最后更新: 2025-06-30 08:52 查看: 73 次纠错评论(0) 课件开VIP

保向运动的三种类型

## 保向运动的三种类型
我们已经指出，＂庞加莱上半平面＂是贝尔特拉米首先发现的．庞加莱之所以获得名声，（肯定是极高的名声！）在于他看到了双曲几何与复分析的密切联系。这种联系的基石就是：双曲平面上的（保向）运动是默比乌斯变换。我们先来概述一下这是怎么一回事．

若 $L_1$ 和 $L_2$ 是两条 h 直线，则关于它们的 h 反射的复合

$$
M \equiv \Re_{L_2} \circ \Re_{L_1}
$$

将是双曲平面上的保向运动．因为在地图上每一个 h 反射都可用对于一个圆周的反演来表示，我们立即导出，每一个形如 $M$ 的保向运动都可用一个（非斜驶型）默比乌斯变换 $M(z)$ 来表示。下一步我们将要证明：每一个保向运动都具有 $M$ 的形状，实际上我们甚至还会给出把一个任意的保向运动分解为两个 h 反射的显式的
几何做法．设这一点已经确立，我们看到，每一个保向运动都由一个（非斜驶型）默比乌斯变换来表示。

反过来说，设 $M(z)$ 是一个任意的把上半平面映到其自身的默比乌斯变换，则 $M(z)$ 也必把实轴（即天际线）映为其自身。但是斜驶型默比乌斯变换不会以天际线为其不变曲线：它的不变曲线形状很奇怪，可见 3．7．2 节图 3－32．因此这种把上半平面映为其自身的 $M(z)$ 不会是斜驶型的，而由 3．8．5 节（3．48）可知，$M(z)$ 是对于两个正交于实轴的圆周的反演的复合。于是把上半平面映到其自身的最一般的默比乌斯变换之集合与上面讲的 $M$ 类型的保向双曲运动的集合相等。

找出这一类默比乌斯变换的代数形式的方法之一，是应用 3．2．1 节的（3．4）：对于以实轴上的 $q$ 点为中心、 $R$ 为半径的圆周 $K$ 的反演是

$$
I _K(z)=\frac{q \bar{z}+\left(R^2-q^2\right)}{\bar{z}-q}
$$

把两个这样的函数复合起来，我们就知道 $M$ 类型的运动相应于下面的默比乌斯变换［练习］：

$$
M(z)=\frac{a z+b}{c z+d}, \quad a, b, c, d \text { 为实数, }(a d-b c)>0 \text {. }
$$

回想一下，在第 3 章的习题 25 中已经证明，这就是最一般的把上半平面映为其自身的默比乌斯变换．这样我们的结果与前一段之末的结论完全一致．

概述到此为止，现在我们来详细地看一下保向运动 $M$ 。由图 6－24 和图 6－25 知道，对于 h 直线 $L_1$ 与 $L_2$ 的构形恰好有 3 种可能性，相应于此， $M \equiv \Re_{L_2} \circ \Re_{L_1}$ 必属于以下 3 种本质不同的类型之一：
（i）若这两条 h 直线相交， $M$ 就称为双曲旋转．
（ii）若这两条 h 直线是渐近的， $M$ 就是一种新类型的运动（而只有双曲几何才会有），称为极限旋转．
（iii）若这两条 h 直线是超平行的， $M$ 就称为双曲平移．
我们在第3章中的全部辛苦劳作，现在有了收获，因为这 3 种类型的运动正是 3 种不同类型的非斜驶型默比乌斯变换：（i） h 旋转是＂椭圆型＂的；（ii）极限旋转是＂抛物型＂的；（iii）h 平移是＂双曲型＂的 ${ }^{(1)}$ ．这里，如果再读一下第 3 章末关于这些默比乌斯变换的讨论，必定大有助益。

