对称性可知［练习］：

$$
\begin{aligned}
& \widetilde{r}=\text { 作为母线的曳物线之曲率半径, } \\
& r=\text { 由曲面到轴的法线线段之长. }
\end{aligned}
$$

由图 6－19a 可以看出这两件事．于是决定高斯曲率

$$
k=-\frac{1}{r \widetilde{r}}
$$

的问题就化成了平面几何问题，其解可由图 6－19b 看出．
由定义，图 6－19b 中曳物线的切线段（由切点 $P$ 到切线与轴的交点 $A$ ）有定长 R．图 6－19b 在相邻两点 $P$ 与 $Q$ 处画出了两个这样的切线段 $P A$ 与 $Q B$ ，其间有角 $\bullet$ ，所以相应的法线 $P O$ 与 $Q O$ 之间也有同样的角 $\bullet$ ．注意，$A C$ 垂直于 $Q B$ ．

![图片](/uploads/2025-06/596bc3.jpg)
 现在来看，当 $Q$ 与 $P$ 融合（ $P$ 认为是不动的）时会发生什么．在极限情况下， $O$ 的极限位置是曲率圆的中心，$P Q$ 是曲率圆周上的弧，$A C$ 是以 $P$ 为中心、 $R$ 为半径的圆弧．所以

$$
\widetilde{r}=O P, \frac{P Q}{O P}=\bullet=\frac{A C}{R} \quad \Rightarrow \quad \frac{A C}{P Q}=\frac{R}{\widetilde{r}} .
$$

下一步我们要求助于定义曳物线的性质 $P A=R=Q B$ 来导出，在 $Q$ 与 $P$ 融合时 ［练习］

$$
B C=P Q
$$

最后，利用 $Q$ 与 $P$ 融合时，三角形 $A B C$ 最终与三角形 $T A P$ 相似，可知

$$
\frac{r}{R}=\frac{A C}{B C}=\frac{A C}{P Q}=\frac{R}{\widetilde{r}}
$$

看！

$$
k=-\frac{1}{r \widetilde{r}}=-\frac{1}{R^2}
$$

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