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微分几何/黎曼几何
第一篇 非欧几何入门
伪球面上的共形映射
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2025-06-30 08:41
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伪球面上的共形映射
## 伪球面上的共形映射 下一步是在伪球面上构造一个共形映射来做地图。回忆一下,在球面情况下,构造这样一个地图有两个好处:(1)它同时描述了所有曲率 $k =+1$ 的曲面;(2)它对运动给出了一个漂亮而又实用的描述,即表示为默比乌斯变换。在当前的负曲率曲面上,这两个好处仍可以得到保持;特别是,双曲几何中的(保向)运动又是默比乌斯变换! 为简单计,我们恒取伪球面的半径为 $R=1$ ,所以我们的地图应该表示曲率 $k =-1$ 的伪球面型曲面.图 6-20a 介绍了伪球面上一个相当自然的坐标系 $(x, \sigma)$作为构造共形映射的第一步.  第一个坐标表示绕伪球面的轴的角度,假设它限于 $0 \leqslant x<2 \pi$ .第二个坐标度量沿曳物线母线(见图 6-18a)的弧长.于是,曲线 $x=$ 常数就是曳物线母线 $[$ 注意,它们显然是测地线],曲线 $\sigma=$ 常数则是伪球面的圆形截口[注意,这些曲线显然不是测地线].因为这样一个圆周的半径就是图 6-18a 中的 $X$ 坐标,故由(6.30)有 过点 $(x, \sigma)$ 的圆周 $\sigma=$ 常数的半径 $X$ 由 $X= e ^{-\sigma}$ 给出. 我们的地图是把伪球面映到 $(x, y)$ 平面上(即图 6-20b),其中,取角 $x$ 为横坐标,所以伪球面的曳物母线由铅直直线来表示.伪球面上的点 $(x, \sigma)$ 在此地图上将由笛卡儿坐标为 $(x, y)$ 的点来表示,而我
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