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微分几何/黎曼几何
第一篇 非欧几何入门
贝尔特拉米的双曲平面
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2025-06-30 08:44
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贝尔特拉米的双曲平面
## 贝尔特拉米的双曲平面 我们在引言中可能造成了一个印象,即贝尔特拉米成功地把双曲几何解释为伪球面的内蕴几何.这其实是不可能的,而且贝尔特拉米也不是这样说的. 由高斯、鲍耶和罗巴切夫斯基所发现的抽象的双曲几何应理解为发生在双曲平面上,它就是欧几里得平面,只不过其中的直线应满足双曲线公理(6.3): 给定一直线 $L$ 以及 $L$ 外一点 $p$ ,至少有两条过 $p$ 的直线不与 $L$ 相交. 伪球面的常值负曲率保证了它能忠实地表示这个公理的一切只涉及双曲平面的有限区域的推论。这种推论的一个例子就是以下定理:三角形的角盈是其面积的负倍数,在伪球面上确实是这样的. 但是,伪球面不能作为整个双曲平面的模型,因为它在两个问题上令人无法接受地背离了欧几里得平面: -伪球面更接近于柱面而非平面.例如平面上的闭环恒可缩为一点,而伪球面上包围轴的闭环则不行. -在双曲平面上,和在欧几里得平面上一样,直线段在两个方向上均可无限延长.我们已经看到,伪球面的曳物母线明显是测地线,所以我们可能愿意把它们解释为双曲直线.但是这样一条曳物线虽然可以沿伪球面无限制地向上延伸,而在另一方向上,当它碰到边缘时就必须停下来. 贝尔特拉米指出,第一个问题可以如下解决。设想用一个可以拉伸的薄膜包住伪球面.要想得到图 6-20b 的映射象,把这个薄膜沿曳物线剪开,并且解开来放在有阴影的区域上.当然要把薄膜拉一拉才能弄平,而且成一矩形区域——度量(6.31)告诉我们,在各个部分应做多么大的拉伸。但是现在请你设想,这时塑料薄膜把伪球面缠着包了无穷多次 ${ }^{(1)}$ ,就好像一卷长为无限的保鲜膜一样。把这张无穷长的薄膜松开(一边放松一边拉伸)就可以把 $y=1$ 以上的区域盖满。按照这个解释,若一质点在地图上沿水平直线运动,就相应于一个质点(原象)在伪球面上绕圆周 $\si
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