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双曲直线和反射

## 双曲直线和反射
在继续之前，我们先要指明要到哪里去，于是我们集中关注保向运动．在欧氏几何中，每个保向运动都是对两条直线的反射的复合．我们已经看到，对于球面几何这也是真的，而我们马上就来证明，它在双曲几何中仍然为真．因为两条欧氏直线或相交或平行，所以恰好有两类保向的欧氏运动：旋转与平移．在球面上没有平行线，这蕴涵了其上的保向运动只能是旋转．相反地，在双曲平面上有过多的平行线，给出了一种比欧氏几何更丰富的几何学，其中的保向运动既有旋转和平移，还有在欧氏几何中没有对应物的第三类运动。

为了防止混淆，我们加一个字头 h 来表示双曲概念，以此来区别它们在地图中的欧氏描述．例如 $h$ 直线就表示一条双曲直线（即测地线），而＂直线＂则是指地图中的普通直线．我们也定义 $H \left\{z_1, z_2\right\}$ 为 $z_1$ 和 $z_2$ 之间的（用 $d \hat{s}=\frac{ d s}{y}$ 来量度的） h 距离．例如，若 $d z$ 是无穷小，则

$$
H \{z+d z, z\}=\frac{|d z|}{\operatorname{Im} z}
$$

最后，我们定义：以 $c$ 为 h 中心、 $\rho$ 为 h 半径的 h 圆周就是适合 $H \{z, c\}=\rho$ 的点之轨迹。

因为伪球面上的曳物母线很清楚是测地线，所以地图上的铅直直线也就应该是测地线；就是说，它们是 h 直线的例子．图 6－22a 将证明

两个铅直分隔的点之间的（唯一）最短路径是连接它们的铅直直线段 $L$ ．

现在来直接验证这件事，（6．34）的证明如下，把 $L$ 与任意另一条路径 $M$ 做比较。令 $d s_1$ 为 $L$ 上高度为 $y$ 的一点处的无穷小线段， $d s_2$ 是在 $M$ 上由过 $d s_1$ 的两端的水平直线截出的元素．因为

$$
d \hat{s}_1=\frac{d s_1}{y}<\frac{d s_2}{y}=d \hat{s}_2,
$$

所以 $L$ 的总双曲长度小于 $M$ 的总双曲长度．证毕．由此我们还可导出

$$
H \left\{\left(x+i y_1\right),\left(x+i y_2\right)\right\}=\left|\ln \left(y_1 / y_2\right)\right| .
$$

通过伪球面上一点，我们显然有指向各个方向的测地线而不是只有曳物母线，那么这些多出来的 h 直线在地图上是什么样子的呢？答案十分美丽而又出人意料：

每条 h 直线或者是垂直于天际线的半直线，或者是垂直于天际线的半圆周．

![图片](/uploads/2025-06/2d6b02.jpg)
 
 
 在证明之前，重要的是认识到下面的事情：如果你是双曲平面上的居民，你就完全无法区别半圆周 $h$ 直线与铅直的 $h$ 直线：每一条都和另一条完全相同，只是在我们地球人的地图上，它们看起来才不一样．那么，半圆周 h 直线在天际线上有两个端点，而铅直 $h$ 直线在天际线上只有一个端点，这件事又该怎么说呢？答案在于，在实轴上还要加上一个无穷远点，所有铅直 h 直线都会在那里相遇．按照（6．31），
 
 
 当我们沿两条相邻的铅直 h 直线向上走时，这两条铅直 h 直线之间的 h 距离将如 $(1 / y)$ 那样消逝，这两条 h 直线都将收玫到无穷远处；这件事在伪球面上就表现得栩栩如生．最后还要提到，甚至就地球人的地图而言，每一条铅直 h 直线也可以看成一个半圆周 $h$ 直线当允许半径趋向无穷大时的特例．

为了证明（6．36），先来证明一个同样美丽的事实，这是整个下文的基本：
对正交于天际线的半圆周的反演是双曲平面上的反向运动．
为了理解这为何为真，考虑图 6－22b 中的反演 $z \mapsto \widetilde{z}= I _K(z)$ 。我们要证明对由 $z$发出的任意无穷小线段 $d s, I _K(z)$ 不会改变其 h 长度 $d \hat{s}$ ．然而由于双曲平面的模型是共形的，只要对于可以任意选定方向的一个 $d s$ 来证明即可．我们选 $d s$ 垂直于 $K$ 的半径 $q z$（如图），反演的反共形性蕴涵了象 $d \widetilde{s}$ 仍垂直于此半径．这样，利用图上画出的相似三角形可知［练习］

$$
d \hat{\widetilde{s}}=\frac{d \widetilde{s}}{\widetilde{y}}=\frac{d s}{y}=d \hat{s}
$$

证毕。
为了证明（6．36），请看图 6－23a．首先由图可知两点 $a$ 与 $b$［只要 $\operatorname{Re}(a) \neq \operatorname{Re}(b)]$恒可用唯一的垂直于实轴的半圆弧 $L$ 连接起来：要想做出此弧的圆心 $c$ ，只要画出 $a b$ 的垂直平分线即可．如图所示，令 $q$ 为此半圆弧的一端．现在我们可以证明 $L$ 是连接 $a$ 到 $b$ 的最短（即 h 长度为最小）的路径．

![图片](/uploads/2025-06/839ef6.jpg)
 