我们已经懂得了这些默比乌斯变换，所以余下要做的事就只有：透过双曲眼镜，重新审视它们．就是说，假想你属于庞加莱族这个物种——就是属于那种小小的，生活在双曲平面上的有智慧的二维生物．对于你和你的庞加莱族同胞， h 直线真正是直线，实轴真正是位于无穷遥远之处，诸如此类．如果对你的世界实行上述的运动，你会看见什么呢？

我们先从 h 旋转开始．图 6－27 上画的是一个椭圆默比乌斯变换，我们称之为 $R _a^\phi$ ．它是这样产生的：所有的 h 直线都交于 $a$ 点，而由 $L_1$ 到 $L_2$ 的角为 $(\phi / 2)$ ． ［此图是按 $\phi=(\pi / 3)$ 画的．］于是 $R _a^\phi$ 有两个不动点：$a$ 与 $\bar{a}$ ，与 $a$ 相关的乘子为 $m = e ^{ i \phi}$ 。在第3章里已经说过，图中每个有阴影的＂矩形＂都被 $R _a^\phi$ 按箭头所指的方向映到下一个有阴影的＂矩形＂——有的矩形画成黑的是为了强调这一点．

![图片](/uploads/2025-06/10578c.jpg)
 
 现在考虑一下，在你和你的庞加莱族同胞看来，这是怎么回事．举例来说，你看到的各个黑色矩形形状和大小都一样。为了更好地理解 $R _a^\phi$ ，我们首先注意到，它对 $a$ 的无穷小邻域的效果（用地图的语言来说）正是绕 $a$ 点的欧氏旋转，转角为 $\phi$ 。但因这个地图是共形的，这就意味着，站在 $a$ 点的庞加莱族生物也看到紧接着他的邻域经历了旋转一个角 $\phi$ 。

然而，更加引人注目的是，$a$ 点处的庞加莱族生物会发现整个双曲平面都经历了一个完美的旋转 $\phi$ 。他所做的每一条由 $a$ 发出的 h 直线段 $a p$ 都被映射 $z \mapsto \widetilde{z}=$ $R _a^\phi(z)$ 映为另一条 h 长度相同且与原来的 h 直线段成角 $\phi$ 的 h 直线段 $a \widetilde{p}$ ．如果庞加莱族生物让 $\phi$ 逐渐由 0 变到 $2 \pi$ ，他就会看见 $\widetilde{p}$ 画出一个以 $a$ 为中心的 h 圆周，而在地图上我们则看见 $\tilde{p}$ 奇迹般地画出了一个欧氏圆周！这样，图上画的与过 $a$ 的 h 直线正交的欧氏圆周都是真正的双曲圆周，$a$ 是它们的公共 h 圆心．让我们把这个了不起的结果记录下来，中间加了一些不难证明的细节［练习］：

每个 h 圆周在地图上都用一个欧氏圆周来表示，其圆心是任意两条与它正交的 h 直线之交点。用代数表示，以 $a=(x+ i y)$ 为 h 圆心，$\rho$ 为 h半径的 h 圆周，就是以 $(x+ i y \cosh \rho)$ 为中心，$y \sinh \rho$ 为半径的欧氏圆周．

图 6－28 作为引向极限旋转的垫脚石，在双曲平面上引入了一种新类型的曲线．在欧氏几何的眼光看来，就是做一条直线 $L$ ，在其上取一定点 $p$ ，而 $a$ 则为其上的一动点，令 $C$ 为以 $a$ 为中心而且过 $p$ 的圆周。如果我们让 $a$ 沿 $L$ 趋向无穷远，$C$的极限形状将是一条直线（经过 $p$ 而与 $L$ 垂直）．图 6－28a 表明，在双曲平面上我们看见的是另外一种情况．当 $a$ 趋向实轴上的无穷远点 $A$ 时，$C$ 的极限形状是一个在 $A$ 点与实轴相切的（欧氏）圆周．它既不是通常的 h 圆周，也不是 h 直线．这是一类新的曲线，称为极限圆．图 6－28b 表明，水平的（欧氏）直线也是极限圆．注意，若 $K$ 是以 $A$ 为中心的任意圆周，则 h 反射 $\Re_K= I _K$ 把图 6－28a 变为图 6－28b。所以庞加莱族生物无法区分这两类极限圆。

