最后更新: 2025-06-30 09:00 查看: 56 次纠错评论(0) 课件开VIP

庞加莱圆盘中的运动

## 庞加莱圆盘中的运动
在上半平面中我们发现了：每个保向运动都是两个 h 反射的复合，而每个反向运动则是 3 个 h 反射的复合。因为庞加莱圆盘的内蕴几何与上半平面的内蕴几何完全相同，这个结果必定仍旧成立，余下的只是要找出在庞加莱圆盘中， h 反射是什么意思。在上半平面中我们已经看到，对于 h 直线 $K$ 的 h 反射就是对 $K$ 的几何反演，在庞加莱圆盘中也是这样！

这是很容易理解的，在上半平面中，说 $q$ 是 $p$ 点对 $K$ 的 h 反射，就是说 $p$ 与 $q$（在反演意义下）关于 $K$ 对称。为使庞加莱圆盘等距于上半平面，我们一直坚持要求映射 $z \mapsto \widetilde{z}=D(z)$ 保持双曲距离。特别是，$\widetilde{q}$ 是 $\widetilde{p}$ 对 $\widetilde{K}$ 的反射，但是，$D(z)$ 是默比乌斯变换，所以对称原理［3．5．1节的第三条］蕴涵着 $\widetilde{p}$ 和 $\widetilde{q}$ 关于 $\widetilde{K}$ 对称，这就是我们要证明的．

这样，庞加莱圆盘中的每个保向运动 $M$ 都可写为

$$
M =\Re_{L_2} \circ \Re_{L_1}= I _{L_2} \circ I _{L_1},
$$

这里 $L_1$ 和 $L_2$ 是 h 直线，即正交于单位圆周的圆弧．和在上半平面中一样，每个保向运动都是一个非斜驶型默比乌斯变换。我们已经看到保向运动恰好有 3 种可以区分的双曲类型，而其区别如果用 $L_1$ 和 $L_2$ 来讲，和前面是一样的：相交时可得一个 h 旋转，渐近时可得极限旋转，超平行时为 h 平移。我们马上就来讨论这些默比乌斯变换的公式，但是我们先来画一下图。

图 6－37a 是一个典型的 h 旋转，请注意其中出现了有公共 h 圆心的 h 圆周。图 6－37b 画出了一个令人愉快的事实：若 $L_1$ 和 $L_2$ 在原点相交（这时它们都是欧氏直径），则所得的 h 旋转看起来和欧氏旋转一样。

在这一点上，要给出几句警告。我们作为欧几里得族生物，总受到一种不可抑制的诱惑，以为庞加莱圆盘的圆心有什么特殊之外．所以必须时时提醒自己：对于住在这个圆盘中的庞加莱族生物，每一点与其他的点都无区别。特别是，庞加莱族生物看不出图 6－37a 和图 6－37b 有什么不同．

![图片](/uploads/2025-06/158275.jpg)
 图 6－38a 画出了一个典型的极限旋转，它是由 $L_1$ 以及一个与它在天际线上 $A$点处渐近的 $L_2$ 生成的．请再次注意，不变曲线都是切于 $A$ 点的极限圆，而它们与所有在 $A$ 点渐近的 h 直线都正交．

最后，图 6－38 画了一个典型的 h 平移．再一次请注意，这时恰好有一条不变 h直线［即图上的粗黑线］，不变的等距曲线是通过它的端点的圆弧．

从我们在上半平面的工作中可以知道，上面画的 3 类运动就是庞加莱圆盘中仅有的保向运动，现在我们就转来寻找描述它们的公式．我们知道每一个保向运动都是一个映单位圆盘为其自身的默比乌斯变换，在第 3 章末，我们曾以一种令人厌烦的先见之明研究过单位圆盘的这些＂默比乌斯自同构＂。我们还看到了［3．9．2节 $(3.51)]$ ，其最一般的一个 $M_a^\phi(z)$ 是

$$
M_a^\phi(z)=e^{i \phi} M_a(z) \text {, 其中 } M_a(z)=\frac{z-a}{\bar{a} z-1} \text {. }
$$

这样，$M_a^\phi$ 就是 $M_a$ 与绕原点旋转 $\phi$ 的复合．
 
 
 
  ![图片](/uploads/2025-06/9d9310.jpg)
  
