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贝尔特拉米的双曲平面

## 贝尔特拉米的双曲平面
我们在引言中可能造成了一个印象，即贝尔特拉米成功地把双曲几何解释为伪球面的内蕴几何．这其实是不可能的，而且贝尔特拉米也不是这样说的．

由高斯、鲍耶和罗巴切夫斯基所发现的抽象的双曲几何应理解为发生在双曲平面上，它就是欧几里得平面，只不过其中的直线应满足双曲线公理（6．3）：

给定一直线 $L$ 以及 $L$ 外一点 $p$ ，至少有两条过 $p$ 的直线不与 $L$ 相交．
伪球面的常值负曲率保证了它能忠实地表示这个公理的一切只涉及双曲平面的有限区域的推论。这种推论的一个例子就是以下定理：三角形的角盈是其面积的负倍数，在伪球面上确实是这样的．

但是，伪球面不能作为整个双曲平面的模型，因为它在两个问题上令人无法接受地背离了欧几里得平面：
－伪球面更接近于柱面而非平面．例如平面上的闭环恒可缩为一点，而伪球面上包围轴的闭环则不行．
－在双曲平面上，和在欧几里得平面上一样，直线段在两个方向上均可无限延长．我们已经看到，伪球面的曳物母线明显是测地线，所以我们可能愿意把它们解释为双曲直线．但是这样一条曳物线虽然可以沿伪球面无限制地向上延伸，而在另一方向上，当它碰到边缘时就必须停下来．
贝尔特拉米指出，第一个问题可以如下解决。设想用一个可以拉伸的薄膜包住伪球面．要想得到图 6－20b 的映射象，把这个薄膜沿曳物线剪开，并且解开来放在有阴影的区域上．当然要把薄膜拉一拉才能弄平，而且成一矩形区域——度量（6．31）告诉我们，在各个部分应做多么大的拉伸。但是现在请你设想，这时塑料薄膜把伪球面缠着包了无穷多次 ${ }^{(1)}$ ，就好像一卷长为无限的保鲜膜一样。把这张无穷长的薄膜松开（一边放松一边拉伸）就可以把 $y=1$ 以上的区域盖满。按照这个解释，若一质点在地图上沿水平直线运动，就相应于一个质点（原象）在伪球面上绕圆周 $\sigma=$常数旋转，在地图上每走 $2 \pi$ ，就相应于在伪球面上转了一周．

我们现在再来解释怎样用这个共形映射解决第二个问题，即伪球面边缘问题．从外在几何的角度看，这个边缘是一个不可逾越的障碍：我们不能把伪球面光滑地延拓过这个边缘而仍然保持常曲率．然而我们关注的只是伪球面的内蕴几何，而我们已经看到，如果我们用 $d \hat{s}=\frac{ d s}{y}$ 来量度距离，则伪球面（不含边缘）与图 6－21 中的区域 
$y>1$ 是完全一样的．

![图片](/uploads/2025-06/ea31e3.jpg)

假想你是生活在图 6－21 上的小小的二维生物，沿着铅直直线 $x=$ 常数向下走和在伪球面上沿一条曳物线向下走是一回事。当然，在伪球面上走到边缘（ $\sigma=0$ ）上的某个 $\hat{p}$ 点处就要突然停步，$\hat{p}$ 在地图上相应于直线 $y=1$ 上的某点 $p$ ．但是在地图上，这个 $p$ 点与其他点没有什么不同，绝无任何障碍不让你走下去，一直到 $y=0$ 上的某点 $q$ 为止．
为什么到了 $q$ 就一定要停？答案是，你根本走不了那么远，$q$ 离 $p$ 有无穷远！假设你就是图 6－21 上那个位于直线 $y=2$ 上的小圆盘，我站在你的双曲世界之外，看着你以一个恒定不变的步伐向 $y=0$ 走去．当然，在你的双曲世界里，你的双曲身材是不变的，但是在我看来你却在越缩越小．在我们画出的欧几里得解释即图 6－21［练习］里，这一点就表现得特别生动，你的双曲身材正是角 $d \hat{s}=\frac{ d s}{y}$ ：

中心位于 $(x+ i y)$ 处的无穷小圆盘的双曲直径就是此圆盘在实
轴上 $x$ 处所张的角．
这样你的表观上的大小，即我所看到的你的大小，一定得缩，这才能始终张同样的角，虽然在你看来，你的双曲步伐每步都一样长，但在我看来，你的步子却越来越小，在我看来你是越走越慢。

举例来说，设你是以恒定的速率 $\ln 2$ 在走．按我们的解释，将 $\frac{ d y}{y}$ 积分求出所需时间［练习］，你在 1 个单位时间后会走到 $y=1,2$ 个单位时间后走到 $y=\frac{1}{2}, 3$ 个单位时间后到达 $y=\frac{1}{4}$ ，等等，每一个单位时间你只能走完到 $y=0$ 的距离的一半，所以永远也到不了 $y=0$ 处．［这个现象称为＂芝诺的报复＂再适当不过了！${ }^{(1)}$ ］

现在有了双曲平面的一个具体模型，即图 6－21 上有阴影的整个半平面 $y>0$ ，

其上规定了度量 $d \hat{s}=\frac{ d s}{y}$ ．实轴上的点离普通的点为无穷远，而（严格说来）并不考虑为双曲平面的一部分．这些点称为理想点或无穷远点．由无穷远点构成的整个直线 $y=0$ 将称为天际线 ${ }^{(1)}$ ．

用这一幅地图来研究双曲几何就好比用球极射影地图来研究球面几何，哪怕真的球面根本没有看见。这并不如人们想象的那么糟。归根结底，人类用天体测量绘制地理地图，早已对地球表面有了很好的理解，这比人类冲进太空俯视大地看见它真正是一个球，要早了好多世纪！

然而，有一个像地球仪那样的东西总比仅有一张世界地图更好。因伪球面只能模拟双曲平面的一部分，那么有没有别的曲面与整个双曲平面等距呢？令人伤感的是，希尔伯特在 Hilbert［1901］中就证明了，每一个伪球面型曲面都一定有边缘而不可能光滑地延拓它且又同时保持常值负曲率．所以，具有度量（6．31）的上半平面就是双曲平面的我们可以得到的好描述了。

然而，正如一张世界地图可以用不同的投影法来表示地球表面一样，我们也可以用不同类型的映射来表示双曲平面。我们刚才得到的地图称为庞加莱上半平面，还有一个称为庞加莱圆盘，再有一个称为克莱因圆盘．前两个模型是庞加莱在 1882年得到的，第三个则是克莱因在1871年得到的。

我们不能不评论下这些模型的名称．任何一个对数学史稍有兴趣的人都知道，各种数学思想（时常？）会张冠李戴，找错了主。事实上 ${ }^{(2)}$ ，这三个模型都是贝尔特拉米发现的！我们会看到，贝尔特拉米是以一种漂亮的统一的方式从第四个模型中得出它们来的，这个模型是画在一个半球面上的地图．感到迷惑了吗？好，半球面模型还是贝尔特拉米的！

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