最后更新: 2025-07-13 17:47 查看: 22 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

更新方程

随机过程研究中经常以某个早期发生事件为条件导出方程， 更新方程就是其中的一个常见形式。

定义4．2 在 $M(t)$ 的导数存在的条件下，其导数 $M^{\prime}(t)$ 称为更新密度，记为 $m(t)$ ．由 $M(t)=\sum_{n=1}^{\infty} F_n(t)$两边求导得

$$
m(t)=\sum_{n=1}^{\infty} f_n(t)
$$

其中 $f_n(t)$ 是 $F_n(t)$ 的密度函数．
$M(t)$ 是到 $t$ 时刻为止的平均更新次数，$m(t)$ 就是瞬时的单位时间平均更新次数。
定理4．2 $M(t)$ 和 $m(t)$ 分别满足积分方程

$$
\begin{aligned}
& M(t)=F(t)+\int_0^t M(t-s) d F(s) \\
& m(t)=f(t)+\int_0^t m(t-s) f(s) d s
\end{aligned}
$$

其中 $f(t)=F^{\prime}(t)$ ．
证明：只要证明第一式，第二式由第一式两边取导数可得．由定义可得

$$
\begin{aligned}
M(t) & =\sum_{n=1}^{\infty} F_n(t)=F(t)+\sum_{n=2}^{\infty} F_n(t) \\
& =F(t)+\sum_{n=2}^{\infty} \int_0^t F_{n-1}(t-s) d F(s) \\
& =F(t)+\int_0^t \sum_{n=2}^{\infty} F_{n-1}(t-s) d F(s) \quad \text { (由单调收敛定理) } \\
& =F(t)+\int_0^t M(t-s) d F(s) \\
& =F(t)+(F * M)(t)
\end{aligned}
$$

定义4．3（更新方程）称如下形式的积分方程为更新方程

$$
K(t)=H(t)+\int_0^t K(t-s) d F(s), t \geq 0
$$

其中 $H(t), F(t)$ 为已知，且当 $t<0$ 时 $H(t), F(t)$ 均为 0 ．当 $H(t)$ 在任意闭区间有界时，称上述方程为适定 （Proper）更新方程，简称为更新方程．

更新方程可以用卷积记号写成

$$
K(t)=H(t)+(F * K)(t), t \geq 0
$$

其中函数 $K(\cdot)$ 为未知的函数。 $H$ 和 $F$ 已知，一般 $F$ 为单调增有界函数。

命题4．5 假设 $B(t), B_1(t), B_2(t)$ 是单调增加的右连续函数，且 $B(0)=0 . C(t), C_1(t), C_2(t)$ 为光滑有界函数（注：这些条件可以保证卷积有定义），则有
（1） $\max _{0 \leq t \leq T}|(B * C)(t)| \leq \max _{0 \leq t \leq T}|C(t)| \cdot B(T)$ ；
（2）$\left(B * C_1\right)(t)+\left(B * C_2\right)(t)=\left(B *\left(C_1+C_2\right)\right)(t)$ ；
（3）$\left(B_1 * C\right)(t)+\left(B_2 * C\right)(t)=\left(\left(B_1+B_2\right) * C\right)(t)$ ；
（4）$\left(B_1 *\left(B_2 * C\right)\right)(t)=\left(\left(B_1 * B_2\right) * C\right)(t)$ ．
证明略。
定理4．3 设更新方程中 $H(t)$ 为在任意闭区间有界的函数，$F(t)$ 为 $[0, \infty)$ 上的分布函数，则方程在有限区间内存在唯一的闭区间有界解

$$
K(t)=H(t)+\int_0^t H(t-s) d M(s), t \geq 0
$$

其中 $M(t)=\sum_{n=1}^{\infty} F_n(t)$ 是分布函数 $F(t)$ 的更新函数．
更新方程的解又可以用卷积记号写成

$$
K(t)=H(t)+(M * H)(t), t \geq 0
$$

证明：我们先证（4．5）满足闭区间有界性条件。
由 $M(t)$ 是更新函数，由定理4．1可知 $M(t)$ 在任意闭区间有界且单调不减，再由 $H(t)$ 闭区间有界，对任意 $T>0$ ，有

$$
\begin{aligned}
\sup _{0 \leq t \leq T}|K(t)| & \leq|H(t)|+\int_0^T \sup _{0 \leq s \leq T}|H(T-s)| d M(s) \\
& \leq \sup _{0 \leq t \leq T}|H(t)|(1+M(T))<\infty
\end{aligned}
$$

所以在任意闭区间上 $K(t)$ 是有界的．
再来证明（4．5）确实是更新方程的解，这只要证明 $(F * K)(t)=(M * H)(t)$ 。事实上，

$$
\begin{a

免费注册查看余下70%

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：更新过程的定义及若干分布

下一篇：更新方程在人口学中的一个应用

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)