最后更新: 2025-07-18 10:37 查看: 39 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

鞅的停时定理及其应用

6．2．1 停时 \＃
本节中我们所讨论的鞅，都是指关于某个随机变量序列的鞅．所得到的结论对关于子 $\sigma$ 代数流的鞅也是成立的，为了便于理解和应用，我们没有追求结论的一般性．

对于一个关于 $\left\{X_n, n \geq 0\right\}$ 的鞅 $\left\{M_n, n \geq 0\right\}$ ，易知 $\forall n \geq 0$ ，有

$$
E\left[M_n\right]=E\left[M_0\right]
$$

我们想知道如果把此处固定的时间 $n$ 换作一个随机变量 $T$ ，是否仍然有

$$
E\left[M_T\right]=E\left[M_0\right] ?
$$

一般地，此结论未必成立．但在一定的条件下可以保证它成立，这就是鞅的停时定理．鞅的停时定理的意义是：＂在公平的赌博中，你不可能赢．＂设想 $\left\{M_n, n \geq 0\right\}$ 是一种公平的博奕，$M_n$ 表示局中人第 $n$ 次赌局结束后的赌本．式（6．7）说明他在每次赌局结束时的赌本的期望值与他开始时的赌本一样，但是他未必一直赌下去，他可以选择任一时刻停止赌博，这一时刻是随机的．式（6．8）说明他停止时的赌本和他开始时的赌本相同，然而很容易看出在一般的情况下，这是不正确的．比如例 6.8 中的赌博者采取的策略，就可以保证他在赢1元之后结束，所以我们要为式（6．8）的成立附加一些条件．

定义6．7（随机时间）设 $T$ 是 $\Omega$ 到 $\{0,1,2, \ldots,+\infty\}$ 的映射，$\{T \leq n\} \in F$ ，对任意 $n=0,1,2, \ldots$ 成立，则称 $T$ 为一个（离散的）随机时间。

随机时间也可以是从1开始取值的。
定义6．8（停时）设 $\left\{X_n, n \geq 0\right\}$ 是一个随机变量序列，称随机时间 $T$ 是关于 $\left\{X_n, n \geq 0\right\}$ 的停时，若对每个 $n \geq 0, \quad\{T=n\} \in \sigma\left(X_0, X_1, \cdots, X_n\right)$.

停时可以看作选择一个停止观测的时间，在时刻 $n$ 是否停止，只能依赖于截止到 $n$ 为止的信息，而不能依赖于 $n+1, n+2, \ldots$ 时刻的信息。

若 $\left\{ F _n, n=0,1,2, \ldots\right\}$ 是 $\sigma$ 代数流，随机时间满足 $\{T=n\} \in F _n, \forall n \geq 0$ ，称 $T$ 是 $\left\{ F _n\right\}$ 的停时。
定义6．9 设 $(\Omega, F , P)$ 为完备的概率空间，$\left\{X_n, n \geq 0\right\}$ 为随机变量序列，$T$ 为关于 $\left\{X_n\right\}$ 的停时， $P(T<\infty)=1, ~\left\{\xi_n, n \geq 0\right\}$ 为随机序列，令 $\xi_T=\xi_{T(\omega)}(\omega)$ ，则 $\xi_T$ 是一个随机变量，称为 $\left\{\xi_n\right\}$ 在停时 $T$ 上的取值。

如果不加 $P(T<\infty)=1$ 条件，令

$$
Y(\omega)= \begin{cases}\xi_{T(\omega)}(\omega), & \text { 当 } T(\omega)<\infty, \\ 0, & \text { 当 } T(\omega)=+\infty\end{cases}
$$

则 $Y$ 是一个随机变量，可以表示为 $Y=X_T I_{\{T<\infty\}}$ 。
由定义我们知道事件 $\{T=n\}$ 或 $\{T \neq n\}$ 都应该由 $n$ 时刻及其之前的信息完全确定，而不需要也无法借助将来的情况。仍然回到公平博奕的例子，赌博者决定何时停止赌博只能以他已经赌过的结果为依据，而不能说，如果我下一次要输我现在就停止赌博，这是对公平赌博的停止时刻 $T$ 的第一个要求：它必须是一个停时．

以下看几个停时的例子．
例6．17 确定时刻 $T=n$ 是一个停时，即在赌博开始已确定 $n$

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