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半球面模型与双曲空间

## 半球面模型与双曲空间
图 6－40 画出了我们怎样得出双曲平面的两个新模型．按照 Beltrami［1868＇］，把庞加莱圆盘从黎曼球面的南极 $S$ 用球极射影投影到北半球面。对北半球面上的两点，定义其 h 间隔就是它们的原象在庞加莱圆盘中的 h 间隔，这样，我们就得出了双曲平面的一个新的共形地图，称为其半球面模型。这个模型中的 h 直线就是庞加莱圆盘中的 h 直线的象，因为球极射影保持圆周和角，我们可以导出：半球面模型中的 h 直线就是半球面上的铅直（半圆）截口［练习］．等距曲线和极限圆现在是什么样子呢？

![图片](/uploads/2025-06/6af4fa.jpg)
 
 其实，半球面才是贝尔特拉米的双曲平面的原始的模型，再对这个半球面施以上述的球极射影，他才得到了庞加莱圆盘。事实上，贝尔特拉米用不同的方法对此半球面做投影，他就（以一种统一的方式）得到了几乎所有的现在使用的模型。

例如，他把此半球面垂直投影到复平面上（见图 6－40a），就在单位圆盘内得出了双曲平面的一个新模型．现在称之为克莱因模型或投影模型．因为半球面上的小圆周清楚地被投影为圆盘中的椭圆，所以克莱因模型不是共形的。这是一个严重的缺点，但是由于半球的垂直部分都投影为（欧氏）直线这个事实，这一点也得到了补偿：克莱因模型中的 h 直线是单位圆周内的直的欧氏弦。请注意此事与图 6－12的类比，在那个图中球面上的测地线是由地图上的直线来表示的，习题 14 将会揭示出这个类比并非表面的。

克莱因模型的其他性质将在习题中探讨，此刻我们已经钓上了一条大鱼！迄今为止我们都是专注于发展双曲平面上的几何学，这个平面乃是欧氏平面的负向弯曲 （意指为负曲率）的对应物。而欧氏平面的几何又可以认为是由三维欧氏空间的几何学继承而来的．这就是说，若 $(X, Y, Z)$ 是这个空间的笛卡儿坐标，则此空间中两个无穷小间隔的点之距离 $d s$ 是 
$$
d s=\sqrt{d X^2+d Y^2+d Z^2}
$$

把这个公式限制在通常平面的点上，就得到二维欧氏几何，
所以这就产生了一个问题：是否也存在一个负向弯曲（先不管这话是什么意思）的三维欧氏空间的对应物，使得由此对应物在它的＂平面＂上诱导出来的几何学自动地就是双曲平面的几何学呢？我们要证明，这种三维双曲空间确实是存在的．

为此，我们先来求半球面模型的度量，因为由庞加莱圆盘到半球面的球极射影是共形的，可知 $d \hat{s}$ 又一次可由构造（6．43）给出，又因 $d \hat{s}$ 与半球面上的 $d s$ 的方向无关，我们可以通过为 $d s$ 选一个吉利的方向来简化我们的构造。对于庞加莱圆盘， $d s$ 的方向最好是选取正交于过所研究的点的直径，所以在半球面上的最佳选择就是这个构形的球极射影。

这样，在图 6－40b 中我们选 h 直线 $l$ 为半球面的铅直截口，此截口要通过 $N$ 点与 $d s$ 的出发点．这样一来，$l$ 与 $e$ 都成了半个大圆：$l$ 的平面是铅直的，$e$ 的平面与铅直平面的倾角是 $d \hat{s}$ ，这两个平面的交线就是图上所画的在 $l$ 正下方的单位圆周的直径

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