 
注意，$M_a$ 把 $a$ 和 0 对换：$M_a(a)=0, M_a(0)=a$ ．更一般地说，$M_a$ 把每一对点 $z$ 和 $M_a(z)$ 都对换：这个变换是对合的．这可由图 6－39a 来解释，此图让我们回忆起 3．9．3 节的图 3－39 所表示的结果：

$$
M_a= I _B \circ I _A
$$

其中 $B$ 是过 $a$ 的直径，$A$ 是以 $(1 / \bar{a})$ 为中心且正交于单位圆周的圆周．
 
 双曲几何为这个结果提供了一个新的视角：$A$ 和 $B$ 的交点 $m$ 就是 0 与 $a$ 的 h 中点，$A$ 是 h 直线段 $0 a$ 的 h 垂直平分线．此外，对 $A$ 和 $B$ 的反演都是 h 反射．这样，$M_a$ 就是对两条过 $m$ 且互相正交的 h 直线的 h 反射的复合，所以

将 $a$ 与 0 对换的唯一默比乌斯自同构就是绕 h 直线段 $0 a$ 的 h 中点旋转 $\pi$ 的 h 旋转 $R _m^\pi$ ．

这种新的洞察的直接好处就是，我们现在可以很容易地找到任意两点 $a$ 与 $z$的 h 间隔的公式． h 旋转 $M_a$ 把 $a$ 带到原点，而我们早已知道由一点到原点的 h 距离的公式（6．45）：

$$
H \{a, z\}= H \left\{M_a(a), M_a(z)\right\}= H \left\{0, M_a(z)\right\}=\ln \left(\frac{1+\left|M_a(z)\right|}{1-\left|M_a(z)\right|}\right)
$$

所以

$$
H \{a, z\}=\ln \left(\frac{|\bar{a} z-1|+|z-a|}{|\bar{a} z-1|-|z-a|}\right)
$$

现在我们再继续关于 $M_a^\phi$ 的讨论并把它完成．正如图 6－37b 所示，欧氏旋转 $z \mapsto e ^{ i \phi} z$ 就是 h 旋转 $R _0^\phi$ ．所以，圆盘的最一般的默比乌斯自同构可以解释为两个 h 旋转的复合：

$$
M_a^\phi= R _0^\phi \circ R _m^\pi
$$

图 6－39b 说明这两个 h 旋转的复合法，用的正是欧氏几何和球面几何中同样的思想． h 旋转 $R _0^\phi$ 是对任意两条经过 0 而且交角为 $(\phi / 2)$ 的两条 h 直线（即直径）所做 h 反射的复合．如果取第一条 h 直线为 $B$ ，第二条记为 $C$ ，我们得到

$$
M_a^\phi=\left(\Re_C \circ \Re_B\right) \circ\left(\Re_B \circ \Re_A\right)=\Re_C \circ \Re_A .
$$

所以 $M_a^\phi$ 是 h 旋转、极限旋转或 h 平移，视 $A$ 与 $C$ 为相交、渐近或超平行而定．
如果视 $a$ 为固定的而 $\phi$ 变动，则 $\phi$ 有一个临界值 $\phi=\Phi$ 把 h 旋转与 h 平移分开，在这个临界值处，$C$ 的位置成为 $C^{\prime}$［图6－39b上的虚线］，它与 $A$ 在 $p$ 点渐近．不难看到，三角形 $p a 0$ 是直角三角形［练习］，故 $\cos (\Phi / 2)=|a|$ ，亦即

$$
\Phi=2 \arccos |a|
$$

这就解释了 3．9．3 节的结果（3．53），这个结果已在第 3 章的习题 27 中用代数方法证明过了．总结起来，我们有

圆盘的最一般的默比乌斯自同构 $M_a^\phi$ 是一个保向双曲运动，且：
（i）当 $\phi<\Phi$ 时，它是一个 h 旋转；（ii）当 $\phi=\Phi$ 时为极限旋转；（iii）当 $\phi>\Phi$ 时为 h 平移．

![图片](/uploads/2025-06/c214bb.jpg)
 
 最后，回想一下，第 3 章的习题 20 告诉我们，形如 $M_a^\phi$ 的默比乌斯变换的集合即是以下形式的 $M(z)$ 之集合：

$$
M(z)=\frac{A z+B}{\widetilde{B} z+\widetilde{A}} \text {, 其中 }|A|>|B| \text {. }
$$

将此式与（6．20）比较，即知：在球面与双曲平面之间，不仅其度量的形状，还有表示保向运动的默比乌斯变换的形状，都有令人注目的相似性。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：庞加莱圆盘

下一篇：半球面模型与双曲空间

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)