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半球面模型与双曲空间

## 半球面模型与双曲空间
图 6－40 画出了我们怎样得出双曲平面的两个新模型．按照 Beltrami［1868＇］，把庞加莱圆盘从黎曼球面的南极 $S$ 用球极射影投影到北半球面。对北半球面上的两点，定义其 h 间隔就是它们的原象在庞加莱圆盘中的 h 间隔，这样，我们就得出了双曲平面的一个新的共形地图，称为其半球面模型。这个模型中的 h 直线就是庞加莱圆盘中的 h 直线的象，因为球极射影保持圆周和角，我们可以导出：半球面模型中的 h 直线就是半球面上的铅直（半圆）截口［练习］．等距曲线和极限圆现在是什么样子呢？

![图片](/uploads/2025-06/6af4fa.jpg)
 
 其实，半球面才是贝尔特拉米的双曲平面的原始的模型，再对这个半球面施以上述的球极射影，他才得到了庞加莱圆盘。事实上，贝尔特拉米用不同的方法对此半球面做投影，他就（以一种统一的方式）得到了几乎所有的现在使用的模型。

例如，他把此半球面垂直投影到复平面上（见图 6－40a），就在单位圆盘内得出了双曲平面的一个新模型．现在称之为克莱因模型或投影模型．因为半球面上的小圆周清楚地被投影为圆盘中的椭圆，所以克莱因模型不是共形的。这是一个严重的缺点，但是由于半球的垂直部分都投影为（欧氏）直线这个事实，这一点也得到了补偿：克莱因模型中的 h 直线是单位圆周内的直的欧氏弦。请注意此事与图 6－12的类比，在那个图中球面上的测地线是由地图上的直线来表示的，习题 14 将会揭示出这个类比并非表面的。

克莱因模型的其他性质将在习题中探讨，此刻我们已经钓上了一条大鱼！迄今为止我们都是专注于发展双曲平面上的几何学，这个平面乃是欧氏平面的负向弯曲 （意指为负曲率）的对应物。而欧氏平面的几何又可以认为是由三维欧氏空间的几何学继承而来的．这就是说，若 $(X, Y, Z)$ 是这个空间的笛卡儿坐标，则此空间中两个无穷小间隔的点之距离 $d s$ 是 
$$
d s=\sqrt{d X^2+d Y^2+d Z^2}
$$

把这个公式限制在通常平面的点上，就得到二维欧氏几何，
所以这就产生了一个问题：是否也存在一个负向弯曲（先不管这话是什么意思）的三维欧氏空间的对应物，使得由此对应物在它的＂平面＂上诱导出来的几何学自动地就是双曲平面的几何学呢？我们要证明，这种三维双曲空间确实是存在的．

为此，我们先来求半球面模型的度量，因为由庞加莱圆盘到半球面的球极射影是共形的，可知 $d \hat{s}$ 又一次可由构造（6．43）给出，又因 $d \hat{s}$ 与半球面上的 $d s$ 的方向无关，我们可以通过为 $d s$ 选一个吉利的方向来简化我们的构造。对于庞加莱圆盘， $d s$ 的方向最好是选取正交于过所研究的点的直径，所以在半球面上的最佳选择就是这个构形的球极射影。

这样，在图 6－40b 中我们选 h 直线 $l$ 为半球面的铅直截口，此截口要通过 $N$ 点与 $d s$ 的出发点．这样一来，$l$ 与 $e$ 都成了半个大圆：$l$ 的平面是铅直的，$e$ 的平面与铅直平面的倾角是 $d \hat{s}$ ，这两个平面的交线就是图上所画的在 $l$ 正下方的单位圆周的直径。

