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关于一个随机变量的条件期望

## 1．5．3 关于一个随机变量的条件期望 \＃

请参考（刘勇 2022）。
定义1．17 设 $B$ 是一个事件，且 $P(B)>0$ ，则事件 $B$ 发生的条件下事件 $A$ 发生的条件概率为

$$
P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}
$$

当 $P(B)>0$ 时，$A, B$ 独立当且仅当 $P(A \mid B)=P(A)$ 。
定义1．18 设 $P(C)>0$ ，称事件 $A, B$ 在事件 $C$ 的条件下独立，若

$$
P(A B \mid C)=P(A \mid C) P(B \mid C)
$$

条件独立不一定独立，独立也不一定条件独立。见例1．36和例1．37。
定理1．21（全概率公式）设 $\left\{B_n\right\}$ 是 $\Omega$ 的一个分割，且 $P\left(B_n\right)>0, \forall n$ 。对 $A \in F$ ，有

$$
P(A)=\sum_n P\left(B_n\right) P\left(A \mid B_n\right)
$$

定理1．22（Bayes公式）设 $\left\{B_n\right\}$ 是 $\Omega$ 的一个分割，且 $P\left(B_n\right)>0, \forall n$ ，如果 $P(A)>0$ ，则

$$
P\left(B_k \mid A\right)=\frac{P\left(B_k\right) P\left(A \mid B_k\right)}{\sum_n P\left(B_n\right) P\left(A \mid B_n\right)}, \forall k
$$

如果 $X$ 与 $Y$ 是离散型随机变量，设 $X$ 的取值集合为 $\left\{x_k, k=1,2, \ldots\right\}$ ，则给定 $X=x_k$ 时，$Y$ 的条件概率分布定义为：

$$
P\left\{Y=y \mid X=x_k\right\}=\frac{P\left\{X=x_k, Y=y\right\}}{P\left\{X=x_k\right\}}
$$

$Y$ 的条件分布函数定义为：

$$
F\left(y \mid x_k\right)=P\left\{Y \leq y \mid X=x_k\right\}
$$

$Y$ 的条件期望定义为：

$$
E\left[Y \mid X=x_k\right]=\int_{-\infty}^{\infty} y d F\left(y \mid x_k\right)=\sum_m y_m P\left\{Y=y_m \mid X=x_k\right\}
$$

如果 $X$ 与 $Y$ 有联合概率密度函数 $f(x, y)$ ，则对一切使得 $f_X(x)>0$ 的 $x$ ，给定 $X=x$ 时，$Y$ 的条件概率密度函数定义为：

$$
f(y \mid x)=\frac{f(x, y)}{f_X(x)}
$$

$Y$ 的条件分布函数定义为：

$$
F(y \mid x)=P\{Y \leq y \mid X=x\}=\int_{-\infty}^y f(u \mid x) d u
$$

$Y$ 的条件期望定义为：

$$
E[Y \mid X=x]=\int_{-\infty}^{\infty} y d F(y \mid x)=\int_{-\infty}^{\infty} y f(y \mid x) d y
$$

当 $E[Y \mid X=x]$ 有定义时，记 $g(x)=E[Y \mid X=x]$ ，对给定 $x$ 这是一个常数值，非随机；以 $X$ 代入， $g(X)$ 是 $X$ 的函数，也是随机变量，记作 $E[Y \mid X] 。 E[Y \mid X]$ 是利用自变量 $X$ 的信息对因变量 $Y$ 所作的均方误差最小的预测。

对离散分布的 $X$ ，设 $X$ 的取值集合为 $\left\{x_k, k=1,2, \ldots\right\}$ ，这时 $g\left(x_k\right)=E\left[Y \mid X=x_k\right]$ ， $E[Y \mid X]=g(X)$ 当 $X=x_k$ 时为 $E\left[Y \mid X=x_k\right]$ ，所以可以写成

$$
E[Y \mid X]=\sum_{k=1}^{\infty} E\left[Y \mid X=x_k\right] I_{\left\{X=x_k\right\}}
$$

定理1．23（全期望公式）设 $X, Y$ 为随机变量，期望存在，则

$$
E[Y]=E\{E[Y \mid X]\}=\int_{-\infty}^{\infty} E[Y \mid X=x] d F_X(x)
$$

当 $X$ 为一个离散随机变量时，设其取值集合为 $\left\{x_k, k=1,2, \ldots\right\}$ ，（1．4）式为

$$
E[Y]=\sum_{k=1}^{\infty} E\left[Y \mid X=x_k\right] P\left\{X=x_k\right\}
$$

当 $(X, Y)$ 为连续型随机向量时，（1．4）式为

$$
E[Y]=\int_{-\infty}^{\infty} E[Y \mid X=x] f_X(x) d x
$$

给定 $X=x$ 条件下的 $Y$ 的条件分布的方差称为条件方差，记为 $\operatorname{Var}(Y \mid X=x)$ ：

$$
\operatorname{Var}(Y \mid X=x)=\int_{-\infty}^{\infty}(y-E(Y \mid X=x))^2 d F(y \mid X=x)
$$

这是 $x$ 的函数 $h(x)$ ，记 $\operatorname{Var}(Y \mid X)=h(X)$ 。
命题1．6 设 $E\left(Y^2\right)<\infty$ ，则

$$
\operatorname{Var}(Y)=E[\operatorname{Var}(Y \mid X)]+\operatorname{Var}[E(Y \mid

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