![图片](/uploads/2025-06/5983ef.jpg)
 
 
现在考虑图 6－29，它画的是对于在 $A$ 点互相渐近的两条 h 直线 $L_1$ 和 $L_2$ 做 h 反射所产生的默比乌斯变换．参见图 6－27 和图 6－28，现在就懂得了为什么称它为极限旋转：它可以看作 h 旋转 $R _a^\phi$ 当 $a$ 趋向天际线上一点 $A$ 时的极限．请注意这个图上一些有趣的地方：不变曲线是在 $A$ 点相切的极限圆；每个这样的极限圆都正交于以 $A$ 为端点的任一 h 直线；每两个这样的极限圆均在每条以 $A$ 为端点的 h直线上截出相同的 h 长度．

![图片](/uploads/2025-06/df891a.jpg)
 
 从地图上看，当渐近的 h 直线 $L_1$ 和 $L_2$ 是由铅直的（其相隔的欧氏距离设为 $(\alpha / 2))$ 欧氏直线来表示时，就会得到最简单的极限旋转．这时， $M \equiv \Re_{L_2 \circ} \circ \Re_{L_1}$ 在地图上是关于平行直线的两个欧氏反射的复合．这样 $M$ 就是上半平面的欧氏平移 $z \mapsto(z+\alpha)$ ，不变曲线是水平直线，也就是图 6－28b 上的那种极限圆．不过这个欧氏平移不是 h 平移．只要看一看 $M$ 在伪球面上的效果就清楚了，在伪球面上它是伪球面绕轴旋转 $\alpha$ ．

图 6－30 画出了第三种也就是最后一种运动： h 平移（双曲型默比乌斯变换），
 
它是由对两个超平行的 h 直线的反射生成的．首先要注意，能够同时正交于 $L_1$ 和 $L_2$ 的 h 直线只有一条．与欧氏平移不同，这个 h 直线是唯一被映为自身的 h 直线，称为 h 平移的轴．尽管有这一点差别，＂ h 平移＂这个名词还是恰当的，因为 h 直线 $L$ 上每一点都被沿着 $L$ 移动了相同距离（记为 $\delta$ ）．如果在 $L$ 上再赋以一个方向，则可以无歧义地记此 h 平移为 $T _L^\delta$ ．

![图片](/uploads/2025-06/0aa028.jpg)
 
 在欧氏几何中，平移的不变曲线是平移方向的平行线．然而图 6－30 表明， $T _L^\delta$的不变曲线并非 h 直线，而是连接 $L$ 两端 $e_1$ 和 $e_2$ 的欧氏圆弧。它们称为 $L$ 的等距曲线，因为在这样一条欧氏圆弧上，每一点距 h 直线 $L$ 都有相同的 h 距离．请自行弄清这一点。

用地图来解释，当超平行 h 直线 $L_1$ 和 $L_2$ 用同心欧氏半圆周来表示时会生成最简单的 $h$ 平移。为方便计，设圆心为原点。这里，两个 $h$ 反射（即反演）给出一个中心伸缩：$z \mapsto k z$ ，其中 $k$ 是一个实数伸缩因子。这个 h 平移的轴是过原点的铅直直线（ $y$ 轴），而其他的经过原点的（欧氏）直线都是等距曲线（参看图 6－20 和图 6－21）．注意，在地图上这个欧氏伸缩是一个相似变换，而在双曲平面上则不是相似变换——在双曲平面上根本就没有相似变换。

现在我们已完成了对于这 3 类保向运动的概述，值得注意的是，它们不仅在地图上的效果很不相同，而且从内蕴的双曲几何来说，它们也各自有独特的指纹。换句话说，庞加莱生物能够区分这些运动。例如，在 3 类之中只有 h 旋转有不变的 h圆周，只有 $h$ 平移有一条不变 $h$ 直线．

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