现在令我们画的 $d s$ 的出发点坐标是 $(X, Y, Z)$ ，其中 $X$ 和 $Y$ 的方向恰好是 $C$ 的实轴与虚轴方向，所以 $Z$ 就表示一点离 $C$ 的高度。由于 $d s$ 正交于 $l, l$ 的铅直平面又正交于半球面，所以 $d s$ 是水平的．而 $d s$ 在正下方的 $(X, Y, 0)$ 点所张的角就是 $( d s / Z)$ ．但是这个角就是 $l$ 与 $e$ 的夹角！这样，半球面模型的度量就是

$$
d \hat{s}=\frac{d s}{Z}
$$
这个公式只描述了半球面上的点的 h 间隔，但是我们完全可以用它来定义三维区域 $Z>0$ 中任意两个无穷小间隔的点的 h 间隔。这个位于 $C$ 之上方的区域，在有了（6．47）所定义的 h 距离后，就称为三维双曲空间的半空间模型．由（6．47）即知， $C$ 中的点距严格位于 $C$ 的上方的点之 h 距离是无穷大，对此我们不来详细讨论．总之， $C$ 就表示双曲空间的二维天际面或称为其无穷远球面．

至此为止，说由（6．47）诱导出来的半球面上的几何学就是双曲平面的几何学，似乎就只不过是同义语的反复而已了。为了进而看到这个思想里还真正有点东西，我们先从考虑双曲空间中的一些简单的运动开始． $d \hat{s}$ 很明显不会因平行于 $C$ 的平移而改变，所以这是一个运动．它也不会因以原点为中心的伸缩 $(X, Y, Z) \mapsto$ $(k X, k Y, k Z)$ 而改变。更为一般地说，以 $C$ 之任意点为中心的伸缩都会保持 $d \hat{s}$ ，所以这也是一个运动。

把这两种运动都用于我们正在研究的以原点为中心的半球面，就会看到：
在半空间模型中，每个正交于 $C$ 的半球面都是双曲平面．

在欧氏几何中两个平面的交线都是直线，这就暗示我们，一条 h 直线应该是两个双曲平面的交线．这样，我们就能预期到，每个正交于 $C$ 的半圆周都是 h 直线，这是因为每个这样的半圆周都是两个正交于 $C$ 的半球面的交线。注意，这与一件我们已知的事是一致的：半球面模型中的 h 直线就是正交于 $C$ 的半圆周。

让我们暂时回到二维几何．图 6－41 画出了贝尔特拉米是怎样从他的半球面模型得到上半平面模型的．令 $q$ 为半球面边缘上的一点，用球极射影把这个半球面投影到它在 $q$ 之对径点（图 6－41 上的黑点）处的切平面上——其实任意切平面都可以．因为球极射影保持圆周和角，所以半球面上一个典型的 h 直线被映为此切平面的上半平面的正交于底边的半圆周，而过 $q$ 的 h 直线被映为铅直直线．

![图片](/uploads/2025-06/4a4cd0.jpg)
 
 因为这些象都是 h 直线，所以看起来我们已得出了庞加莱的上半平面，但是为了确定这一点，我们还要检验一下这个半平面上是否因此而真正赋有了由（6．31）给出的度量。因为球极射影是共形的，我们可以再用一次（6．43）．取 $l$ 为一过 $q$ 的 h 直线之象，从图上立即可以看到 $d \hat{s}=( d s / Z)$ ．其实这就是（6．31），只不过记号不同而已。

我们就这样回到了我们的出发点——半平面，但是重回故地时我们已经比出发时聪明多了。再看一下（6．47），我们认出了这个正交于 $C$ 的半平面就是双曲空间里的双曲平面．这也揭露出了球极射影在图 6－41 中的真正作用．

我们知道，由 $q$ 出发的球极射影就是对于以 $q$ 为中心的球面 $K$ 之反演 $I _K$ 在此半球面上的限制。用与平面情况相同的论证（见图 6－22b），我们看到 $I _K$ 保持度量（6．47），所以它是双曲空间的一个运动，而将 h 直线变为 h 直线，将 h 平面变为 h 平面．此外，（6．48）还告诉我们 $K$ 也是这个双曲空间中的双曲平面，因此我们怀疑 $I _K$ 就是对这个 h 平面的反射．只要推广图 6－23b 的论证就可以证实这一点［练习］．所以我们就有了（6．38）的如下推广：

