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鲍耶－罗巴切夫斯基公式

## 鲍耶－罗巴切夫斯基公式 
这一小节很短，也是选读的，它很美妙地说明怎样用前面的思想来解决一个很有意义的具体问题：求平行角 $\Pi$ ．

在欧氏几何中，两条渐近线的类比就是过 $p$ 的唯一平行于 $L$ 的直线，而且因为此直线与 $M$ 垂直，$\Pi$ 的类似物就是直角．另一方面，在双曲几何中，很清楚 $\Pi$ 总是锐角，而且随着 $p$ 到 $L$ 之 h 距离 $D \equiv H \{p, q\}$ 的增加，其值下降．更准确地说，鲍耶与罗巴切夫斯基都证明了

$$
\tan (\Pi / 2)=e^{-D},
$$

他们还由此得到了许多其他结果。我们现在对这个所谓的鲍耶－罗巴切夫斯基公式给出一个简单的几何证明．Greenberg［1993，第 391 页］中说它＂是全部数学中最值得注意的公式之一＂，然而对于本书它只有附带意义．

![图片](/uploads/2025-06/915c31.jpg)
 
 首先注意，证明这个公式，图 6－25 就已够用了，而不必使用图 6－24．这是因为，只要对以 $L$ 的一个端点为中心的任意半圆周做反演（即双曲反射）就可以把图 6－24变为图 6－25．

图 6－26 中把图 6－25 的要点都画出来了．为了求弧 $p q$ 的 h 长度 $D$ ，可做 h 反射 $z \mapsto \widetilde{z}=\Re_C(z)$ ，这里 $C$ 是图上画的以 $M$ 的端点 $c$ 为中心而且经过 $q$ 点的半圆周。这就把弧 $p q$ 变为图上的铅直直线段 $\widetilde{p} q$ 。由（6．35），只需求出 $q$ 与 $\widetilde{p}$ 的纵坐标之比，也就是要找出欧氏距离 $[ qm ]$ 与 $[ p m]$ 之比．

![图片](/uploads/2025-06/ef9a2d.jpg)
 
 由于半径 $p m$ 正交于圆周 $M$ ，所以角 $p m c$ 等于 $\Pi$［练习］．由此可知角 $c \widetilde{p} m=$ $(\Pi / 2)$ ，如图所示 $[$ 练习 $]$ ．这样

$$
D=\left|\ln \left(\frac{[q m]}{[\widetilde{p} m]}\right)\right|=\left|\ln \left(\frac{[c m]}{[\widetilde{p} m]}\right)\right|=|\ln \tan (\Pi / 2)|=-\ln \tan (\Pi / 2),
$$

最后一步改变符号是因为 $\Pi$ 是锐角，所以 $\tan (\Pi / 2)<1$ ．这样 $\tan (\Pi / 2)= e ^{-D}$ ，是所求证。

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