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群体消失模型(离散时间分支过程)

5.4 马氏链的应用

5．4．1 群体消失模型（离散时间分支过程）

考虑一个能产生同类后代的个体组成的群体．每一个体生命结束时以概率 $p_j(j=0,1,2,3, \ldots)$ 产生了 $j$ 个新的后代，与别的个体产生的后代个数相互独立．初始的个体数以 $X_0$ 表示，称为第零代的总数；第零代的后代构成第一代，其总数记为 $X_1$ ，第一代的每个个体以同样的分布产生第二代，$\ldots . .$. ，一般地，以 $X_n$ 记第 $n$ 代的总数．这里的 $n$ 代表第几代而非具体时间。此马氏链 $\left\{X_n, n=0,1,2, \ldots\right\}$ 称为离散时间分支过程．

现在假设群体是从单个祖先开始的，即 $X_0=1$ ，则有

$$
X_{n+1}=\sum_{i=1}^{X_n} Z_{n, i}, n=0,1, \ldots
$$

其中 $Z_{n, i}$ 表示第 $n$ 代的第 $i$ 个成员的后代的个数．
首先来考虑第 $n$ 代的平均个体数 $E\left[X_n\right]$ ，设

$$
\mu=\sum_{i=0}^{\infty} i p_i
$$

是每个个体的后代个数的均值，对 $X_n$ 取条件期望，有

$$
\begin{aligned}
E\left[X_n\right] & =E\left[E\left[X_n \mid X_{n-1}\right]\right] \\
& =\mu E\left[X_{n-1}\right]=\mu^2 E\left[X_{n-2}\right] \\
& =\cdots=\mu^n .
\end{aligned}
$$

可以看出，若 $\mu<1$ ，则平均个体数单调下降趋于 0 ．若 $\mu=1$ 时，各代平均个体数相同．当 $\mu>1$ 时，平均个体数按指数阶上升至无穷．

下面就来考虑群体最终会消亡的概率 $\pi_0$ ．对第一代个体数取条件，则

$$
\begin{aligned}
\pi_0 & =P\{\text { 群体消亡 }\} \\
& =\sum_{j=0}^{\infty} P\left\{\text { 群体消亡 } \mid X_1=j\right\} \cdot p_j \\
& =\sum_{j=0}^{\infty} \pi_0^j p_j
\end{aligned}
$$

上面的第二个等式是因为群体最终灭绝是以第 1 代为祖先的 $j$ 个家族全部消亡，而各家族已经假定为独立的，每一家族灭绝的概率均为 $\pi_0$ ．

很自然我们会假设：家族消亡与 $\mu$ 有关，在此我们给出一个定理，以证明 $\pi_0=1$ 的充要条件是 $\mu \leq

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