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双曲直线和反射

## 双曲直线和反射
在继续之前，我们先要指明要到哪里去，于是我们集中关注保向运动．在欧氏几何中，每个保向运动都是对两条直线的反射的复合．我们已经看到，对于球面几何这也是真的，而我们马上就来证明，它在双曲几何中仍然为真．因为两条欧氏直线或相交或平行，所以恰好有两类保向的欧氏运动：旋转与平移．在球面上没有平行线，这蕴涵了其上的保向运动只能是旋转．相反地，在双曲平面上有过多的平行线，给出了一种比欧氏几何更丰富的几何学，其中的保向运动既有旋转和平移，还有在欧氏几何中没有对应物的第三类运动。

为了防止混淆，我们加一个字头 h 来表示双曲概念，以此来区别它们在地图中的欧氏描述．例如 $h$ 直线就表示一条双曲直线（即测地线），而＂直线＂则是指地图中的普通直线．我们也定义 $H \left\{z_1, z_2\right\}$ 为 $z_1$ 和 $z_2$ 之间的（用 $d \hat{s}=\frac{ d s}{y}$ 来量度的） h 距离．例如，若 $d z$ 是无穷小，则

$$
H \{z+d z, z\}=\frac{|d z|}{\operatorname{Im} z}
$$

最后，我们定义：以 $c$ 为 h 中心、 $\rho$ 为 h 半径的 h 圆周就是适合 $H \{z, c\}=\rho$ 的点之轨迹。

因为伪球面上的曳物母线很清楚是测地线，所以地图上的铅直直线也就应该是测地线；就是说，它们是 h 直线的例子．图 6－22a 将证明

两个铅直分隔的点之间的（唯一）最短路径是连接它们的铅直直线段 $L$ ．

现在来直接验证这件事，（6．34）的证明如下，把 $L$ 与任意另一条路径 $M$ 做比较。令 $d s_1$ 为 $L$ 上高度为 $y$ 的一点处的无穷小线段， $d s_2$ 是在 $M$ 上由过 $d s_1$ 的两端的水平直线截出的元素．因为

$$
d \hat{s}_1=\frac{d s_1}{y}<\frac{d s_2}{y}=d \hat{s}_2,
$$

所以 $L$ 的总双曲长度小于 $M$ 的总双曲长度．证毕．由此我们还可导出

$$
H \left\{\left(x+i y_1\right),\left(x+i y_2\right)\right\}=\left|\ln \left(y_1 / y_2\right)\right| .
$$

通过伪球面上一点，我们显然有指向各个方向的测地线而不是只有曳物母线，那么这些多出来的 h 直线在地图上是什么样子的呢？答案十分美丽而又出人意料：

每条 h 直线或者是垂直于天际线的半直线，或者是垂直于天际线的半圆周．

![图片](/uploads/2025-06/2d6b02.jpg)
 
 
 在证明之前，重要的是认识到下面的事情：如果你是双曲平面上的居民，你就完全无法区别半圆周 $h$ 直线与铅直的 $h$ 直线：每一条都和另一条完全相同，只是在我们地球人的地图上，它们看起来才不一样．那么，半圆周 h 直线在天际线上有两个端点，而铅直 $h$ 直线在天际线上只有一个端点，这件事又该怎么说呢？答案在于，在实轴上还要加上一个无穷远点，所有铅

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