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微分几何/黎曼几何
第一篇 非欧几何入门
庞加莱圆盘
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2025-06-30 08:57
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庞加莱圆盘
## 庞加莱圆盘 贝尔特拉米除了上述半平面模型外,还在 Beltrami[1868']中构造了双曲平面的另一个极有用的共形地图,这一次是做在单位圆盘内. 14 年后,庞加莱重新发现了这个地图,所以现在普遍地(然而张冠李戴地)把它叫作庞加莱圆盘。 图 6-35a 画出了这个构造过程的第一步,即用反演 $$ z \mapsto \widetilde{z}= I _K(z) $$ 映整个上半平面到单位圆盘内,$K$ 就是图上画的以 - i 为中心并经过 $\pm 1$ 的圆周.为了使这个圆盘能代表双曲平面,它的度量必须是从上半平面继承而来的.这就是说,我们必须定义圆盘内两点 $\widetilde{a}$ 和 $\widetilde{b}$ 的 h 间隔 $H \{\widetilde{a}, \widetilde{b}\}$ 为它们在上半平面中的原象 $a$ 和 $b$ 的 h 间隔 $H \{a, b\}$ 。注意,这就意味着[练习]圆盘中的 h 直线应定义 ${ }^{(1)}$为上半平面中的 h 直线之象.  在往下读之前请先仔细考虑图 6-35a,直到把以下细节都弄清楚为止:(i)$\pm 1$ 为不动点, i 被映到 0 ;(ii)上半平面的整个有阴影的区域被映为有阴影的下半单位圆盘;(iii)上半平面的其余部分(即白色的上半单位圆盘)被映为其自身;(iv)圆盘内的 $h$ 直线是上半平面的 $h$ 直线之象,它们是与单位圆周正交的圆弧;(v)双曲平面的整个天际线用单位圆周代表,上半平面的铅直 h 直线在无穷远处的公共点现在用-i 表示。 至此我们已经得到了双曲平面在单位圆盘内的地图。然而,因为 $I _K(z)$ 是反共形的,所以这个地图也是反共形的:上半平面中的角现在用圆盘内相等但是反号的角来表示。如果我们再做 $z \mapsto \bar{z}$ 把圆盘对实轴反射为其自身,则角的符号将再反转一次,我们就得到了共形的庞加莱圆盘。 这样,从庞加莱半平面到庞加莱圆盘的净变换就是 $z \mapsto I _K(z)
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