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庞加莱圆盘

## 庞加莱圆盘
贝尔特拉米除了上述半平面模型外，还在 Beltrami［1868＇］中构造了双曲平面的另一个极有用的共形地图，这一次是做在单位圆盘内． 14 年后，庞加莱重新发现了这个地图，所以现在普遍地（然而张冠李戴地）把它叫作庞加莱圆盘。

图 6－35a 画出了这个构造过程的第一步，即用反演

$$
z \mapsto \widetilde{z}= I _K(z)
$$

映整个上半平面到单位圆盘内，$K$ 就是图上画的以 - i 为中心并经过 $\pm 1$ 的圆周．为了使这个圆盘能代表双曲平面，它的度量必须是从上半平面继承而来的．这就是说，我们必须定义圆盘内两点 $\widetilde{a}$ 和 $\widetilde{b}$ 的 h 间隔 $H \{\widetilde{a}, \widetilde{b}\}$ 为它们在上半平面中的原象 $a$ 和 $b$ 的 h 间隔 $H \{a, b\}$ 。注意，这就意味着［练习］圆盘中的 h 直线应定义 ${ }^{(1)}$为上半平面中的 h 直线之象．

![图片](/uploads/2025-06/11ad92.jpg)
 
 在往下读之前请先仔细考虑图 6－35a，直到把以下细节都弄清楚为止：（i）$\pm 1$ 为不动点， i 被映到 0 ；（ii）上半平面的整个有阴影的区域被映为有阴影的下半单位圆盘；（iii）上半平面的其余部分（即白色的上半单位圆盘）被映为其自身；（iv）圆盘内的 $h$ 直线是上半平面的 $h$ 直线之象，它们是与单位圆周正交的圆弧；（v）双曲平面的整个天际线用单位圆周代表，上半平面的铅直 h 直线在无穷远处的公共点现在用－i 表示。

至此我们已经得到了双曲平面在单位圆盘内的地图。然而，因为 $I _K(z)$ 是反共形的，所以这个地图也是反共形的：上半平面中的角现在用圆盘内相等但是反号的角来表示。如果我们再做 $z \mapsto \bar{z}$ 把圆盘对实轴反射为其自身，则角的符号将再反转一次，我们就得到了共形的庞加莱圆盘。

这样，从庞加莱半平面到庞加莱圆盘的净变换就是 $z \mapsto I _K(z)$ 和 $z \mapsto \bar{z}$ 的复合，这就是一个默比乌斯变换，记为 $D(z)$ 。因为 $D(z)$ 把 i 映到 0 而把 - i 映到 $\infty$ ，很显然 $D(z)$ 应该与 $(z- i ) /(z+ i )$ 成比例．最后再回忆一下，默比乌斯变换应由其在 3 个点上的效果决定，再注意到 $\pm 1$ 是不动点，我们就得到了［练习］

$$
D(z)=\frac{i z+1}{z+i}
$$

用另一种办法，即用3．2．1节的反射公式（3．4）硬算，也会得到这个结果［练习］．
因为 $D(z)$ 保持角度和圆周，很容易把双曲平面上的基本的曲线类型从庞加莱上半平面转移到庞加莱圆盘上来．图 6－35b 表明，庞加莱圆盘中的 h 直线现在用正交于单位圆周的圆弧（诸如 $L, A, U$ ）来表示，其中也包括单位圆盘的直径例如 $I$ ．附带说一下，因为天际线是用单位圆周来表示，所以你就可以理解，为什么天际线也叫作无穷远圆周。

关于 h 直线的一些术语仍与以前一样：$I$ 与 $L$ 相交，$A$ 渐近于 $L, U$ 与 $L$ 超平行，连接 $L$ 的两个端点的欧几里得圆弧 $E$ 是 $L$ 的等距曲线。很容易看到，严格位于单位圆盘内的欧氏圆周 $C$ 表示一个 h 圆周，但是其 h 圆心与其欧氏圆心并不重合．最后，图 6－28a 与图 6－28b 中的极限圆在庞加莱圆盘内是由 $H$ 那样的切于单位圆周的圆周来表示的．

