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保向运动的三种类型

## 保向运动的三种类型
我们已经指出，＂庞加莱上半平面＂是贝尔特拉米首先发现的．庞加莱之所以获得名声，（肯定是极高的名声！）在于他看到了双曲几何与复分析的密切联系。这种联系的基石就是：双曲平面上的（保向）运动是默比乌斯变换。我们先来概述一下这是怎么一回事．

若 $L_1$ 和 $L_2$ 是两条 h 直线，则关于它们的 h 反射的复合

$$
M \equiv \Re_{L_2} \circ \Re_{L_1}
$$

将是双曲平面上的保向运动．因为在地图上每一个 h 反射都可用对于一个圆周的反演来表示，我们立即导出，每一个形如 $M$ 的保向运动都可用一个（非斜驶型）默比乌斯变换 $M(z)$ 来表示。下一步我们将要证明：每一个保向运动都具有 $M$ 的形状，实际上我们甚至还会给出把一个任意的保向运动分解为两个 h 反射的显式的
几何做法．设这一点已经确立，我们看到，每一个保向运动都由一个（非斜驶型）默比乌斯变换来表示。

反过来说，设 $M(z)$ 是一个任意的把上半平面映到其自身的默比乌斯变换，则 $M(z)$ 也必把实轴（即天际线）映为其自身。但是斜驶型默比乌斯变换不会以天际线为其不变曲线：它的不变曲线形状很奇怪，可见 3．7．2 节图 3－32．因此这种把上半平面映为其自身的 $M(z)$ 不会是斜驶型的，而由 3．8．5 节（3．48）可知，$M(z)$ 是对于两个正交于实轴的圆周的反演的复合。于是把上半平面映到其自身的最一般的默比乌斯变换之集合与上面讲的 $M$ 类型的保向双曲运动的集合相等。

找出这一类默比乌斯变换的代数形式的方法之一，是应用 3．2．1 节的（3．4）：对于以实轴上的 $q$ 点为中心、 $R$ 为半径的圆周 $K$ 的反演是

$$
I _K(z)=\frac{q \bar{z}+\left(R^2-q^2\right)}{\bar{z}-q}
$$

把两个这样的函数复合起来，我们就知道 $M$ 类型的运动相应于下面的默比乌斯变换［练习］：

$$
M(z)=\frac{a z+b}{c z+d}, \quad a, b, c, d \text { 为实数, }(a d-b c)>0 \text {. }
$$

回想一下，在第 3 章的习题 25 中已经证明，这就是最一般的把上半平面映为其自身的默比乌斯变换．这样我们的结果与前一段之末的结论完全一致．

概述到此为止，现在我们来详细地看一下保向运动 $M$ 。由图 6－24 和图 6－25 知道，对于 h 直线 $L_1$ 与 $L_2$ 的构形恰好有 3 种可能性，相应于此， $M \equiv \Re_{L_2} \circ \Re_{L_1}$ 必属于以下 3 种本质不同的类型之一：
（i）若这两条 h 直线相交， $M$ 就称为双曲旋转．
（ii）若这两条 h 直线是渐近的， $M$ 就是一种新类型的运动（而只有双曲几何才会有），称为极限旋转．
（iii）若这两条 h 直线是超平行的， $M$ 就称为双曲平移．
我们在第3章中的全部辛苦劳作，现在有了收获，因为这 3 种类型的运动正是 3 种不同类型的非斜驶型默比乌斯变换：（i） h 旋转是＂椭圆型＂的；（ii）极限旋转是＂抛

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