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平稳分布

前面我们只讨论了马氏链的转移概率 $p_{i j}$ 的有关问题，下面我们将就它的初始分布的问题给出一些结论．首先是关于马氏链的平稳分布和极限分布的概念。

定义5．12对于马氏链，概率分布 $\left\{p_j, j \in S\right\}$ 称为平稳分布，若

$$
p_j=\sum_{i \in S} p_i p_{i j}, \forall j \in S
$$

平稳分布又称不变分布。
记 $\pi =\left(p_1, p_2, \ldots\right)^T$ ，则平稳分布 $\pi$ 必须满足

$$
\pi ^T P= \pi ^T, \quad \pi ^T 1 =1
$$

若马氏链的初始分布 $P\left\{X_0=j\right\}=p_j$ 是平稳分布，则 $X_1$ 的分布将是

$$
\begin{aligned}
P\left\{X_1=j\right\} & =\sum_{i \in S} P\left\{X_1=j \mid X_0=i\right\} \cdot P\left\{X_0=i\right\} \\
& =\sum_{i \in S} p_{i j} p_i=p_j, \forall j \in S
\end{aligned}
$$

这与 $X_0$ 的分布是相同的，依次递推可知 $X_n, n=0,1,2,3, \ldots$ 将有相同的分布，这也是为什么称 $\left\{p_i, i \in S\right\}$ 为平稳分布的原因．易见

$$
\pi ^T P^n= \pi ^T, n \geq 1
$$
定理5．11 设马氏链 $\left\{X_n, n \geq 0\right\}$ 有平稳分布 $\pi$ ，且 $X_0 \sim \pi$ ，则 $\left\{X_n\right\}$ 是严平稳的随机过程。
证明：这时每一个 $X_n$ 的边缘分布都是 $\pi$ ，于是由定理5．2，

$$
P\left(X_0=i_0, X_1=i_1, \ldots, X_n=i_n\right)=\pi_{i_0} p_{i_0 i_1} p_{i_1 i_2} \ldots p_{i_{n-1} i_n}
$$

同理有 $m \geq 0$ 时

$$
P\left(X_m=i_0, X_{m+1}=i_1, \ldots, X_{m+n}=i_n\right)=\pi_{i_0} p_{i_0 i_1} p_{i_1 i_2} \ldots p_{i_{n-1} i_n}
$$

因此 $\left\{X_n, n \geq 0\right\}$ 是严平稳的。
定义5．13 称马氏链是遍历的，如果所有状态不可约、非周期、正常返．对于遍历的马氏链，极限

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} p_{i j}^{(n)}=\pi_j=\frac{1}{\mu_j}, \quad j \in S
$$

称为马氏链的极限分布。
定义中极限 $\pi_j=\frac{1}{\mu_j}$ ，是利用了定理5．8．此定理说明，对于遍历链，不论从那个状态开始，当 $n$ 充分大时，对任意 $n, ~ X_n$ 都有正概率处于状态 $j, ~ j$ 也是任意状态；$X_n$ 处于状态 $j$ 的概率为正值 $\frac{1}{\mu_j}$ 。这给出了＂遍历＂这一术语的解释，即系统在长时间运行中可以在任意时间到达任意状态。

下面的定理说明对于遍历的马氏链，极限分布就是平稳分布并且还是唯一的平稳分布．

定理5．12（1）对于遍历马氏链，$\pi_j=\lim _{n \rightarrow \infty} p_{i j}^{(n)}=\frac{1}{\mu_j}>0(j \in S)$ 是平稳分布且是唯一的平稳分布；
（2）若马氏链所有状态都是非常返或零常返的，则平稳分布不存在．
证明：（1）对遍历的马氏链，由定理5．8知

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} p_{i j}^{(n)}=\frac{1}{\mu_j}>0
$$

记为 $\pi_j$ ．于是极限分布存在（极限分布存在则必唯一）。
先证明 $\left\{\pi_j, j \in S\right\}$ 是平稳分布，然后再来证明它是唯一的平稳分布。这里仅给出有限链时的证明，状态个数无限的链在证明时涉及到级数与极限交换次序，需要较复杂的讨论，见5．7．2。

由于

$$
\sum_{j \in S} p_{i j}^{(n)}=1
$$

则有

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{j \in S} p_{i j}^{(n)}=1
$$

当 $S$ 为有限状态时极限与求和可交换。于是有

$$
\sum_{j \in S} \pi_j=1
$$

利用C－K方程得

$$
p_{i j}^{(n+1)}=\sum_{k \in S} p_{i k}^{(n)} p_{k j}
$$

两边取极限，若 $S$ 为有限状态则极限与求和可交换，于是

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} p_{i j}^{(n+1)}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k \in S} p_{i k}^{(n)} p_{k j}=\sum_{k \in S}\left(\lim _{n \rightarrow \infty} p_{i k}^{(n)}\right) p_{k j}
$$

即 $\pi_j=\sum_{k \in S} \pi_k p_{k j}$ ，从而 $\left\{\pi_j, j \in S\right\}$ 是平稳分布．
再证 $\left\{\pi_j, j \in S\right\}$ 是唯一的平稳分布．假设另外还有一个平稳分布 $\left\{\tilde{\pi}_j, j \in S\right\}$ ，则由

$$
\tilde{\pi}_j=\sum_{k \in S} \tilde{\pi}_k p_{k j}
$$

归纳得到

$$
\tilde{\pi}_j=\sum_{k \in S} \tilde{\pi}_k p_{k j}^{(n)}, \quad n=1,2, \ldots
$$

令 $n \rightarrow \infty$ ，若 $S$ 为有限状态则极限与求和可交换，有

$$
\begin{aligned}
\tilde{\pi}_j & =\sum_{i \in S} \tilde{\pi}_i \lim _{n \rightarrow \infty} p_{i j}^{(n)} \\
& =\sum_{i \in S} \tilde{\pi}_i \cdot \pi_j=\pi_j \cdot \sum_{i \in S} \tilde{\pi}_i=\pi_j, \forall j \in S
\

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