对于正交于天际面的半球面 $K$ 的反演就是双曲空间对 h 平面 $K$ 的反射 $\Re_k$ 。

探讨双曲空间中的运动已经超过了本书的范围 ${ }^{(1)}$ ，然而，让我们至少描述一下一个特别美丽的结果。

正如一个 $h$ 平面上的任意保向运动都是对其中两条 $h$ 直线的反射的复合，双曲空间中的任意保向运动也是对其中的 $h$ 平面的四个反射的复合。这样在以 $C$ 为天际面的上半空间模型中，这样一个运动就是对球心在 $C$ 上的球面做的四个反演的复合。如果我们限制在 $C$ 上之点，则对这样一个球面 $K$ 的反演就成了 $C$ 上对于一个圆周的二维反演，这个圆周就是 $K$ 与 $C$ 相交而成的赤道圆周。反之， $C$ 上对一个圆周 $k$ 的反演也一定可以唯一地拓展为空间的反演：只要做一个球面以 $k$ 为赤道就行了。

这样，双曲空间的每一个保向运动最终都可以用天际面（即 $C$ ）上的东西表示为对四个圆周反演的复合，而这正是复平面 $C$ 上的最一般的默比乌斯变换

$$
z \mapsto M(z)=\frac{a z+b}{c z+d}!
$$

庞加莱在 1883 年发现了这个奇特的事实。
我们已经看见：双曲平面、欧氏平面和球面上的保向运动之群，都是这个一般的默比乌斯变换的群之子群．我们马上就会看到，这个事实有一个十分引人注目的几何解释。

希尔伯特关于常值负曲率曲面的结果表明，三维欧氏几何不可能为双曲平面提供一个模型．然而，令人惊奇的是，三维双曲空间确实包含了一些曲面，其内蕴几何正是欧氏几何！事实上，极限球面（它们是极限圆的推广）就是这种曲面。与图6－28相类似，切于 $C$ 的欧氏球面以及平行于 $C$ 的平面 $Z=$ 常数都是极限球面．

在我们的双曲空间模型中，正交于 $C$ 的铅直平面看起来是平坦的，而其实是内蕴地为弯曲的双曲平面。但是，一个极限球面 $Z=$ 常数不仅看起来是平坦的，而且真的是平坦的．因为它从围绕着它的空间的度量（6．47）继承来的度量是

$$
d \hat{s}=(\text { 常数 }) d s,
$$

而这就是欧氏平面的度量！
于是，欧氏平面几何中的运动现在可以看作双曲空间中那些把这个内蕴地平坦的极限球面映为其自身的运动．很清楚，这些运动就是对铅直平面的反射（也就是对正交于这些极限球面的 $h$ 平面的 $h$ 反射）的复合。这样，欧氏平面的保向运动群，在天际面 $C$ 上就表现为默比乌斯变换的子群。

至于球面几何，我们是从把 $h$ 球面定义为到一个定点（即 $h$ 球心）有等 $h$ 距离的点的集合．不难看到，这些 h 球面，在半空间模型中是由欧氏球面来表示的，虽然它们的 h 球心不一定就是欧几里得球心．

虽然在这个模型中并不是马上就可以明显地看到，这样一个 h 球面的内蕴几何，就是欧氏空间中的通常的球面（但半径不同）的内蕴几何，但是这是可以证明的［见习题 27］．这个 h 球面的运动，和极限球面一样，可以看作双曲空间中映此 h球面为其自身的运动。它们也是对正交于此 $h$ 球面的 $h$ 平面的 $h$ 反射之复合，而我们又一次达到默比乌斯变换的一个子群。

显然，双曲平面的运动也可以这样来看，所以现在我们就可以用一个合适的高潮来结束本章：二维的双曲几何、欧氏几何和球面几何都被包括在三维的双曲几何中。

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