 我们用反演 $z \mapsto \widetilde{z}= I _K(z)$ 来证明它，这里 $K$ 是任意的以 $q$ 为中心的圆周．这个反演把 $L$ 变为铅直线段 $\widetilde{L},(6.37)$ 告诉我们，$\widetilde{L}$ 与 $L$ 有相同的 h 长度．更一般地说，由 $a$ 到 $b$ 的任意路径 $M$ 必与其反演 $\widetilde{M}= I _K(M)$（ $\widetilde{M}$ 是由 $\widetilde{a}$ 到 $\widetilde{b}$ 的路径）有相同的 h 长度．这样，若 $L$ 不是由 $a$ 到 $b$ 的最短路径，则 $\widetilde{L}$ 也不是由 $\widetilde{a}$ 到 $\widetilde{b}$ 的最短路径，这与（6．34）矛盾．证毕．

附带提一下，这种构造方法使我们（从原则上说）能够计算出双曲平面上两点的 h 距离，根据（6．35）这个距离是

$$
H \{a, b\}= H \{\widetilde{a}, \widetilde{b}\}=\left|\ln \left(\frac{\operatorname{Im} \tilde{a}}{\operatorname{Im} \tilde{b}}\right)\right|
$$

我们以后还能导出一个更明白的公式．
垂直于实轴的半圆周是 h 直线，这强有力地向我们建议，（6．37）可以重新解释如下：

对正交于天际线的半圆周 $K$ 的反演就是对双曲平面上的 h 直线 $K$ 的反射 $\Re_K$ ．

用符号来写就是 $\Re_K(z)= I _K(z)$ ．在证明这一点之前，先要弄清，所谓反射是什么意思。正如我们在欧氏几何或球面几何中所采用的做法一样，在构造 $\Re_K(z)$ 时，先做一条过 $z$ 而且垂直于 $K$ 的直线 $P$ ，设 $P$ 与 $K$ 的交点为 $m$ ，则 $\Re_K(z)$ 就是在 $P$ 上的这样一点，它到 $m$ 的 h 距离与 $z$ 到 $m$ 的 h 距离相同．

为证（6．38），请看图 6－23b，其上 $\widetilde{z}= I _K(z)$ 。首先要注意，每一个过 $z$ 与 $\widetilde{z}$ 的圆周都自动地垂直于 $K$ 。特别是，过 $z$ 与 $\widetilde{z}$ 的 h 直线也一定垂直于 $K$ ，因此就是我们在上一段要找的＂$P$＂。最后还请应记起， $I _K$ 把 $P$ 映为其自身而且把线段 $z m$与 $\widetilde{z} m$ 对换。这样，由于 $I _K$ 是一个运动，这两条 h 直线段有相等的 h 长度，这就是我们想要证明的．

反过来，设已知任意两点 $z$ 与 $\widetilde{z}$ ，可以做其垂直 h 平分线 $K$ ，这样 $\Re_K$ 就会将 $z$ 与 $\widetilde{z}$ 对换。还请注意 $z$ 及其反射 $\widetilde{z}_K(z)$ 离 $K$ 上任一点 $k$ 的 h 距离都相同，这和欧氏几何及球面几何的情况一样。这是很容易证明的：因为 $I _K$ 是一个运动，而 $\widetilde{k}= I _K(k)=k$ ，故知 $H \{z, k\}= H \{\widetilde{z}, \widetilde{k}\}= H \{\widetilde{z}, k\}$ ．

现在变得很清楚了，双曲几何和欧氏几何有许多共同之处．我们既已知道 h 直线是什么样子，图 6－24 就表明双曲几何确实是非欧几里得的：经过 $p$ 点有无穷多条 h 直线［图上凡用虚线画的都是］都不与图上的 h 直线 $L$ 相遇．这些 h 直线就称为是超平行于 $L$ 的．

![图片](/uploads/2025-06/bb8194.jpg)
 
 恰好有两条 h 直线把超平行于 $L$ 的以及与 $L$ 相交的 h 直线分离开，这两条 h直线在双曲平面之内不能与 $L$ 相遇而在天际线上才与 $L$ 相遇．这两条 h 直线就称为渐近于或者说是过 $p$ 对 $L$ 的渐近线。 ${ }^{(1)}$

和在欧氏几何中一样，图 6－24 清楚地显示出来：恰有一条 h 直线 $M$ 过 $p$ 点且与 $L$ 的交角为直角（交点即 $q$ 点）。事实上［练习］，$M$ 可以作为唯一一条过 $p$ 和 $\Re_L(p)$ 的 h 直线而构造出来．$M$ 的存在，使得 $p$ 与直线 $L$ 的距离可以按通常的方式定义，即 $M$ 的线段 $p q$ 的 h 长度。

因为 $M$ 和 $L$ 正交，故 $\Re_M= I _M$ 必将 $L$ 映为其自身，但把 $L$ 在天际线上的两个端点对换。由此可知 $\Re_M$ 也把两条渐近于 $L$ 的 h 直线（渐近直线）对换，而且 $M$平分两条渐近线在 $p$ 点之角．$M$ 与任一渐近线之角称为平行角，通常记作 $\Pi$ ．当把直线 $M$ 绕 $p$ 旋转时，$M$ 与 $L$ 之交点就移向无穷远处，而由 $\Pi$ 可知，$M$ 要转多么大才完全离开 $L$ 。

最后，图 6－25 只是用来说明与图 6－24 同样的概念和名词，但这里的 h 直线 $L$不是用半圆周而是用铅直半直线来表示的．

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