我们现在来求庞加莱圆盘中的度量。习题 19 说明怎样把它硬算出来，但是下面的几何方法 ${ }^{(1)}$ 更有启发性，也省力得多．首先，图 6－36a 使我们想起了前面得到的 （6．33）：若 $d s$ 是由 $z$ 发出的水平直线元素，它具有无穷小欧几里得长度，则 $L$ 与 $E$之角就是其双曲长度 $d \hat{s}=[ d s / \operatorname{Im}(z)]$ ．

注意，若用纯粹的双曲几何的语言来说，$L$ 就是正交于 $d s$ 的 h 直线，而 $E$ 是 $L$ 的一条等距曲线，若做 h 旋转 $R _z^\phi$ ，则 $L$ 变成了另一条 h 直线 $L^{\prime}, E$ 变成了 $L^{\prime}$的一条等距曲线 $E^{\prime}$ ，而 $L^{\prime}$ 与 $E^{\prime}$ 间的角与原来 $L$ 与 $E$ 之间的角一样。这样我们就得到了以下的一般的做法：

过 $d s$ 之一端做正交于 $d s$ 的 h 直线 $l$ ，过其另一端做等距曲线 $e$ ．这时 $d s$ 的 h 长度 $d \hat{s}$ 就是 $l$ 与 $e$（在天际线上）的交角．

这样把 $d \hat{s}$ 解释成一个角，其美丽之处在于把复平面映到庞加莱圆盘的默比乌斯变换 $D$ 是共形的，所以在庞加莱圆盘中上述构造 $d \hat{s}$ 的方法也适用！

图 6－36b 画出了一个中心在庞加莱圆盘的 $z=r e ^{ i \theta}$ 处，且有半径 $d s$ 的无穷小圆盘。因为映射是共形的，所以 $d s$ 的 h 长度 $d \hat{s}$ 与 $d s$ 的方向无关，我们由此可取 $d s$ 正交于过 $z$ 点的直径 $l$ ，从而简化构造（6．43）．等距曲线 $e$ 就是在图上画的过 $l$两端的欧氏圆弧。

为把这一个关于 $d \hat{s}$ 的图形转变为公式，我们先要注意到，若 $\rho$ 是包含圆弧 $e$的圆周的半径，则（请画一个图！）

$$
\rho d \hat{s}=1
$$

然后，请回忆一下（或重新证明一下）图 6－36c 所画出的关于圆周的一个熟知的性质：对于所有过一固定内点的弦，此内点把弦所分剖成的两部分乘积相等，即图上的 $A B=A^{\prime} B^{\prime}$ ，把这个结果用于图 6－36d（它其实是图 6－36b 的放大），即有［练习］

$$
2 \rho d s=(1-r)(1+r)=1-|z|^2
$$

所以，庞加莱圆盘中的度量是

$$
d \hat{s}=\frac{2}{1-|z|^2} d s .
$$

请注意它与（6．16）惊人地相似！
 
 
 
  ![图片](/uploads/2025-06/f4de0a.jpg)
  
  
因为连接 0 到 $z$ 的欧氏直线段也是一条 h 直线段，沿它积分就可以得出这两点的 $h$ 间隔：

$$
H \{0, z\}=\int_0^{|z|} \frac{2 d r}{1-r^2}=\int_0^{|z|}\left[\frac{1}{1+r}+\frac{1}{1-r}\right] d r
$$

所以

$$
H \{0, z\}=\ln \left(\frac{1+|z|}{1-|z|}\right)
$$

此公式有一个简单的验证法，当 $z$ 趋向单位圆周（天际线）时， $H \{0, z\}$ 趋向无穷大，而它本来就应该如此．

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