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随机元和弱收敛与Lebesgue积分

1．6．3 随机元和弱收敛

设 $X$ 是概率空间 $(\Omega, F , P)$ 到可测空间 $(S, B (S))$ 的可测函数，称为随机元。 $X$ 导出了 $S$ 中的测度 $Q(A)=P\left(X^{-1}(A)\right)$ 。

设 $(S, \rho)$ 是距离空间， $B (S)$ 是其中的开集张成的 $\sigma$ 代数，若 $Q_n$ 和 $Q$ 是 $(S, B (S))$ 中的概率测度，满足

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_S g(s) d Q_n(s)=\int_S g(s) d Q(s)
$$

对任意定义在 $S$ 上的实值连续有界函数 $g$ 成立，则称 $Q_n$ 弱收玫到 $Q$ 。
若 $P\left(X_n^{-1}(\cdot)\right)$ 弱收敛到 $P\left(X^{-1}(\cdot)\right)$ ，则称 $X_n$ 依分布收敛到 $X_{\circ} \quad X_n$ 也可以定义在不同的概率空间中。连续变换可以保持依分布收敛性。

当 $S= R ^n$ 时，依分布收敛当且仅当特征函数点点收敛。

1．6．4 Lebesgue积分
考虑 $( R , B ( R ))$ ，可以定义关于 $A \in B ( R )$ 的函数 $L(A)$ 满足
（1）$L(A) \geq 0$ ；
（2）$L([a, b])=b-a,-\infty<a<b<\infty$ ；
（3）对互不相交的 $A_n \in B ( R )$ ，有

$$
L\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty} L\left(A_n\right)
$$

称 $L(\cdot)$ 为Borel测度。将 $B ( R )$ 完备化，记作 $L ( R ), ~ L(\cdot)$ 可以扩充到 $L ( R )$ ，称为Lebesgue测度。对 $A \in L ( R )$ ，记 $I_A(x)$ 为 $A$ 的示性函数，对 $A_1, \ldots, A_n \in L ( R )$ 和实数 $b_1, \ldots, b_n$ ，令

$$
g(x)=\sum_{k=1}^n b_k I_{A_k}(x)
$$

称 $g(x)$ 为简单可测函

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