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泊松过程定义

## 3.1 泊松过程定义

随机过程 $\{N(t), t \geq 0\}$ 称为计数过程或点过程，如果 $N(t)$ 表示从时刻 0 到 t 某一特定事件 $A$ 发生的次数．
定义 3.1 （计数过程）随机过程 $\{N(t), t \geq 0\}$ 称为计数过程，若其满足：
（1）非负性：$N(0)=0, N(t)$ 取非负整数值 $(\forall t \geq 0)$ ；
（2）单调性： $0 \leq s<t$ 时，$N(s) \leq N(t)$ ；
（3）右连左极性：$N(t)$ 的轨道右连续，且左极限存在。
定义 3.2 计数过程 $\{N(t), t \geq 0\}$ 称为参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的泊松过程，如果
（1）$N(0)=0$ ；
（2）过程有独立增量；
（3）对任意的 $s, t \geq 0$ ，

$$
P(N(t+s)-N(s)=n)=e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^n}{n!}, n=0,1,2, \ldots
$$

注1：泊松过程是独立平稳增量的计数过程．
注2：由于 $E[N(t)]=\lambda t$ ，于是可认为 $\lambda$ 是单位时间内发生的事件的平均次数，故一般称 $\lambda$ 是泊松过程的强度或速率．

注3：泊松过程也是连续时间马氏链。见5．5。
例3．1（泊松过程在排队论中的应用）在随机服务系统中排队现象的研究中，经常用到泊松过程模型．例如，到达电话总机的呼叫数目，到达某服务设施的顾客数，都可以用泊松过程来描述。以某火车站售票处为例，设从早上8：00开始，此售票处连续售票，乘客依 10 人／小时的平均速率到达，则从9：00到10：00这 1 小时内最多有 5 名乘客来此购票的概率是多少？从10：00－11：00没有人来买票的概率是多少？

解：我们用一个泊松过程来描述．设 $8: 00$ 为 0 时刻，则 $9: 00$ 为 1 时刻，参数 $\lambda=10$ ．由泊松过程的平稳增量性知

$$
\begin{aligned}
& P(N(2)-N(1) \leq 5)=\sum_{n=0}^5 e^{-10 \cdot 1} \frac{(10 \cdot 1)^n}{n!} \\
& P(N(3)-N(2)=0)=e^{-10} \cdot \frac{(10)^0}{0!}=e^{-10}
\end{aligned}
$$

例3．2（事故发生次数与保险公司接到的索赔数）若以 $N(t)$ 表示某场所在 $(0, t]$ 时间内发生不幸事故的数目，则泊松过程就是 $\{N(t), t \geq 0\}$ 的一种很好近似。例如，保险公司接到赔偿请求的次数（设一次事故就导致一次索赔）都是可以应用泊松过程的模型。我们考虑一种最简单情况，设保险公司每次的赔付都是 1 ，每月平均接到索赔要求 4 次，则一年中它要付出的金额平均为多少？

解：设一年开始为 0 时刻， 1 月末为时刻 1,2 月末为时刻 $2, \cdots \cdots$ ，则年末为时刻 12 。

$$
P(N(12)-N(0)=n)=\frac{(4 \times 12)^n}{n!} e^{-4 \times 12}
$$

均值

$$
E[N(12)-N(0)]=4 \times 12=48
$$

为什么实际中有这么多的现象可以用泊松过程来反映呢？其根据是小概率事件原理。我们在概率论的学习中已经知道，Bernoulli试验中，每次试验成功的概率很小而试验的次数很多时，二项分布会逼近Poisson分布．这一想法很自然地推广到随机过程情况．比如上面提到的事故发生的例子，在很短的时间内发生事故的概率是很小的，但假如考虑很多个这样很短的时间的连接，事故的发生将会有一个大致稳定的速率，这很类似于Bernoulli试验以及二项分布逼近Poisson分布时的假定。

泊松过程的另一等价定义：
定义3．3设 $\{N(t), t \geq 0\}$ 是一个计数过程，若满足

$$
\begin{aligned}
& (1)^{\prime} N(0)=0 ; \\
& (2)^{\prime} \text { 过程有平稳独立增量; } \\
& (3)^{\prime} \text { 存在 } \lambda>0, \text { 当 } h \downarrow 0 \text { 时 } \\
& \quad P(N(t+h)-N(

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【概率论与数理统计】离散型(泊松分布)【概率论与数理统计】泊松定理(二项分布的泊松近似)

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