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双曲三角形的角盈

## 双曲三角形的角盈
在双曲平面上用 h 直线段把 3 个点连接起来就给出一个双曲三角形（这就是其定义）。我们的目标是要证明，这样一个双曲三角形 $T$ 的角盈 $E (T)$ 是

$$
E (T)=(-1) A (T)
$$

我们在引言中已经指出，这个式子表明 $T$ 的内角和恒小于 $\pi$ ，而最大的 $T$ 的面积也不会超过 $\pi$（当然还有其他的事）。参照微分几何中的结果（即前面的（6．6），我们还看见，这个公式的证明过程，还能对双曲平面具有常值负曲率 $k =-1$ 给出一个内蕴的证明。 ${ }^{(1)}$

我们还曾指出，惠更斯早在 1693 年就研究过伪球面，在我们熟悉了双曲面积以后，现在就可以证实他的一个惊人结果：伪球面具有有限面积。图6－20表明，伪球面可以用上半平面中的有阴影的区域 $\{0 \leqslant x<2 \pi, y \geqslant 1\}$ 来表示，（6．32）表明，这个欧氏面积为无穷大的区域，其双曲面积其实是有限的：

$$
A (\text { 伪球面 })=\iint d A =\int_{x=0}^{2 \pi} \int_{y=1}^{\infty} \frac{d x d y}{y^2}=\int_{x=0}^{2 \pi} d x \int_{y=1}^{\infty} \frac{d y}{y^2}=2 \pi \text {, }
$$

而惠更斯已经发现了它。
图 6－33a 上画了一个伪球面上的三角形（白色三角形）．如果它的最上面的顶点沿伪球面无限地向上运动，则在此顶点处的角趋向零，相交于这个顶点的两边趋向渐近的直线，即伪球面的两条曳物母线，它们相交于无穷远点。这样一个两边为渐近的极限三角形称为渐近三角形。为了对通常的三角形证明（6．41），我们先对渐近三角形来证明此式。图6－33b在上半平面画出了这样一个三角形，两条曳物母线的边变成了铅直半射线。由惠更斯的结果，$T$ 很清楚具有有限面积 $A (T)$ ，因为渐近的边交角为零，我们想要证明的结果就是 $A (T)=(\pi-\alpha-\beta)$ ．

![图片](/uploads/2025-06/df0411.jpg)
 
 为了简化这个结果的导出，图 6－33b 假设了 $T$ 的有限边是一段单位圆弧．这并不导致丧失一般性，因为一个以 $x=X$ 为中心、 $r$ 为半径的圆弧，只要先做极限旋转（前面说了，它在复平面上就是 $z \mapsto(z-X)$ ），再继以一个 h 平移（在复平面上就是 $z \mapsto(z / r)$ ），就可以变成单位圆弧。由图6－33b，我们现在可导出

$$
A (T)=\int_{\cos (\pi-\alpha)}^{\cos \beta}\left[\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\infty} \frac{d y}{y^2}\right] d x=\int_{\cos (\pi-\alpha)}^{\cos \beta} \frac{d x}{\sqrt{1-x^2}}
$$

令 $x=\cos \theta$ ，就给出所求证的结果

$$
A (T)=\int_{\pi-\alpha}^\beta \frac{-\sin \theta}{\sin \theta} d \theta=\pi-\alpha-\beta
$$

图 6－34 的左图是一个一般三角形（白色三角形），设其面积为 $A$ ．对它的一个顶点（现在是 $a$ ）做一个适当的 h 旋转 $R _a^\theta$ ，就可以把它的一边（现在是由 $a$ 到顶角为 $\gamma$ 的顶点的边）变到铅直位置，如图 6－34 右图所示。这就很清楚了，面积 $A$ 是两个渐近三角形面积之差：其一具有顶角 $\alpha$ 和 $(\beta+\theta)$ ；另一个（深色阴影）具有顶角 $(\pi-r)$ 和 $\theta$ 。最后再应用上面关于渐近三角形的结果，即得（6．41）：

$$
\begin{aligned}
A & =[\pi-\alpha-(\beta+\theta)]-[\pi-(\pi-\gamma)-\theta] \\
& =\pi-\alpha-\beta-\gamma \\
& =- E .
\end{aligned}
$$
 ![图片](/uploads/2025-06/c293cc.jpg)

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