最后更新: 2025-07-14 05:55 查看: 15 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

交替更新过程

## 4．4．3 交替更新过程

定义4．7在更新过程中，我们考虑系统只有一个状态的情况，比如机器一直是开的（即更换零件不需时间）。而实际中，零件损坏之后，会有一个拆卸、更换的过程，这段时间机器是＂关＂的．这里我们就来考虑有＂开＂、 ＂关＂两种状态的更新过程，我们将这种过程称做交替更新过程。

注1：设系统最初是开的，持续开的时间是 $Z_1$ ，而后关闭，时间为 $Y_1$ ，之后再打开，时间为 $Z_2$ ，又关闭，时间 $Y_2, \ldots \ldots$ ，交替进行，每当系统被打开称做一次更新．

注2：我们假设随机向量列 $\left\{\left(Z_n, Y_n\right), n=1,2, \ldots\right\}$ 是独立同分布的，从而 $\left\{Z_n\right\},\left\{Y_n\right\}$ 都是独立同分布的，$Z_i, Y_j$ 在 $i \neq j$ 时独立，但 $Z_i, Y_i$ 允许不独立．

定理4．8 设 $H$ 是 $Z_n$ 的分布，$G$ 是 $Y_n$ 的分布，$F$ 是 $Z_n+Y_n$ 的分布．并记 $P(t)=P(t$ 时刻系统是开的），设 $E\left(Y_n+Z_n\right)<\infty$ ，且F不是格点的，则

$$
\lim _{t \rightarrow \infty} P(t)=\frac{E\left(Z_1\right)}{E\left(Z_1\right)+E\left(Y_1\right)}
$$

证明：对第一次更新的时刻 $X_1=Z_1+Y_1$ 取条件，得

$$
P\left(t \text { 时刻系统开着 } \mid X_1=x\right)= \begin{cases}P\left(Z_1>t \mid X_1=x\right), & t \leq x, \\ P(t-x), & t>x,\end{cases}
$$

于是

$$
\begin{aligned}
P(t) & =E\{I[t \text { 时刻系统开着 }]\} \\
& =E\left\{E\left(I[t \text { 时刻系统开着 }] \mid X_1\right)\right\} \\
& =\int_0^{\infty} P\left(t \text { 时刻系统开着 } \mid X_1=x\right) d F(x) \\
& =\int_t^{\infty} P\left(Z_1>t \mid X_1=x\right) d F(x)+\int_0^t P(t-x) d F(x)
\end{aligned}
$$

来证明 $x \geq t$ 时 $\int_t^{\infty} P\left(Z_1>t \mid X_1=x\right) d F(x)=\bar{H}(t)$ 。

$$
\begin{aligned}
& \bar{H}(t)=P\left(Z_1>t\right)=P\left(Z_1>t, X_1>t\right) \\
= & E I_{\left\{Z_1>t, X_1>t\right\}}=E\left\{E\left(I_{\left\{Z_1>t, X_1>t\right\}} \mid X_1\right)\right\} \\
= & \int_t^{\infty} E\left(I_{\left\{Z_1>t\right\}} \mid X_1=x\right) d F(x) \\
= & \int_t^{\infty} P\left(Z_1>t \mid X_1=x\right) d F(x)
\end{aligned}
$$

从而

$$
P(t)=\bar{H}(t)+\int_0^t P(t-x) d F(x)
$$

（4．14）是更新方程，其解为

$$
P(t)=\bar{H}(t)+\int_0^t \bar{H}(t-x) d M(x)
$$

又 $\int_0^{\infty} \bar{H}(t) d t=E Z_1<\infty$ ，且 $\bar{H}(t)$ 非负不增，由关键更新定理得

$$
\lim _{t \rightarrow \infty} P(t)=

免费注册查看余下70%

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：更新回报过程

下一篇：附录：一些证明

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)