最后更新: 2025-06-30 08:41 查看: 81 次纠错评论(0) 课件开VIP

伪球面上的共形映射

##  伪球面上的共形映射
下一步是在伪球面上构造一个共形映射来做地图。回忆一下，在球面情况下，构造这样一个地图有两个好处：（1）它同时描述了所有曲率 $k =+1$ 的曲面；（2）它对运动给出了一个漂亮而又实用的描述，即表示为默比乌斯变换。在当前的负曲率曲面上，这两个好处仍可以得到保持；特别是，双曲几何中的（保向）运动又是默比乌斯变换！

为简单计，我们恒取伪球面的半径为 $R=1$ ，所以我们的地图应该表示曲率 $k =-1$ 的伪球面型曲面．图 6－20a 介绍了伪球面上一个相当自然的坐标系 $(x, \sigma)$作为构造共形映射的第一步．

![图片](/uploads/2025-06/61bae2.jpg)
 
 第一个坐标表示绕伪球面的轴的角度，假设它限于 $0 \leqslant x<2 \pi$ ．第二个坐标度量沿曳物线母线（见图 6－18a）的弧长．于是，曲线 $x=$ 常数就是曳物线母线 $[$ 注意，它们显然是测地线］，曲线 $\sigma=$ 常数则是伪球面的圆形截口［注意，这些曲线显然不是测地线］．因为这样一个圆周的半径就是图 6－18a 中的 $X$ 坐标，故由（6．30）有

过点 $(x, \sigma)$ 的圆周 $\sigma=$ 常数的半径 $X$ 由 $X= e ^{-\sigma}$ 给出．
我们的地图是把伪球面映到 $(x, y)$ 平面上（即图 6－20b），其中，取角 $x$ 为横坐标，所以伪球面的曳物母线由铅直直线来表示．伪球面上的点 $(x, \sigma)$ 在此地图上将由笛卡儿坐标为 $(x, y)$ 的点来表示，而我们马上就把这个点想象为复数 $z=x+ i y$ ．
如果不要求此映射有任何特别之处，我们可以简单地取 $y=y(x, \sigma)$ 为 $x$ 和 $\sigma$的任意函数．但是与此成尖锐对比的是，我们要求此映射为共形的，这就对 $y$ 坐标的选择（基本上）没有留下自由的余地。我们试着来弄懂这一点。

首先，曳物母线 $x=$ 常数正交于圆形截口 $\sigma=$ 常数，所以它们在共形映射下的象也应正交．从而 $\sigma=$ 常数之象必由水平直线 $y=$ 常数表示，由此得知 $y$ 仅仅是 $\sigma$ 的函数：$y=y(\sigma)$ ．

其次，在伪球面上考虑圆周 $\sigma=$ 常数（半径为 $X$ ）上连接 $(x, \sigma)$ 与 $(x+ d x, \sigma)$的圆弧．由 $x$ 的定义，这段圆弧在圆心张一个角 $d x$ ，所以它们在伪球面上的间隔是 $X d x$（见图 6－20a）。在映射后，这两点在地图上高度相同，而间隔为 $d x$ ，这样，在由伪球面映到其地图时，这个特定线段收缩了一个因子 $X$ 。［我们说是＂收缩＂，是因为用 $X$ 去除，但是因 $X \leqslant 1$ ，所以实际上是＂膨胀＂．］然而，既然此映射是共形的，由 $(x, \sigma)$ 发出的任意方向的无穷小线段都应该乘以相同因子 $(1 / X)= e ^\sigma$ 。换言之

$$
d \hat{s}=X d s .
$$

最后，考虑图 6－20a 中一串小圆盘最上面的那个黑的．设想它是半径为 $\varepsilon$ 的无穷小圆盘。它在地图上成为图6－20b中一串小圆盘最上面那个黑的，其半径为 $(\varepsilon / X)$ ，可以把这个半径更生动地解释为：站在伪球轴上观看原来的圆盘（即图 6－ 20a 的圆盘）的视角宽度．现在设想这个黑圆盘不断地沿伪球面的曳物线母线向边缘走，每一步都移动一个 $\varepsilon$ 。图 6－20a 上画出了这样得到的一串相切的同样大小的圆盘。但是当圆盘向下移动时，它就远离伪球面的轴，所以从轴上来看它的视角就会减小．所以在地图上，即象平面（图6－20b）上，这一串圆盘越往下移就越缩小．在伪球面或是其地图上，每走 8 步就遇到下一个黑圆盘，但在原来伪球面上两个黑圆盘距离都是 $8 \varepsilon$ ，而在地图上，相继的黑圆盘的距离就不再相同了．
现在我们对此映射的作用有了一些感觉，相应于伪球面上的点 $(x, \sigma)$ ，地图上的点是 $(x, y)$ ，让我们来实际计算 $y$ 是多少．由以上的考虑（或直接由画出的两个三角形为相似），可以得出

$$
\frac{d y}{d \sigma}=\frac{1}{X}=e^\sigma \Rightarrow y=e^\sigma+\text { 常数, }
$$

这个常数标准的选取法是取为 0 （即设伪球面边缘 $\sigma=0$ 之象为 $y=1$ ），故

$$
y=e^\sigma=(1 / X)
$$

这样，整个伪球面的地图就是图 6－20b 上位于 $y=1$（伪球边缘）以上的有阴影的区域，而与此映射相关的度量是

$$
d \hat{s}=\frac{d s}{y}=\frac{\sqrt{d x^2+d y^2}}{y} .
$$

为了以后的应用，还请注意在地图上以 $d x$ 和 $d y$ 为边的无穷小矩形（图 6－20b 上空白的三角形是其一半）代表伪球面上一个以 $\frac{ d x}{y}$ 和 $\frac{ d y}{y}$ 为边的相似无穷小矩形。所以，在地图上看起来，它的视面积 $d x d y$ 与伪球面上的真面积 $d A$ 之关系是

$$
d A =\frac{d x d y}{y^2}
$$

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