最后更新: 2025-06-30 09:00 查看: 22 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

庞加莱圆盘中的运动

## 庞加莱圆盘中的运动
在上半平面中我们发现了：每个保向运动都是两个 h 反射的复合，而每个反向运动则是 3 个 h 反射的复合。因为庞加莱圆盘的内蕴几何与上半平面的内蕴几何完全相同，这个结果必定仍旧成立，余下的只是要找出在庞加莱圆盘中， h 反射是什么意思。在上半平面中我们已经看到，对于 h 直线 $K$ 的 h 反射就是对 $K$ 的几何反演，在庞加莱圆盘中也是这样！

这是很容易理解的，在上半平面中，说 $q$ 是 $p$ 点对 $K$ 的 h 反射，就是说 $p$ 与 $q$（在反演意义下）关于 $K$ 对称。为使庞加莱圆盘等距于上半平面，我们一直坚持要求映射 $z \mapsto \widetilde{z}=D(z)$ 保持双曲距离。特别是，$\widetilde{q}$ 是 $\widetilde{p}$ 对 $\widetilde{K}$ 的反射，但是，$D(z)$ 是默比乌斯变换，所以对称原理［3．5．1节的第三条］蕴涵着 $\widetilde{p}$ 和 $\widetilde{q}$ 关于 $\widetilde{K}$ 对称，这就是我们要证明的．

这样，庞加莱圆盘中的每个保向运动 $M$ 都可写为

$$
M =\Re_{L_2} \circ \Re_{L_1}= I _{L_2} \circ I _{L_1},
$$

这里 $L_1$ 和 $L_2$ 是 h 直线，即正交于单位圆周的圆弧．和在上半平面中一样，每个保向运动都是一个非斜驶型默比乌斯变换。我们已经看到保向运动恰好有 3 种可以区分的双曲类型，而其区别如果用 $L_1$ 和 $L_2$ 来讲，和前面是一样的：相交时可得一个 h 旋转，渐近时可得极限旋转，超平行时为 h 平移。我们马上就来讨论这些默比乌斯变换的公式，但是我们先来画一下图。

图 6－37a 是一个典型的 h 旋转，请注意其中出现了有公共 h 圆心的 h 圆周。图 6－37b 画出了一个令人愉快的事实：若 $L_1$ 和 $L_2$ 在原点相交（这时它们都是欧氏直径），则所得的 h 旋转看起来和欧氏旋转一样。

在这一点上，要给出几句警告。我们作为欧几里得族生物，总受到一种不可抑制的诱惑，以为庞加莱圆盘的圆心有什么特殊之外．所以必须时时提醒自己：对于住在这个圆盘中的庞加莱族生物，每一点与其他的点都无区别。特别是，庞加莱族生物看不出图 6－37a 和图 6－37b 有什么不同．

![图片](/uploads/2025-06/158275.jpg)

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