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泊松过程合并与分解

3．4．3 泊松过程合并与分解
定理3．12 设 $\left\{N_1(t), t \geq 0\right\}$ 是参数为 $\lambda$ 的泊松过程，$\left\{N_2(t), t \geq 0\right\}$ 是参数为 $\mu$ 的泊松过程，且这两个泊松过程独立，令 $N(t)=N_1(t)+N_2(t)$ ，则 $\{N(t), t \geq 0\}$ 是参数为 $\lambda+\mu$ 的泊松过程。

证明：易见 $N(0)=0$ ，独立增量性和平稳增量性从 $N_1$ 和 $N_2$ 的平稳独立增量性可得，而 $N_1(t)+N_2(t)$服从泊松Pois $(\lambda+\mu)$ 分布，结论成立。

上述定理可以推广到多个独立的泊松过程的和。
关于泊松过程的分解，先给出定理3．2的严格证明。参见（何书元 2008）P．49 定理4．3。
用 $Y_i$ 表示第 $i$ 个事件是否被记录的两点分布随机变量，$\left\{Y_i\right\}$ 相互独立且与 $\{N(t)\}$ 相互独立，

$$
M(t)=\sum_{j=1}^{N(t)} Y_j, t \geq 0
$$

来证明 $\{M(t), t \geq 0\}$ 是参数为 $p \lambda$ 的泊松过程。
对于 $0 \leq s<t$ ，

$$
M(t)-M(s)=\sum_{j=N(s)+1}^{N(t)} Y_j
$$

是 $(s, t]$ 内事件的到达次数。由独立性，对 $k \geq l$ 可计算如下的条件概率：

$$
\begin{aligned}
& P(M(t)-M(s)=n \mid N(s)=l, N(t)=k) \\
= & P\left(\sum_{j=l+1}^k Y_j=n \mid N(s)=l, N(t)=k\right) \\
= & P\left(\sum_{j=l+1}^k Y_j=n\right) \\
= & \binom{k-l}{n} p^n q^{k-l-n} \\
\triangleq & g(k-l, n) .
\end{aligned}
$$

$g(k, n)$ 是 $B (k, p)$ 随机变量等于 $n$ 的概率。
于是，

$$
E\left[I_{\{M(t)-M(s)=n\}} \mid N(s), N(t)\right]=g(N(t)-N(s), n)
$$

两边取期望得

$$
P(M(t)-M(s)=n)=E[g(N(t)-N(s), n)]
$$

显然 $M(0)=0$ ，由（3．2）和 $\{N(t)\}$ 的平稳增量性可知 $\{M(t)\}$ 为平稳增量过程。
来证明独立增量性。对任意正整数 $m$ 和 $0=t_0 \leq t_1<t_2<\cdots<t_m$ 和整数 $0=n_0 \leq n_1 \leq n_2 \leq \cdots \leq n_m$ ，定义

$$
N =\left(N\left(t_1\right), N\left(t_2\right), \ldots, N\left(t_m\right)\right), n =\left(n_1, n_2, \ldots, n_m\right) .
$$

由（3．1）可知，在 $N = n$ 条件下，以下各个随机变量

$$
M\left(t_j\right)-M\left(t_{j-1}\right)=\sum_{i=n_{j-1}}^{n_j} Y_i, j=1,2, \ldots, m
$$

相互独立，并且与 $N$ 独立。于是

$$
\begin{aligned}
& P\left(M\left(t_j\right)-M\left(t_{j-1}\right)=k_j, 1 \leq j

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