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随机过程的基本类型

## 2．3．1 平稳过程

定义2．6如果随机过程 $\{X(t), t \in T\}$ 对任意的 $t_1, \ldots, t_n \in T$ 和任意的 $h$（使得 $t_i+h \in T$ ）， $\left(X\left(t_1+h\right), \ldots, X\left(t_n+h\right)\right)$ 与 $\left(X\left(t_1\right), \ldots, X\left(t_n\right)\right)$ 具有相同的联合分布，记为

$$
\left(X\left(t_1+h\right), \ldots, X\left(t_n+h\right)\right) \stackrel{d}{=}\left(X\left(t_1\right), \ldots, X\left(t_n\right)\right),
$$

则称 $\{X(t), t \in T\}$ 为严平稳的．
严平稳过程的有限维分布随时间推移不变。
定义2．7如果 $X(t)$ 是二阶矩过程，并且均值函数 $E[X(t)]=\mu($ 不依赖于 $t)$ ，协方差函数 $\gamma(t, s)$ 只与时间差 $t-s$ 有关，则称 $\{X(t), t \in T\}$ 为宽平稳过程或二阶平稳过程．

注：
- 对于宽平稳过程，由于 $\gamma(s, t)=\gamma(0, t-s), s, t \in R$ ，可记为 $\gamma(t-s)$ ；
- $\gamma(\tau)$ 为偶函数，且 $\gamma(0)=\operatorname{Var}(X(t)),|\gamma(\tau)| \leq \gamma(0)$ ；
- $\gamma(\tau)$ 具有非负定性，即对任意时刻 $t_k$ 和实数 $a_k, k=1,2, \cdots, N$ ，有

$$
\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N a_i a_j \gamma\left(t_i-t_j\right) \geq 0
$$

当参数 $t$ 仅取整数值 $0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ 或 $0,1,2, \ldots$ 时，称宽平稳过程为宽平稳序列．在时间序列分析中经常简称宽平稳序列为平稳列。

例2．6（白噪声序列）设 $\left\{X_n, n=0,1, \ldots\right\}$ 为一列两两互不相关的随机变量序列，满足 $E X_n=0$ ， $n=0,1,2, \ldots$ ，且

$$
E\left(X_m X_n\right)= \begin{cases}0 & \text { 当 } m \neq n, \\ \sigma^2 & \text { 当 } m=n,\end{cases}
$$

则称 $\left\{X_n\right\}$ 是白噪声序列，记为 $WN \left(0, \sigma^2\right)$ 。白噪声序列 $\left\{X_n\right\}$ 是宽平稳的．这是因为协方差函数 $\operatorname{Cov}\left(X_n, X_m\right)=E\left(X_n X_m\right)$ 只与 $m-n$ 有关。

例2．7（线性序列）设 $\{\varepsilon(n), n \in Z \}$ 为白噪声列 $WN \left(0, \sigma^2\right)$ ，实数列 $\left\{a_j, j \in Z \right\}$ 满足 $\sum_{j=-\infty}^{\infty}\left|a_j\right|<\infty$ ，定义

$$
X(t)=\sum_{j=-\infty}^{\infty} a_j \varepsilon(t-j), t \in Z
$$

则 $\{X(t)\}$ 定义的级数a．s．收敛，称 $\{X(t)\}$ 为线性序列。如果条件放宽到 $\left\{a_j\right\}$ 平方可和，则定义仍成立，其中的级数是 $L^2$ 收敛。

如果级数仅有有限项：

$$
X(t)=\sum_{j=0}^q a_j \varepsilon(t-j), t \in Z
$$

则称 $\{X(t)\}$ 为滑动平均序列。

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