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把任意保向运动分解为两个反射

##  把任意保向运动分解为两个反射
我们现在要证明双曲平面上的保向运动仅有 h 旋转、极限旋转与 h 平移．也就是说，任一个保向运动 $M$ 可写为两个 h 反射的复合： $M \equiv \Re_{L_2} \circ \Re_{L_1}$ ．

证明的第一步是一个熟知的引理：任意双曲运动 $M$（不一定是保向的）可由它对 3 个非共线点上的效果而唯一确定。和在欧氏几何中一样，要证明这一点只需证
明点 $p$ 的位置可以由它到任意 3 个非共线点 $a, b, c$ 的 h 距离唯一决定．看一看图 6－31 a ，其中我们（为简单计）已设过 $a, b$ 的 h 直线 $L$ 由地图上的铅直直线表示。分别做以 $a, b, c$ 为中心而且经过 $p$ 点的 h 圆周。因为由假设 $c$ 不在 $L$ 上，我们看到 $p$ 就是这 3 个圆周的唯一交点。证毕。
 ![图片](/uploads/2025-06/892470.jpg)
 
现在设已有一个运动将 $a, b$ 两点分别送到图 6－31b 中的 $a^{\prime}$ 点和 $b^{\prime}$ 点．由以上所述，只要知道任一个不在过 $a$ 和 $b$ 的 h 直线 $L$ 上的 $p$ 点的象，这个运动就唯一地决定了。现在以 $a^{\prime}$ 和 $b^{\prime}$ 为 h 圆心， $H \{a, p\}$ 和 $H \{b, p\}$ 为 h 半径做两个 h 圆周如图 6－31b 所示，我们知道只有它们的两个交点 $p^{\prime}$ 与 $\tilde{p}$ 才可能是 $p$ 的象。此外，因为过 $a^{\prime}$ 和 $b^{\prime}$ 的 h 直线 $L^{\prime}$ 一定与以这两点为中心的 h 圆周正交，我们知道 $p^{\prime}$ 与 $\widetilde{p}$关于 $L^{\prime}$ 对称，即 $\widetilde{p}= I _{L^{\prime}}\left(p^{\prime}\right)=\Re_{L^{\prime}}\left(p^{\prime}\right)$ ．这样我们证明了：
恰好有一个保向运动 $M$（以及恰好一个反向运动 $\widetilde{ M }$ ）把一已
知的 h 直线段 $a b$ 映为另一已知的具有同样 h 长度的 h 直线段 $a^{\prime} b^{\prime}$ ．
此外，$\widetilde{ M }=\left(\Re_{L^{\prime}} \circ M \right), L^{\prime}$ 是过 $a^{\prime}$ 和 $b^{\prime}$ 的 h 直线．
我们将要给出把任一保向运动 $M$ 分解为两个 h 反射的显式的几何做法。首先注意，由（6．40）得知 $M$ 可由它在任意两点上的效果所决定，不论这两点多么接近．虽然这并不是本质的，但若令这两点间隔为无穷小，下面的做法就特别清楚了．

所以，我们取这两点为 $z$ 和 $(z+ d z)$ ，它们在 $M$ 下的象为 $w= M (z)$ 和 $w+ d w= M (z+ d z)$ ．图 6－32 是为了说明这里的思想．我们的工作是要找出两个 h 反射使得同时能把 $z$ 变为 $w, d z$ 变为 $d w$ ．［附带说一下，因为 $M$ 必为共形的，它就可以看成一个解析函数，而有 $d w= M ^{\prime}(z) d z$ ．］

先用一个 h 平移 $T _L^\delta$ 把 $z$ 映到 $w$ ，其中 $\delta= H \{z, w\}, L$ 是由 $z$ 到 $w$ 的唯一 h 直线．因为 $T _L^\delta$ 是共形的，它必保持长度与角度，所以它把 $d z$ 映为一个 h 长度与 $d z$ 相同的无穷小向量 $d \tilde{z}$ ，而且 $d \tilde{z}$ 与 $L$ 的角度等于 $d z$ 与 $L$ 的角度．令 $d \tilde{z}$ 到 $d w$的角度为 $\theta$ ，再做一次 h 旋转 $R _w^\theta$ ，则 $w$ 位置未动，而 $d \tilde{z}$ 转成了 $d w$ 。这样两次运动的总效果就是既把 $z$ 变成 $w$ ，又把 $d z$ 变为 $d w$ ，所以它就是我们需要的 $M$ ：

$$
M = R _w^\theta \circ T _L^\delta
$$

其实这里已把 $M$ 分解为 4 个 h 反射，因为 $T _L^\delta$ 与 $R _w^\theta$ 各可分解为两个 h 反射．然而，图 6－32 表明，我们总能安排得使 4 个 h 反射中有两个互相抵消．令 $m$为 h 直线段 $z w$ 的 h 中点，做两条 h 直线 $A$ 和 $B$ 分别过 $m$ 与 $w$ 而且都与 $L$ 正交．这样， $T _L^\delta=\left(\Re_B \circ \Re_A\right)$ ．如果过 $w$ 再做一条 h 直线 $C$ 使它与 $B$ 成角 $(\theta / 2)$ ，则 $R _w^\theta=\left(\Re_C \circ \Re_B\right)$ ．这样我们就会得到开始时想要证明的：每个保向运动 $M$ 可以分解为两个 h 反射：

![图片](/uploads/2025-06/4cf52a.jpg)
 
 在我们画出的例子中，$A$ 和 $C$ 这两条 h 直线恰好交于一点 $a$ ，设交角为 $(\theta / 2)$ ，则上面求出的 $M$ 恰好是一个 h 旋转： $M = R _a^\phi$ ．然而也很清楚，这样的做法也很容易给出渐近的或超平行的 $A$ 与 $C$ ，这时 $M$ 就会是极限旋转或 h 平移．

总结我们已经证明的，并且回忆（6．39），即有：
双曲平面上的每个保向运动都是两个 h 反射的复合，因此是 h 旋转，或极限旋转，或 h 平移。在庞加莱上半平面中，所有这些运动都可以用以下形状的默比乌斯变换表示：

$$
M(z)=\frac{a z+b}{c z+d} \text {, 其中 } a, b, c, d \text { 为实数, 且 }(a d-b c)>0 \text {. }
$$

最后，再回到图 6－32，并且借助于（6．40），即知唯一地同时把 $z$ 和 $d z$ 映为 $w$ 和 $d w$ 的反向运动 $\widetilde{ M }$ 必由 3 个 h 反射给出：

$$
\widetilde{ M }=\Re_{L^{\prime}} \circ \Re_C \circ \Re_A .
$$

这里 $L^{\prime}$ 就是图上画的经过 $w$ 与 $(w+ d w)$ 的 h 直线，也就是按 $d w$ 方向经过 $w$ 的 h 直线。然而这个分解并没有给出 $\widetilde{ M }$ 的最简单的几何解释。习题 24 中就有这种几何解释以及描述一般反向运动的公式．

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