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鞅

6．1．1 定义

本章将介绍另一类特殊的随机过程一一鞅．近几十年来，鞅理论不仅在随机过程及其他数学分支中占据了重要的地位，而且在实际问题诸如金融、保险和医学上也得到了广泛的应用．在此我们将阐述鞅的一些基本理论，并以介绍离散时间鞅为主．

鞅的定义是从条件期望出发的，所以对条件期望不熟悉的读者请先学习第1章中的相关内容，这对于理解鞅理论是至关重要的．

每个赌博者自然都对能使他在一系列赌博后获得期望收益最大的策略感兴趣．然而在数学上可以证明，在＂公平＂的博弈中，是没有这样的赌博策略的。

假设一个赌博者正在进行一系列赌博，每次赌博输赢的概率都是 $\frac{1}{2}$ ．令 $\left\{Y_n, n=1,2, \cdots\right\}$ ，是一列独立同分布的随机变量，表示每次赌博的结果

$$
P\left\{Y_n=1\right\}=P\left\{Y_n=-1\right\}=\frac{1}{2}
$$

这里 $\left\{Y_n=1\right\}$（ $\left\{Y_n=-1\right\}$ ）表示赌博者在第 $n$ 次赌博时的赢（输）．
如果赌博者采用的赌博策略（即所下赌注）依赖于前面的赌博结果，那么他的赌博可以用下面的随机变量序列

$$
b_n=b_n\left(Y_1, \cdots, Y_{n-1}\right), n=2,3, \cdots
$$

描述，其中 $b_n<\infty$ 是第 $n$ 次的赌注，若赌赢则获利 $b_n$ ，否则输掉 $b_n$ ．
设 $X_0$ 是该赌博者的初始赌资，则

$$
X_n=X_0+\sum_{i=1}^n b_i Y_i
$$

是他在第 $n$ 次赌博后的赌资。可以断言

$$
E\left[X_{n+1} \mid Y_1, \cdots, Y_n\right]=X_n
$$

事实上，由式（6．1）我们可以得到

$$
X_{n+1}=X_n+b_{n+1} Y_{n+1}
$$

因此

$$
\begin{aligned}
E\left[X_{n+1} \mid Y_1, \cdots, Y_n\right]= & E\left[X_n \mid Y_1, \cdots, Y_n\right]+E\left[b_{n+1} Y_{n+1} \mid Y_1, \cdots, Y_n\right] \\
= & X_n+b_{n+1} E\left[Y_{n+1} \mid Y_1, \cdots, Y_n\right] \\
& \left(\text { 因为 } X_n \text { 与 } b_{n+1} \text { 由 } Y_1, \cdots, Y_n \text { 确定 }\right) \\
= & X_n+b_{n+1} E\left[Y_{n+1}\right] \\
& \left(\text { 因为 }\left\{Y_n\right\} \text { 是独立随机变量序列 }\right) \\
= & X_n \quad\left(\text { 因为 } E\left[Y_{n+1}\right]=0, \forall n \geq 0\right)
\end{aligned}
$$

这证明了，如果每次赌博的输赢机会是均等的，并且赌博策略是依赖于前面的赌博结果，则赌博是＂公平的＂．因此任何赌博者都不可能将公平的赌博通过改变赌博策略使得赌博变成有利于自己的赌博．

定义6．1 设 $\left\{X_n, n \geq 0\right\}$ 和 $\left\{Y_n, n \geq 0\right\}$ 是随机过程，对任意 $n \geq 0, ~ X_n$ 是 $Y_0, ~ Y_1, \ldots, ~ Y_n$ 的函数， $E\left|X_n\right|<\infty$ 且

$$
E\left[X_{n+1} \mid Y_0, \ldots, Y_n\right]=X_n, \forall n \geq 0
$$

则称 $\left\{X_n\right\}$ 为关于 $\left\{Y_n\right\}$ 的鞅。

定义6．2 设 $\left\{X_n, n \geq 0\right\}$ 和 $\left\{Y_n, n \geq 0\right\}$ 是随机过程，对 $n \geq 0, X_n$ 是 $\left(Y_0, Y_1, \ldots, Y_n\right)$ 的函数。
如果

$$
E\left[X_n^{+}\right]<\infty \text { 且 } E\left[X_{n+1} \mid Y_0, Y_1, \ldots, Y_n\right] \geq X_n, \forall n \geq 0,
$$

则称 $\left\{X_n\right\}$ 是关

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